文档内容
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
学习目标：1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程并会应用解决问题.
自主学习
一、知识链接
1.小学里学习过圆周长和圆面积的计算公式，公式分别是什么呢？
2. 想一想什么叫弧长？什么叫扇形？
课堂探究
二、要点探究
探究点1：与弧长相关的计算
问题1 半径为R的圆，周长是多少？
问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?
(1) 圆心角是180° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 .
(2) 圆心角是90° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 .
(3) 圆心角是45° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 .
(4) 圆心角是n° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 .
要点归纳：弧长公式为 .
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义．n 表示 1° 圆心角的倍数，它是
不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为 .典例精析
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展
直长度l (单位：mm，精确到1mm).
练一练 一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径 R=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮
的一条半径 OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取
3.14)？
探究点2：与扇形面积相关的计算
概念学习 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图，黄色部
分是一个扇形，记作扇形OAB.
练一练 判断：下列图形是扇形吗？
(1) (2) (3) (4) (5)
问题1 半径为的圆，面积是多少？
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢？知识要点：在半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形面积为 .
注意：
①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）
问题3 扇形面积与哪些因素有关？
（1） （2）
（1） 大小不变时，对应的扇形面积与 有关， 越长，面积越大.
（2）圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大.
问题4 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
例 2 如图，圆心角为 60°的扇形的半径为 10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到
0.01cm2和0.01cm）练一练
1.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 cm，则这个扇形的面积S = ．
扇
2.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S = .
扇
例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m，求截面
上有水部分的面积（精确到 0.01 m2 ）.
知识要点：弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积.
三、课堂小结
弧长
计算公式：
扇形定义 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形.
弧长和扇
形面积
扇形面积公式
扇形面积为 或 .
弓形面积计算公式 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积.
当堂检测
1.已知弧所对的圆周角为90°，半径是4，则弧长为 .
2.某扇形的圆心角为72°，面积为5π，则此扇形的弧长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
，则扇形AOB的面积为（ ）
A．5π B．12.5π C．20π D．25π第3题图 第4题图
4.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是
.
5. （例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高
0.9m，求截面上有水部分的面积.
6. 如图，一个边长为10cm的等边三角形模板在水平桌面上绕顶点按顺时针方向旋转到
△A'B'C的位置，求顶点从开始到结束所经过的路程为多少.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.半径为r的圆，其周长为2πr,面积为 πr2.
2.弧长为圆周长的一部分，扇形为组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：与弧长相关的计算
问题1：C=2πR问题2 :
算一算
典例精析
例1 解：由弧长公式，可得弧AB的长 因此所要求的展直长
度L=2×700+500π≈2971（mm）.
答：管道的展直长度约为2971 mm．
练一练 解：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n°. 解得 n≈90°.
因此，滑轮旋转的角度约为90°.
探究点2：与扇形面积相关的计算
练一练 × × √ × √
问题1 S=πr2
问题2
比例：
扇形面积：
问题3 圆心角 半径 半径
半径 圆心角 圆心角
扇形弧长为l,半径为r,则S =
扇形
问题4
S =
三角形
想一想
例2 解：∵n=60，r=10cm，∴扇形的面积为扇形的周长为
试一试： 1. cm2 2.
例3 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交 于点C，连接
AC.∵ OC＝0.6 m， DC＝0.3 m, ∴ OD＝OC- DC＝0.3 m，∴ OD＝DC.又 AD ⊥DC，
∴AD是线段 OC 的垂直平分线，∴AC＝AO＝OC.从而 ∠AOD＝60˚，∠AOB=120˚.在
Rt△AOD中，OA=0.6 m，OD=0.3 m，∴AD= m.∴AB=2AD= m.有水
部 分 的 面 积 S ＝ S - S =
扇 形 OAB ΔOAB
当堂检测
1.4π 2.B 3.D 4.12πcm2
5.解：S=S +S =
扇形 △OAB
6.解：由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，
即∠ACA' =120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA' 的长.∵等边三角形ABC的边长为
10cm，∴弧AA' 所在圆的半径为10cm.∴l =
弧AA'
答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为
