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24.2.2直线和圆的位置关系
知识点一：直线和圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫
切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d=r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
例题：已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
变式1：半径为10的⊙O和直线l上一点A，且OA=10，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
变式2：直线l上的一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆的位置关系一定是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
知识点二：切线的判定定理
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线
的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交
点，作半径，证垂直”．
例题：如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O
的一条切线MK，切点为K，则MK=（ ）
A．3 B．2 C．5 D．
变式1：如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P=40°，当∠B
等于（ ）时，PA与⊙O相切．
A．20° B．25° C．30° D．40°
变式2：已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线
EF与⊙O相切的是（ ）
A．OP=5B．OE=OF
C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF知识点三：切线的性质定理
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆
心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半
径，见垂直．
例题：如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，点C和点D分别是线段PA、PB上的动点，并且CD始终保持与
圆O相切，若PA=8cm，则△PCD的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．不能确定
变式1：如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则
∠B等于（ ）
A．27° B．32° C．36° D．54°
变式2：如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．2.5
知识点四：切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线
长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切
线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的
两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
例题：如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周
长是（ ）A．10 B．18 C．20 D．22
变式1：如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则
BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
变式2：如图，PA、PB切⊙O于A、B，点C在 上，DE切⊙O于C，交PA、PB于D、E，已知PO=13cm，
⊙O的半径为5cm，则△PDE的周长是 ．
知识点五：三角形的内切圆
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做
圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
例题：如图，圆 O 是△ABC 的内切圆，分别切 BA、BC、AC 于点 E、F、D，点 P 在弧 DE 上，如果
∠EPF=70°，那么∠B=（ ）A．40° B．50° C．60° D．70°
变式1：下列说法中，正确的个数共有（ ）
（1）一个三角形只有一个外接圆；
（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，△ABC内切圆与外接圆面积之比为（ ）
A．2：5 B．3：4 C．4：25 D．9：61
拓展点一：直线和圆的位置关系的应用
例题：点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那么圆O与直线a的位置关系
可能是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离
变式1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙C的半径为 ，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
变式2：⊙O半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定拓展点二：切线判定的应用
例题：如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（3，0），将⊙P沿x轴左平移，使
⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1 或 5
变式1：如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC
平分∠ABD．
求证：CD为⊙O的切线．
变式2：如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2 ，∠BCD=120°，A为 的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
拓展点三：切线性质的应用
例题：如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径
是（ ）
A．3 B． C．6 D．
变式1：如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，
CD=8，则弦AC的长为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．4变式2：如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，
ED，则∠CED的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
拓展点四：切线长定理的应用
例题：如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．140° C．70° D．80°
变式1：如图，圆外切四边形ABCD，且AB=15，CD=9，则四边形的周长是 ．
变式2：如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=6，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周
长是 ．易错点一：混淆点与点的距离及点到直线的距离的概念
例题：已知⊙O 的半径为3cm，⊙O 的半径为2cm，圆心距O O =4cm，则⊙O 与⊙O 的位置关系是（
1 2 1 2 1 2
）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
变式1：已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．相离、相切、相交都有可能
变式2：已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
易错点二：混淆三角形的外心和内心的实质
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（2）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，
例题：三角形的内心是三角形中（ ）
A．三条高的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条角平分线的交点变式1：正三角形外接圆的半径为2，那么它内切圆的半径为（ ）
A．1 B． C． D．2
变式2：如图，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，则下列等式：
①∠EDF=∠B；
②2∠EDF=∠A+∠C；
③2∠A=∠FED+∠EDF；
④∠AED+∠BFE+∠CDF=180°，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
