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第 21 课 弧、弦、圆心角、圆周角
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课程标准
(1)了解圆心角、圆周角的概念；
(2)理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；
(3)掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它
两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．
知识精讲
知识点01 弧、弦、圆心角的关系
1．圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
2．定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
【注意】
(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.
(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
知识点02 圆周角
1．圆周角定义
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2．圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．圆周角定理的推论
半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【注意】
(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
4．圆内接四边形
(1)定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
(2)性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角(即它的一个外角等于它相邻内角的对角)．
5．弦、弧、圆心角、弦心距的关系
在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等。
(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。如果
它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。
能力拓展
考法 圆心角、弧、弦之间的关系及应用
【典例1】下列命题中，正确的是( )
A．和半径垂直的直线是圆的切线 B．平分直径一定垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．垂直于弦的直径必平分弦所对的弧
【答案】D
【详解】A项还可能与圆相交，故错误不选；
B项过圆心的直线都平分直径，但不一定垂直于弦，故错误不选；
C项如果半径不等，则对应的弧也不相等，故错误不选；
D项说法正确．
故答案选D．
【即学即练】下列四个命题中，真命题是( )
A．如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等
B．圆是轴对称图形， 任何一条直径都是圆的对称轴C．平分弦的直径一定垂直于这条弦
D．等弧所对的圆周角相等
【答案】D
【详解】解：A、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选项错误，不符
合题意；
B、圆是轴对称图形， 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合题意；
C、平分弦(非直径)的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意；
D、等弧所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意，
故选：D．
【典例2】如图，⊙O的半径为9cm，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点
D，则AB的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【详解】解：连接OA，
∵将劣弧 沿弦AB折叠交于OC的中点D，
∴OC r＝6(cm)，OC⊥AB，
∴AC＝CB 3 (cm)，
∴AB＝2AC＝6 (cm)，
故选：D．
【即学即练】如图，AB是⊙ 的直径，点D是弧AC的中点，过点D作 于点E，延长DE交⊙
于点F，若 ，⊙ 的直径为10，则AC长为( )A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】解：连接 ，如图：
， 过圆心 ，
， ，
为弧 的中点，
，
，
，
的直径为10，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
故选：D．
【典例3】如图， 为 的直径， 是弦，且 于点E．连接 、 、 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求弦 的长．
【答案】(1)见解析
(2)弦BD的长为16cm
【详解】(1)∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，
∴
∴∠ABD＝∠C，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠CBO＝∠ABD；
(2)∵AE＝4，CE＝16，
∴OA＝10，OE＝6，
在Rt△OBE中， ，
∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，
∴BE＝DE，
∴BD＝2BE＝16cm．
【即学即练】如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
(1)如图1，若 为120°， 为50°，求∠E的度数；
(2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD．
【答案】(1)∠E＝35°
(2)见解析
【详解】(1)连接AC，
∵ 为120°， 为50°，
∴ ， ，∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°；
(2)证明：连接AC、BD，
∵ ，
∴∠A＝∠D，
在△ACE和△DBE中，
，
∴△ACE≌△DBE(ASA)，
∴BE＝CE，
∵AE＝DE，
∴AE-BE＝DE-CE，
即AB＝CD．
分层提分
题组A 基础过关练
1．圆的一条弦把圆分为度数比为 的两条弧，则弦心距与弦长的比为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵弦AB把⊙O分成度数比为1：3两条弧，
∴弦所对的圆心角∠AOB= ，
∴△AOB是等腰直角三角形，
过点O做OC⊥AB于C，
∴ ,
∴弦心距与弦长的比为1：2．
故选：D．2．下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形的外心到
三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【详解】解：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故本小题错误；
②直径所在的直线为圆的对称轴，故本小题错误；
③平分弦的直径垂直于弦(非直径)，故本小题错误；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本小题错误；
⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误．
∴正确命题的个数为0个．
故选：A．
3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是 的中点，则∠D的度数是( )
A．70° B．60° C．40° D．35°
【答案】D
【详解】解：连接OB，如图所示，
∵点B是 的中点，∠AOC=140°，
∴∠AOB= ∠AOC=70°，
由圆周角定理得，∠D= ∠AOB=35°，
故选：D．
4．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为E，则下列结论中错误的是( )A．AE=BE B．CE=DE C．AC=BC D．AD=BD
