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§1.5 均值不等式的综合应用
课标要求 1.会求与均值不等式有关的恒成立问题.2.理解均值不等式在实际问题中的应
用.3.掌握均值不等式在其他知识中的应用．
题型一 与均值不等式有关的恒(能)成立问题
例1 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，若2x＋y0，不等式≥a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．[5，＋∞) B．(5，＋∞)
C．(－∞，5] D．(－∞，5)
思维升华 ∃x∈M，使得 f(x)≥a，等价于 f(x) ≥a；∃x∈M，使得 f(x)≤a，等价于
max
f(x) ≤a.
min
跟踪训练1 (1)对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为( )
A．{m|－22}
C．{m|m>－2} D．{m|m≤－2}
(2)(2023·忻州模拟)已知a2＋b2＝k，若＋≥1恒成立，则k的最大值为( )
A．4 B．5 C．24 D．25
题型二 均值不等式的实际应用
例2 第19届亚运会于2023年9月在杭州举办，某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销
会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一
个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．为配合这个活动，生产纪念品的
厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为 50元，浮
动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售
每套纪念品的利润＝售价－供货价格．
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？
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跟踪训练2 第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行
某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件
售价为25元，年销售 8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于
原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行
全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2 － 600)万元作为技改费
用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后
的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？
并求出此时商品的每件定价．
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题型三 均值不等式与其他知识交汇的最值问题
例3 (1)若“∃x∈，使得3x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的最大值是( )
A．2 B．2 C．4 D．5
(2)在△ABC中，点D在线段BC上，且满足|BD|＝|BC|，点E为线段AD上任意一点，若实
数x，y满足BE＝xBA＋yBC，则＋的最小值为( )
A．2 B．4
C．4＋2 D．9＋4
跟踪训练3 双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为(
)
A. B. C．2 D.
