文档内容
§8.5 椭圆及其性质
考试要求 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对
称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．
知识梳理
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点
1 2 1 2
F，F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|FF|叫做椭圆的焦距．
1 2 1 2
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
范围 － a ≤ x ≤ a 且－ b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b 且－ a ≤ y ≤ a
A (0 ，－ a ) ，
1
A ( － a ， 0) ， A ( a ， 0) A (0 ， a )
1 2 2
顶点
B (0 ，－ b ) ， B (0 ， b ) B ( － b ， 0) ，
1 2 1
B ( b ， 0)
2
轴长 短轴长为 2 b ，长轴长为 2 a
焦点 F ( － c ， 0) ， F ( c ， 0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
焦距 |FF|＝ 2 c
1 2
对称性 对称轴： x 轴和 y 轴 ，对称中心：原点
离心率 e＝(0b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )
教材改编题
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F，F 是椭圆的两个焦点，则|PF|＋|PF|等于( )
1 2 1 2
A．4 B．5 C．8 D．10
答案 D
解析 依椭圆的定义知，|PF|＋|PF|＝2×5＝10.
1 2
2．若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( )
A．3 B．2＋
C．2 D.＋1
答案 A
解析 由题意知a＝2，b＝，所以c＝1，距离的最大值为a＋c＝3.
3．(2022·深圳模拟)已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为，则C的方程可以为________．
答案 ＋＝1(答案不唯一)
解析 因为焦点在x轴上，所以设椭圆的方程为＋＝1，a>b>0，
因为离心率为，
所以＝，
所以＝＝，
则＝.题型一 椭圆的定义及其应用
例1 (1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直
平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
答案 B
解析 点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|
PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．
(2)设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F ，F 分别为C的左、右焦点，且∠FPF ＝60°，
1 2 1 2
则△PFF 的面积为________．
1 2
答案
解析 由题意知，c＝.
又∠FPF＝60°，|FP|＋|PF|＝2a，
1 2 1 2
|FF|＝2，
1 2
∴|FF|2＝(|FP|＋|PF|)2－2|FP||PF|－
1 2 1 2 1 2
2|FP|·|PF|cos 60°
1 2
＝4a2－3|FP|·|PF|＝4a2－16，
1 2
∴|FP|·|PF|＝，
1 2
∴ ＝|FP|·|PF|sin 60°
1 2
＝××
＝.
延伸探究 若将本例(2)中“∠FPF＝60°”改成“PF⊥PF”，求△PFF 的面积．
1 2 1 2 1 2
解 ∵PF⊥PF，
1 2
∴|PF|2＋|PF|2＝|FF|2＝4(a2－4)
1 2 1 2
＝4a2－16，
又|PF|＋|PF|＝2a，
1 2
∴|PF|·|PF|＝8，
1 2
∴ ＝4.
教师备选
1．△ABC的两个顶点为A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
答案 A
解析 由题知点C到A，B两点的距离之和为10，故C的轨迹为以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，
长轴长为10的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.所以方程为＋＝1.又A，B，C三点不能共线，
所以＋＝1(y≠0)．
2．若F ，F 是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AFF ＝45°，则△AFF 的面
1 2 1 2 1 2
积为( )
A．7 B. C. D.
答案 C
解析 由题意得a＝3，b＝，c＝，
∴|FF|＝2，|AF|＋|AF|＝6.
1 2 1 2
∵|AF|2＝|AF|2＋|FF|2－2|AF|·|FF|cos 45°
2 1 1 2 1 1 2
＝|AF|2＋8－4|AF|，
1 1
∴(6－|AF|)2＝|AF|2＋8－4|AF|，
1 1 1
解得|AF|＝.
1
∴△AFF 的面积
1 2
S＝×2××＝.
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最
值和离心率等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
跟踪训练1 (1)已知两圆C ：(x－4)2＋y2＝169，C ：(x＋4)2＋y2＝9.动圆M在圆C 内部且和
1 2 1
圆C 相内切，和圆C 相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是( )
1 2
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 设动圆的圆心M(x，y)，半径为r，
圆M与圆C ：(x－4)2＋y2＝169内切，
1
与圆C ：(x＋4)2＋y2＝9外切．
2
所以|MC |＝13－r，|MC |＝3＋r.
1 2
|MC |＋|MC |＝16>|C C |＝8，
1 2 1 2
由椭圆的定义，M的轨迹是以C ，C 为焦点，长轴长为16的椭圆．
1 2
则a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，
动圆的圆心M的轨迹方程为＋＝1.
