文档内容
24.4 数据的分组
一、教学目标
【知识与技能】
1.理解组内离差平方和的含义与计算.
2.经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则
对数据进行分类的方法.
【过程与方法】
经历数据分组优化的实践过程，体会统计决策的科学性。通过小
组合作探究，感受“优化分组”对数据规律的提炼作用。
【情感态度与价值观】
培养用数学方法解决实际问题的意识。体会合理分组对数据分析
的重要性，形成严谨的数据观念。
二、 课型
新授课
三、课时
第1课时 共1课时
四、教学重难点
1 / 10【教学重点】
组内离差平方和的计算方法；理解找最优分组的逻辑.
【教学难点】
离差平方和统计意义的理解；从数学最优解到实际意义的转化.
五、 课前准备
教师：课件、三角尺、直尺等.
学生：三角尺、铅笔、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2-3）
超市商品从“牛奶、面包、牙膏、洗发水”变成“食品区、日用
品区、生鲜区”，能快速找到你要的东西.
校医需分析七年级某班20名学生的身高分布：
155，155，156，157，158，159，160，161，162，162，163，
165，165，166，167，167，168，169，172，178.
若想分为 3 组制作频数分布表，等距分组法（如 150-160，160-
170，170-180）可能存在什么问题？
学生答：有的组人数过多（如 160-170集中12人），有的组过少
2 / 10（170-180仅2人），无法清晰反映分布特征。
教师问：是否存在更科学的分组方法，使得每组内部数据尽可能
相似？如何衡量“组内差异度”？
（二）探索新知
1.出示课件5-12，数据的合理分组原则——组内离差平方和最
小
教师出示问题：
一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然
后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试
成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下：
58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
你认为哪一部分应聘者应当进入面试？
选择笔试成绩好的进入面试，那么怎样才算好呢？标准是什么呢？
师生一起解答：
例如，前三名或85分及以上为好成绩，其余为不太好的成绩.
但是83分和85分的差距很小，若以“85分及以上”为好成绩的
标准，则85分属于好成绩，而83分属于不太好的成绩.
3 / 10这么看，有些标准没有考虑数据自身的特点.从公司确定面试应
聘者的角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较合理
的做法.
因此，笔试成绩可以根据组内差异最小的原则进行分组.
教师引导学生进行数据分组：
要使分组后的组内差异最小，将笔试成绩按从小到大的顺序排列，
使相互最接近的笔试成绩挨在一起，然后进行分组，可以发现，10
个笔试成绩按顺序排列形成了9个间隔，如下. 每个间隔都可以把
笔试成绩分成好和差两组，共有9种分法.
教师问：怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔
试成绩好和差两组的组内差异最小？
学生答：利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据
进行分组。
教师引导学生计算离差平方和：
一般地，设有一般地，设有n个数据x ，x ，…，x ，假设这些
1 2 n
4 / 10数据都不相等，其平均数记为x，则离差平方和为d2=（x -x）2+
1
（x -x）2+…+（x -x）2.
2 n
如果把这组数据分为两组，前m（m＜n）个数据为一组（称为
第一组），后（n-m）个数据为一组（称为第二组），那么这n个数
据的离差平方和可以分解为两类离差平方和：一类反映两个组内数
据的离散程度，另一类反映两组数据之间的差异程度.
它们的平均数分别记为x 和x ，离差平方和分别为
1 2
=（x -x ）2+（x -x ）2+…+（x -x ）2，
d2 1 1 2 1 m 1
1
=（x -x ）2+（x -x ）2+…+（x -x ）2.
d2 m+1 2 m+2 2 n 2
2
=（x -x）2+（x -x）2+…+（x -x）2
d2 1 2 n
=（x -x）2+（x -x）2+…+（x -x）2+（x -x）2+
1 2 m m+1
（x -x）2+…+（x -x）2
m+2 n
=（x -x + x - x ）2+（x -x + x - x ）2+…+
1 1 1 2 1 1
（x -x + x - x ）2+（x -x + x - x ）2+（x -
m 1 1 m+1 2 2 m+2
x +
2
x - x ）2+…+（x -x + x - x ）2
2 n 2 2
5 / 10=（x -x ）2+（x -x ）2+…+（x -x ）2+（x -x ）2+
1 1 2 1 m 1 m+1 2
（x -x ）2+…+（x -x ）2
m+2 2 n 2
= + + m（x -x）2+（n-m）（x -x）2.
d2 d2 1 2
1 2
教师归纳总结：
其中 + 称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度；
d2 d2
1 2
= m（x -x）2+（n-m）（x -x）2，称为组间离差平方和，表示
d2 1 2
12
两个组间的差异.
一个合理的分组原则是使组内离差平方和达到最小，组间离差平
方和达到最大.由于总体离差平方和d2不变，只需考虑使组内离差平
方和达到最小即可.
学生根据组内离差平方和最小原则解答问题：
教师问：根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较
小的应聘者分在同一组，计算这9种分法的组内离差平方和（结果
保留小数点后一位）.
师生共同分析：第一组1个、第二组9个数据，计算组内离差平
6 / 10方和；第一组2个、第二组8个数据，计算组内离差平方和；
……
如下表所示.
可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小.
因此，分法为{58，64，68，75，76}和{83，85，89，90，92}.
考点 利用组内离差平方和最小原则对数据分组
例 10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）
如下表所示.
根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这10个城市分
为两组.（出示课件13）
7 / 10师生共同分析解答：
解：
将表中的数据按从小到大排列，可得
-11 -3 3 3 9 10 12 17 21 22
将它们分成两组共有9种情况，分别计算组内离差平方和（结果
保留小数点后一位），如下表所示.
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时，
组内离差平方和最小.
因此，按组内离差平方和最小的分法为{北京，石家庄，呼和浩
特，哈尔滨}和{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}.
出示课件16，学生自主练习后口答，教师订正.
（三）课堂练习（出示课件18）
8 / 10练习课件第18页题目，约用时10分钟.
（四）课堂小结（出示课件19）
（五）课前预习
预习下节课（数学活动第1课时）的相关内容.
知道数学活动的步骤
七、课后作业
1、教材第185页练习第2题，习题24.4第1，2题.
2、培优练习24.4第6，9题.
八、板书设计
24.4 数据的分组
组内离差平方和：
例题
9 / 10考点
九、教学反思：
成功之处：通过对比常规分组与最有分组，学生直观感知“组内
更紧凑、组间更分离”的分布优势.学生经历排序→分割→计算→比
较一系列活动, 理解优化算法的逻辑，体现实际需求与数学模型的
辩证思考.增强学生的统计意识和解决实际问题的能力,体会数学来
源于生活,应用于生活.
补救措施：适当增加一些实例,让学生通过实践操作,独立分析寻
求解决实际问题的数学方法,增强应用数学的意识.
10 / 10
