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5．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却
2025 年秋季新八年级开学摸底考试模拟卷
比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长
数 学 5尺：如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可
列方程组为（ ）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
A． B． C． D．
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 6．若 ，则 的值是（ ）
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A． B． C．1 D．25
4．考试范围：苏科版2024七年级下册全部
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题
目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上. 7．若关于x的方程 的解为非负整数，且关于x的不等式组 无解，则所有满
1．若某个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是（ ）
足条件的a的值之和是（ ）
A．7 B．6 C．4 D．0
A． B． C． D． 8．如图，有三张边长分别为 ， ， 的正方形纸片 ， ， ，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放
2．下列计算正确的是（ ）
置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为 ，面积为 ；图2中阴影部分周长为 ，面积为 ，若
A． B．
，则 与 满足的关系为（ ）
C． D．
3．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
C．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
A． B． C． D．
D．如果两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等
二、填空题：本题共8小题，每空2分，共16分．
4．如图，将长方形纸条折叠得 和 ，则 与 满足的数量关系为（ ）
9．计算 的结果为 ．
10．计算： ．
11．命题“若 ，则 ”是 命题．（填“真”或“假”）
A． B．
12．如图，将 沿 方向平移得到 ．若 的周长为 ，四边形ABFD的周长为 ，
C． D．
则平移的距离为 ．17．（5分）计算： ．
18．（9分）计算：
(1)解方程组： ；
13．若关于 的方程组 的解 ，则方程组 的解为 ．
(2)解不等式组： ，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
14．若关于x，y的二元一次方程组 的解满足不等式 ，则m的取值范围为 ．
15．对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说
19．（7分）先化简，再求值： ，其中 ， ．
明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形 （边长为2和 和长方形 ，并拼成图2．由面积相等
20．（6分）如图，已知点P为 边 上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线：
得： ，所以，当 时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式
的最大值为 ．
(1)如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P．
(2)如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在 上．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（7分）初中数学学习，运算法则是基础，我们要认真探究法则运算过程，准确掌握变形技巧和方法，
16．对于一个四位自然数m，其各数位上的数字均不为0，若其千位与十位上的数字之和为9，百位与个位
目的是能正确应用，如果 ，则 ，例如： ，则 ．
上的数字之和也为9，则称这个四位数m为“和九数”，如：2673，4158．若将“和九数”m的千位数字与
(1)根据上述规定，若 ，求 的值；
十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到一个新的四位数 ，且规定 ．例如： (2)记 ，求 的值．
22．（8分）藤球是一项球类运动，亚运会正式比赛项目之一．早在11世纪，东南亚国家文化中就有关于
藤球运动的记录．藤球比赛中，选手只能用脚、腿、肩和头触球．选手常常在比赛中会使用高难度、带杂
，∵ ，∴7128是“和九数”，此时 ，若 ，则
耍意味的动作来控制球的运动． 在学校第十三届科技节中，同学们动手实践，参与到藤球的制作活动中，
；若四位数s，t均为“和九数”，且s的千位数字与t的十位数字之和为10，s的百位数字与t的个位数字
进行了单层藤球和双层藤球的制作．已知制作同尺寸藤球，制作2个单层藤球和1个双层藤球需14米原材
料，制作1个单层藤球和3个双层藤球需27米原材料．
之和为7， 是一个完全平方数，则满足条件的s的最小值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共68分.材料一：解方程组 时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设 ， ，原方程组可化为 ，
(1)制作1个单层藤球和1个双层藤球各需多少米原材料？
(2)初一某班级共42人，现有原材料200米，若每人制作1个单层藤球或1个双层藤球（只做一个），则该 解得 ，即 ，解得 ．
班级最多可以制作多少个双层藤球？
23．（8分）【知识初探】如图1，正方形 是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形解答
材料二：解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
下列问题：
解：将方程② ，变形为 ③，
把方程①代入③得， ，则 ；
把 代入①得， ，所以方程组的解为： ．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）用两种不同的方法可以表示正方形 的面积，写成一个等式为________；
（2）运用（1）中的等式，解决以下问题：
(1)运用换元法解求关于a，b的方程组： 的解；
①已知 ， ，则 ________；
②已知 ， ，则 ________；
(2)若关于x，y的方程组 的解为 ，求关于m，n的方程组 的
【拓展延伸】（3）如图2， ， 分别表示边长为 ， 的正方形的面积，且 ， ， 三点在同一条直
线上，若 ， ，求图中阴影部分的面积． 解．
25．（10分）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的
“调和解”．
例：已知方程 与不等式 ＞0，当 时， ， ＞0同时成立，
则称“ ”是方程 与不等式 ＞0的“调和解”．
(1)已知有三个不等式：① ＞ ，②2（x+3）＜4，③ ＜3，判断方程 的解是不等式 的
“调和解”（填不等式前的序号）；
【知识迁移】（4）若 ，求 的值．
(2)若 是方程 与不等式组 的“调和解”，求 的取值范围；
24．（8分）阅读探索：(3)若关于x的方程 与关于x的不等式 恰有7个“调和解”为整数．求 的取值
范围．