(2)(2022·武汉调研)设椭圆＋＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长
的最大值为( )
A．4＋ B．6C．2＋2 D．8
答案 D
解析 设F 为椭圆的另外一个焦点，
1
则由椭圆的定义可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF|＋2a－|BF|＋|AB|＝4a＋|AB|－|BF|－|AF|＝
1 1 1 1
8＋|AB|－|BF|－|AF|，
1 1
当A，B，F 三点共线时，
1
|AB|－|BF|－|AF|＝0，
1 1
当A，B，F 三点不共线时，
1
|AB|－|BF|－|AF|<0，
1 1
所以当A，B，F 三点共线时，△ABF的周长取得最大值8.
1
题型二 椭圆的标准方程
命题点1 定义法
例2 已知椭圆C的焦点为F(－1,0)，F(1,0)，过F 的直线与C交于A，B两点．若|AF|＝
1 2 2 2
2|FB|，|AB|＝|BF|，则C的方程为( )
2 1
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆定义可得|AF|＋|AB|＋|BF|＝4a.
1 1
∵|AB|＝|BF|，∴|AF|＋2|AB|＝4a.
1 1
又|AF|＝2|FB|，
2 2
∴|AB|＝|AF|，
2
∴|AF|＋3|AF|＝4a.
1 2
又|AF|＋|AF|＝2a，
1 2
∴|AF|＝a，∴A为椭圆的短轴端点．
2
如图，不妨设A(0，b)，
又F(1,0)，AF2＝2F2B，
2
∴B.
将B点坐标代入椭圆方程＋＝1，
得＋＝1，
∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为＋＝1.
命题点2 待定系数法
例3 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P(，1)，P(－，－)，则该
1 2
椭圆的方程为________．
答案 ＋＝1
解析 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．
因为椭圆经过P，P 两点，
1 2
所以点P，P 的坐标满足椭圆方程，
1 2
则
解得
所以所求椭圆的方程为＋＝1.
教师备选
1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为，过F 的直线与椭
1 2 2
圆C交于A，B两点，若△FAB的周长为8，则椭圆方程为( )
1
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 如图，
由椭圆的定义可知，△FAB的周长为4a，
1
所以4a＝8，a＝2，又离心率为，
所以c＝1，b2＝3，
所以椭圆方程为＋＝1.
2．设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2,0)，离心率为，则此椭圆的方程为________．
答案 ＋＝1
解析 椭圆的右焦点为(2,0)，
所以m2－n2＝4，e＝＝，
所以m＝2，代入m2－n2＝4，得n2＝4，
所以椭圆方程为＋＝1.
思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，
一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系
数法求出m，n的值即可．
跟踪训练 2 (1)已知椭圆的两个焦点为 F(－，0)，F(，0)，M 是椭圆上一点，若
1 2
MF ⊥MF ，|MF |·|MF |＝8，则该椭圆的方程是( )
1 2 1 2
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 C
解析 设|MF |＝m，|MF |＝n，
1 2
因为MF ⊥MF ，|MF |·|MF |＝8，
1 2 1 2
|FF|＝2，
1 2
所以m2＋n2＝20，mn＝8，
所以(m＋n)2＝36，
所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.
因为c＝，
所以b＝＝2.
所以椭圆的方程是＋＝1.
(2)已知F(－1,0)，F(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F 且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，
1 2 2
且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 C
解析 如图，|AF|＝|AB|＝，|FF|＝2，
2 1 2
由椭圆定义，得|AF|＝2a－.①
1
在Rt△AFF 中，
1 2
|AF|2＝|AF|2＋|FF|2＝2＋22.②
1 2 1 2
由①②得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
题型三 椭圆的几何性质命题点1 离心率
例4 (1)(2022·湛江模拟)已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆C的下顶点且斜
率为的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 过椭圆C的下顶点(0，－b)且斜率为的直线方程为y＝x－b，即x－y－b＝0，
F(c，0)，由点到直线距离公式，
得c＝，
即c2＝－bc＋b2，即(2c－b)(c＋2b)＝0，
则2c－b＝0，b＝2c.
又a2＝b2＋c2，即a2＝(2c)2＋c2＝5c2，
解得＝.
(2)已知F ，F 分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠FPF ＝
1 2 1 2
90°，则椭圆的离心率e的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 若椭圆上存在点P，使得PF⊥PF，则以原点为圆心，FF 为直径的圆与椭圆必有交
1 2 1 2
点，如图，
可得c≥b，即c2≥b2，
所以2c2≥a2，即e2≥，
又e<1，所以e∈.
