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第二十四章 数据的分析
24.4 数据的分组
教学设计
课题 24.4 数据的分组 授课人
1.掌握计算组内离差平方和的方法
教学目标
2.通过组内离差平方和分析数据的分散程度
教学重点 理解离差平方和的概念
教学难点 会用离差平方和对数据进行分组
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 在社会生活中，分类现象普遍存在．例如，超市里各种商品 通过回顾
按用途不同分类摆放，宾馆根据硬件设施、服务水平等分成不同 旧知为学
的星级，等等．在实际问题中，当面临的对象复杂多样时，分类 习新知做
往往可以为我们处理问题带来方便．对于一组取值多样的数据， 好准备.
对其进行合理分组，也会有助于我们解决问题.
探究新知 问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔 通过问题
试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘 探究和讨
者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下： 论，帮助
学生理解
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
数据的分
你认为哪一部分应聘者应当进入面试? 组 . 通 过
观察和讨
自然，应当选择笔试成绩好的应聘者进人面试．那么笔试成
论，帮助
绩怎样才算好呢？可以有不同的标准．例如，前三名或85分及以
学生发现
上等，不管哪种标准，目的都是把笔试成绩分成好和差两组.
数据的分
对笔试成绩进行分组，上面提到的标准各有其合理性，在实 组，并掌
际中也经常被采用．但这些标准都没有考虑数据自身的特点，这 握 其 应
可能导致两个很接近的笔试成绩被分到不同的组.例如，83分与 用.
85分的差距很小，若以“85分及以上”为好成绩的标准，则 85
分属于好成绩，而83分属于差成绩．而从公司确定面试应聘者的
角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较合理的做
法.因此，笔试成绩可以根据组内差异最小的原则进行分组.
将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成
绩都挨在了一起，因此，要使分组后的组内差异最小，只需在已
排序数据的基础上寻找分组方法，可以发现，10个笔试成绩按顺
序排列形成9个间隔，如图所示，
每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，共有9种分法.思考 怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试
成绩好和差两组的组内差异最小？
在前面的学习中，我们知道，离差平方和可以刻画一组数据
的离散程度.下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程
度，进而对数据进行分组.
一般地，设有 n 个数据 x ，x ，…，x ，其平均数记为 ，
1 2 n
则离差平方和为
如果把这组数据分为两组，前 m（m<n）个数据为一组，后
（n-m）个数据为一组,它们的平均数分别记为 ，离差平方
和分别为
其中 称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程
度；记
d² 是m个第一组数据平均数、（n-m）个第二组数据平均
12
数关于总体数据平均数的离差平方和，称为组间离差平方和，表
示两个组间的差异．根据组内离差平方和最小的原则进行分组
时，由于 d²不变，既可以按 d² +d² 最小来分组，也可以按
1 2
d² 最大来分组.
12
这样，根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差
较小的应聘者分在同一组．利用计算器或信息技术工具，可以计
算出图中的 9 种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一
位），如表所示.
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第 5个间隔分
组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为{58，64，68，75，76}和{83，85，89，99，92}.
（链接例题）
典例精析 【例】10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温） 通过例题
如表所示. 和练习帮
助学生掌
握所学知
识，培养
学生的应
根据平均高温的组内离差平方和最小的原则：把这10个城市分为 用能力.
两组.
【解】将表中的数据按从小到大排列：可得-11 -3 3 3 9
10 12 17 21 22
将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分
别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表所示
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第 4 个间隔分组
时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法
为{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}和{上海，广州，海口，成
都，贵阳，昆明}.
随堂检测 1．科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作 通过设置
用速率（单位：μmol⋅m−2⋅s−1）．统计结果为35，30，23，17， 随 堂 检
20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需 测，及时
先将数据由 小 到 大 排序，再将这8株植物分成两组时，共 获知学生
可以分成 7 种情况． 对所学知
识的掌握
2．甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩（单位：分）如下：15，
情况，明
18，15，24，按照“组内离差平方和最小”的方法，将竞赛成绩
确哪些学
分成两组．
生需要在
解：将4个数据从小到大排序：15，15，18，24．将它们分成两 课后加强
组共有3种情况，分别计算组内离差平方和，如表所示 辅导，达
到全面提
高 的 目
的.所以第三种情况的组内离差平方和最小，
所以将竞赛成绩分成的两组是{15,15,18}和{24}．
课堂小结 巩固所学
知识，加
深对本节
知识的理
解.
作业布置
板书设计 24.4 数据的分组
例题解析
教学反思