【答案】B
【详解】∵CD⊥AB，CD为直径，
∴AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，CE＞DE，
AD=BD,AC=BC,
故选:B．
5．如图，AB是⊙O的弦，点C是 的中点，OC交AB于点D．若 ，⊙O的半径为5，则 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：如图，连接OA，OB，
∵C是 的中点，
∴ = ，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA=OB=5，AB=8，
∴OC⊥AB，AD=BD= AB=4(等腰三角形的三线合一)，
在Rt△AOD中
由勾股定理得：OD= ，
∴CD=OC-OD=5-3=2．故选：B．
6．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分别为M、N，BA、DC的延长线交
于点P，连接OP．下列四个说法：① = ；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO；正确的个数是
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴ = ，故①正确；
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确；
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确；
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
综上，四个选项都正确，
故选：D．
7．如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC______2CD(填“＞”、“＜”或
“＝”)【答案】
【详解】解：如图，连接AB、BC，
∵弧AB＝弧BC＝弧CD，
∴AB=BC=CD，
∵ ，
∴ ．
故答案为：
8．如图，在⊙O中， ，∠1＝45°，则 的度数为 ___．
【答案】
【详解】解：∵ ，
∴∠2=∠1=45°，
，
故答案为： ．
9．已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD
【答案】见解析
【详解】证：∵
∴
∴10．如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，
连接DE．
(1)若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；
(2)若AC=3，AB=4，求CD的长．
【答案】(1)65°；(2) ．
【详解】解：(1)如图，连接AD．
∵∠BAC=90°，∠ABC=20°，
∴∠ACD=70°．
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°-70°-70°=40°，
∴∠DAE=90°-40°=50°．
又∵AD=AE，
∴∠DEA=∠ADE= (180°−50°) =65°；
(2)如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC=90°，AC=3，AB=4，
∴BC=5．
又∵ •AF•BC= •AC•AB，
∴AF= ，∴CF= ．
∵AC=AD，AF⊥CD，
∴CD=2CF= ．
题组B 能力提升练
1．如图，BD是 的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若 ， ，则 的度
数为( )
A．98° B．103° C．108° D．113°
【答案】C
【详解】解：∵∠COD=126°，
∴∠COB=54°，
∴ ，
∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵ ，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，
故选C．
2．将一张正方形的透明纸片ABCD和 按如图位置叠放，顶点A、D在 上，边AB、BC、CD分别与
相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】如图，连接 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ，则 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
A. ， ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ， ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ， ，故该选项正确，符合题意；
D. ， ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C.
3．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且 ，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：在⊙O中，
∵
∴ ，
故A、C选项正确，不符合题意；∵ ，OA=OD，OB=OC
∴
∴
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴
∴OE=OF
故B选项正确，不符合题意．
故选D
4．下列命题是真命题的是( )
A．相等的弦所对的弧相等
B．圆心角相等，其所对的弦相等
C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等
D．弦相等，它所对的圆心角相等
【答案】C
【详解】解：A、B、D结论若成立，都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件，所以A、B、D错误；
故选：C．
5．如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是弧 AC 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，延长 DE 交⊙O 于
点 F，若 AC＝12，AE＝3，则⊙O 的直径长为( )
A．7.5 B．15
C．16 D．18
【答案】B
【详解】解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE=EF， ，
∵点D是弧AC的中点，
∴ ，∴ ，
∴AC=DF=12，
∴EF= DF=6，
设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+(x-3)2，
解得x= ，
∴AB=2x=15，
故选：B．
6．如图， 是 的直径，且 ，点 ， 在 上， ， ，点 是线段 的
中点，则 ( )
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 为 中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠BAC=42°，OD⊥BC于点E，则∠BDE为_____°．【答案】69
【详解】解：如图，连接CD，
∵A，B，C，D是⊙O上的四个点，
∴∠BDC+∠BAC=180°，
∵∠BAC=42°，
∴∠BDC =180°-42°=138°，
∵OD⊥BC，
∴ ，
∴BD=CD，
∴∠BDE= ∠BDC= ，
故答案为：69．
8．如图，⊙O的半径为 ，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，且BC=2AD，则AD+BC的
值为_______．
【答案】12
【详解】解：如图，作直径BF，连接DF，FC．
∵BF是直径，∴∠BDF=∠BCF=90°，
∴BD⊥DF，
∵AC⊥BD，
∴DF∥AC
∴DF AC，
∴∠CDF=∠ACD，
∴ ，
∴AD=FC，
∵BC=2AD，
∴BC=2FC，
∴可以假设FC=k，BC=2k，
∴k2+(2k)2=(4 )2，
∴k=4或-4(舍弃)，
∴BC=8，FC=4，
∴AD=FC=4，
∴AD+BC=4+8=12，
故答案为：12．
9．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD//BC，求证：D为 的
中点．
【答案】见解析
【详解】 ，
， .