思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解．
(3)构造a，c的齐次式．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
命题点2 与椭圆有关的范围(最值)
例5 (1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最
小值为( )
A．1 B. C．2 D．2答案 D
解析 设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为
b时，以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积最大，所以×2cb＝1，故bc＝1，故
2a＝2≥2＝2(当且仅当b＝c＝1时取等号)．
(2)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b>0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，
P是椭圆上任意一点，则PF·PA的最大值为________．
答案 4
解析 由题意知a＝2，因为e＝＝，
所以c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3，
故椭圆的方程为＋＝1.
设P点的坐标为(x，y)，
0 0
所以－2≤x≤2，－≤y≤.
0 0
因为F(－1,0)，A(2,0)，
所以PF＝(－1－x，－y)，
0 0
PA＝(2－x，－y)，
0 0
所以PF·PA＝x－x－2＋y＝x－x＋1＝(x－2)2，
0 0 0
所以当x＝－2时，PF·PA取得最大值4.
0
教师备选
1．(多选)嫦娥四号在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所
示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的
直径约为3 476公里，则下列选项中正确的有( )
A．焦距长约为300公里
B．长轴长约为3 988公里
C．两焦点坐标约为(±150,0)D．离心率约为
答案 AD
解析 设该椭圆的长半轴长为a，半焦距长为c.
依题意可得月球半径约为×3 476＝1 738，
a－c＝100＋1 738＝1 838，
a＋c＝400＋1 738＝2 138，
所以2a＝1 838＋2 138＝3 976，a＝1 988，
c＝2 138－1 988＝150,2c＝300，
椭圆的离心率约为e＝＝＝，
可得结论A，D正确，B错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C错误．
2．(2022·太原模拟)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意
一点，则OP·FP的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．8
答案 C
解析 由椭圆＋＝1可得F(－1,0)，
点O(0,0)．
设P(x，y)(－2≤x≤2)．
则OP·FP＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3
＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，
当且仅当x＝2时，OP·FP取得最大值6.
思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质；
(2)利用函数，尤其是二次函数；
(3)利用不等式，尤其是基本不等式．
跟踪训练3 (1)(2022·济南质检)设椭圆E的两焦点分别为F ，F ，以F 为圆心，|FF|为半
1 2 1 1 2
径的圆与E交于P，Q两点．若△PFF 为直角三角形，则E的离心率为( )
1 2
A.－1 B.
C. D.＋1
答案 A
解析 不妨设椭圆 E 的方程为＋＝1(a>b>0)，如图所示，∵△PFF 为直角三角形，
1 2
∴PF⊥FF，又|PF|＝|FF|＝2c，∴|PF|＝2c，∴|PF|＋|PF|＝2c＋2c＝2a，
1 1 2 1 1 2 2 1 2
∴椭圆E的离心率e＝＝－1.(2)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P
满足(FP＋FA)·AP＝0，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 取AP的中点Q，则FQ＝(FP＋FA)，
所以(FP＋FA)·AP＝2FQ·AP＝0，
所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，
即|FA|＝|FP|，且|FA|＝＝a.
因为点P在直线x＝上，
所以|FP|≥－c，即a≥－c，
所以≥－1，所以e2＋e－1≥0，
解得e≥或e≤.
又0＜e＜1，故≤e＜1.
课时精练
1．已知动点M到两个定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋x2＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 由题意有6>2＋2＝4，
故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，
则2a＝6，c＝2，故a2＝9，
所以b2＝a2－c2＝5，
故椭圆的方程为＋＝1.
2．若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.答案 C
解析 依题意可知，c＝b，
又a＝＝c，
∴椭圆的离心率e＝＝.
3．椭圆＋y2＝1的两个焦点分别是F ，F ，点P是椭圆上任意一点，则PF1·PF2的取值范围
1 2
是( )
A．[－1,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[－1,2]
答案 C
解析 设F 为左焦点，
1
则由椭圆方程得F(－1,0)，F(1,0)，
1 2
设P(x，y)，－≤x≤，
∴PF1＝(－1－x，－y)，PF2＝(1－x，－y)，
则PF1·PF2＝x2＋y2－1＝∈[0,1]．
4．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是( )
A．(0,3) B.
C．(0,3)∪ D．(0,2)
答案 C
解析 当k>4时，c＝，
由条件知<<1，
解得k>；
当01)，
解得a2＞或a2＜(舍去)，
则椭圆C的离心率
e＝＜＝＝，
又0b>0)，
依题意得
因此a＝5，b＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)易知|y |＝4，又c＝3，
P
所以 ＝|y |×2c＝×4×6＝12.
P
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，焦点F(－c，0)，F(c，0)，左顶点为A，点E的坐标为
1 2
(0，c)，A到直线EF 的距离为b.
2(1)求椭圆C的离心率；
(2)若P为椭圆C上的一点，∠FPF＝60°，△PFF 的面积为，求椭圆C的方程．
1 2 1 2
解 (1)由题意得，A(－a，0)，EF：x＋y＝c，
2
因为A到直线EF 的距离为b，
2
即＝b，
所以a＋c＝b，
即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2，
所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，
所以2c2＋ac－a2＝0，
因为离心率e＝，
所以2e2＋e－1＝0，
解得e＝或e＝－1(舍)，
所以椭圆C的离心率为.
(2)由(1)知离心率e＝＝，即a＝2c，①
因为∠FPF＝60°，△PFF 的面积为，
1 2 1 2
则|PF||PF|sin 60°＝，
1 2
所以|PF||PF|＝4，
1 2
又
所以a2－c2＝3，②
联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
11．(多选)(2022·大连模拟)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F ，F ，左、右顶点分
1 2
别是A，A，点P是椭圆C上异于A，A 的任意一点，则下列说法正确的是( )
1 2 1 2
A．|PF|＋|PF|＝4
1 2
B．存在点P满足∠FPF＝90°
1 2
C．直线PA 与直线PA 的斜率之积为－
1 2
D．若△FPF 的面积为2，则点P的横坐标为±
1 2
答案 CD
解析 由椭圆方程知a＝4，b＝3，c＝，
|PF|＋|PF|＝2a＝8，A错误；
1 2
当P在椭圆上、下顶点时，
cos∠FPF＝＝>0，
1 2即∠FPF 最大值小于，B错误；
1 2
若P(x′，y′)，则 ＝，
＝，
有 ＝，
而＋＝1，
所以－16y′2＝9(x′2－16)，
即有 ＝－，C正确；
若P(x′，y′)，△FPF 的面积为2，
1 2
即＝2，
故y′＝±2，
代入椭圆方程得x′＝±，D正确．
12．(多选)2021年10月16日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报微博发了一条“跨越时
空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，
其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径(卫星与地球的连线)在
相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为 2a，2c，下列结论正确的是(
)
A．飞船向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
答案 ABD
解析 根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；
当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知在左半椭圆弧的运
行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B正确；
＝＝－1，比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误；
根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度
最小，D正确．
13．设F ，F 分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线 x＝上存在点P，使线段
1 2
PF 的中垂线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( )
1 2A. B. C. D.
答案 D
解析 设P，F(－c，0)，F(c，0)，
1 2
由线段PF 的中垂线过点F 得
1 2
|PF|＝|FF|，
2 1 2
即 ＝2c，
得m2＝4c2－2＝－＋2a2＋3c2≥0，
即3c4＋2a2c2－a4≥0，
得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，
又0b>0)，焦点F(－c，0)，F(c，0)(c>0)．若过F 的直线和
1 2 1
圆2＋y2＝c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF⊥x轴，则该直线的斜率是________，
2
椭圆的离心率是________．
答案
解析 设过F 的直线与圆的切点为M，圆心A，
1
则|AM|＝c，|AF|＝c，
1
所以|MF |＝c，
1
所以该直线的斜率k＝＝＝.
因为PF⊥x轴，所以|PF|＝，
2 2
又|FF|＝2c，
1 2
所以k＝＝＝＝(0b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别为
F，F，且△FAB的面积为，若点P为椭圆上的任意一点，则＋的取值范围是________．
1 2 1
答案 [1,4]
解析 由已知得2b＝2，故b＝1.
∵△FAB的面积为，
1
∴(a－c)b＝，
∴a－c＝2－，
又a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1，
∴a＝2，c＝，
∴＋＝
＝
＝.
又2－≤|PF|≤2＋，
1
∴1≤－|PF|2＋4|PF|≤4，
1 1
∴1≤＋≤4，
即＋的取值范围为[1,4]．
16．已知F，F 是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠FPF＝60°.
1 2 1 2
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△FPF 的面积只与椭圆的短轴长有关．
1 2
(1)解 不妨设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c.
在△FPF 中，由余弦定理得，
1 2
cos 60°＝
＝，
即＝，
所以|PF|·|PF|＝4a2－2|PF|·|PF|－4c2，
1 2 1 2
所以3|PF|·|PF|＝4b2，
1 2
所以|PF|·|PF|＝.
1 2
又因为|PF|·|PF|≤2＝a2，
1 2
当且仅当|PF|＝|PF|时等号成立，
1 2
所以3a2≥4(a2－c2)，
所以≥，
所以e≥.
又因为0