，
，
.
.
∴D为 的中点．10．如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM
＝CN．
(1)求证：AB＝AC；
(2)联结OM、ON、MN，求证： ．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【详解】证明：(1)过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示：
∵AO平分∠BAC．
∴OD＝OE．
，
．
，
，
∴AB＝AC；
(2)联结OB，OM，ON，MN，如图所示，
∵AM＝CN，AB＝AC
∴BM＝AN．∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO．
∵∠BAO＝∠OAN，
∴∠B＝∠OAN，
∴△BOM≌△AON(SAS)，
∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，
∴∠AOB＝∠MON，
∴△NOM∽△BOA，
∴ ．
题组C 培优拔尖练
1．如图，AB，CD是 的弦，延长AB，CD相交于点P．已知 ， ，则 的度数是
( )
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】C
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的度数20°．故选：C．
2．有一直径为 的圆，且圆上有 、 、 、 四点，其位置如图所示．若 ， ， ，
， ，则下列弧长关系何者正确？( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【详解】解：连接 ， ，
直径， ， ，
，
，
，
，
，
直径， ， ，
，
，
，
，
所以B符合题意，
故选：B．
3．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是 的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面
积为( )A．25 B．25 C． D．
【答案】D
【详解】解：连OC，如图，
∵C是 的中点，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S AOBC= ．
四边形
故选：D．
4．如图，在半径为5的 中，弦BC，DE所对的圆心角分别是 ， ．若 ，
，则弦BC的弦心距为( ).
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【详解】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴ ，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH= BF=3,
故选：D.
5．如图，直线l∥l，点A在直线l 上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l，l 于B，C两
1 2 1 1 2
点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D(不与点B重合)，连接AC，AD ，BC，CD，其中
AD交l 于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是( )
2
A．∠ABC =70° B．∠BAD =80° C．CE =CD D．CE =AE
【答案】C
【详解】A.∵直线l∥l，
1 2
∴∠ECA＝∠CAB＝40°，
∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l，l 于B，C两点，
1 2
∴BA＝AC＝AD，
∴∠ABC＝ ＝70°，故A正确，不符合题意；
B.∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D(不与点B重合)，
∴CB＝CD，∴∠CAB＝∠DAC＝40°，
∴∠BAD＝40°＋40°＝80°，故B正确，不符合题意；
C.∵∠ECA＝∠BAC＝40°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CED＝80°，
∵∠CDA＝∠ABC＝70°，
∴CE≠CD，故C错误，符合题意；
D.∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，
∴∠ECA=∠DAC，
∴CE＝AE，故D正确，不符合题意．
6．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，OB＝5， ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB
上的一动点，下列结论：① 的长度是 ；②∠CED＝ ∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值
是10，上述结论中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解： ，点 是点 关于 的对称点，
，
，
的长度是 ，
①正确；
，
②正确；
的度数是 ，
的度数是 ，
只有当 和 重合时， ，
，
只有 和 重合时， ，
③错误；作 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ，连接 交 于 ，此时 的值最短，等于
长，
连接 ，
，并且弧的度数都是 ，
， ，
，
是 的直径，
即 ，
的最小值是10，
④正确；
综上所述，正确的个数是3个．
故选： ．
7．如图，点A、B、C、D、E都是圆O上的点， ，∠B＝116°，则∠D的度数为______度．
【答案】128
【详解】解：连接AD．
∵ ，
∴∠ADC=∠ADE，
∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC=180°-116°=64°，
∴∠CDE=2×64°=128°，
故选：128．
8．如图，在扇形BOC中， ，OD平分 交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若
，则 长的最小值为______．
【答案】
【详解】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′，
由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，
∴∠COD′=90°，
∴CD′= ，
故答案为 ．
9．如图， 上依次有 ， ， ， 四个点，弧 弧 ，连接 ， ， ，延长 到点 ，
使 ，连接 ， 是 的中点，连接 ，求证： ．
【答案】证明见解析
【详解】证明：连接AC，∵AB=BE，
∴点B为AE的中点，
∵F是EC的中点，
∴BF为△EAC的中位线，
∴BF= ，
∵ ，
∴ ，
∴BD=AC，
∴BF= ．
10．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
(1)如图①，连接AC，AD，OD，求证：OD AC；
(2)如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，
求AC的长．
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【详解】(1)证明： 为 的中点，
，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，；
(2)解： 为 中点，
，
由(1)得： ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
