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第一讲：集合
【考点梳理】
1．集合及其关系
（1）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.
（2）集合间的基本关系
表示
文字语言 记法
关系
子集 集合 的元素都是集合 的元素 或
集合 是集合 的子集，但集合 中至少
基本关系 真子集 A⊆B 或 B⊆A
有一个元素不属于
相等 集合 ， 的元素完全相同
不含 任何元素的集合．空集是任何集合
空集
的子集
注意：（1）空集是任何集合的子集；（2）空集是任何非空集合的真子集；（3）若有限集 中有
个元素，则集合 的子集个数为 ，真子集的个数为 .
2．集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号
表示
图形
表示
意义
性质 A∪φ=A A∪A=A A∩φ=φ A∩A=A A∪C A=U A∩C A=φ
, , U , U
A∪B=A⇔B⊆A A∩B=A⇔A⊆B
【典型题型讲解】
考点一：集合的概念：集合表示，元素的性质
【典例例题】
例1．集合 ，用列举法可以表示为 _________．
【答案】 ##
【详解】
因为 ，所以 ，可得 ，因为 ，所以 ，集合 ．
故答案为：例2、已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
， ，
,
故选：C
例3、设集合 ，若 且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为集合 ，而 且 ，
且 ，解得 ．
故选：C．
【方法技巧与总结】
1.列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.
2.描述法，注意代表元素.
3.研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。
【变式训练】
1、已知集合 ， ，则集合 中元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】
解：因为 ， ，所以 或 或 或 ，
故 ，即集合 中含有 个元素；故选：C
2、设集合 ， ，则集合 中元素个数为（ ）
A． B． C． D．无数个
【答案】B
【详解】
由 ，解得 ，故 ，
，
故 ，集合 中元素个数为3.
故选：B.
3、定义集合 的一种运算： ，若 ， ，则 中的
元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为 ， ， ，
所以 ，
故集合 中的元素个数为3，
故选：C.
4、已知集合 ， ， ，则C中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】
由题意，当 时， ，当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
即C中有三个元素，
故选：C5、设集合 ， ，则集合 元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】
当 时，y＝1；
当 时，y＝0；
当x＝3时， ．
故集合B共有3个元素．
考点二： 集合与集合之间的关系
【典例例题】
例1、（2022·广东潮州·高三期末）已知集合 ， ．若 ，则m等于（ ）
A．0 B．0或1 C．0或2 D．1或2
【答案】C
【详解】因为 ， ，且 ，
所以 或 .
故选：C.
例题2、（2022·四川·高三阶段练习）集合 的一个真子集可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由 ，即 ，解得 ，
所以 ，所以 的一个真子集可以为 ．
故选：C
例题3．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ，则集合A的子集个数为（ ）
A．16 B．32 C．15 D．31
【答案】B
【详解】
因为集合 ，所以集合A的子集个数为 ，
故选：B
【方法技巧与总结】
1.注意子集和真子集的联系与区别.
2.判断集合之间关系的两大技巧：
（1）定义法进行判断
（2）数形结合法进行判断：数轴、韦恩图
【变式训练】
1、设集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
或 ，
因为 ，故可得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：D.
2、已知集合 ， ， ，则实数 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意得， ，∵ ， ，
∴实数a的取值集合为 ,
故选:C.
3、(多选)已知集合 ， ，则下列命题中正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 或 D．若 时，则 或
【答案】ABC
【详解】
，若 ，则 ，且 ，故A正确.
时， ，故D不正确.若 ，则 且 ，解得 ，故B正确.
当 时， ，解得 或 ，故C正确.
故选：ABC．
考点三： 集合的运算：交集、并集、补集运算
【典例例题】
例1．（2022·广东·金山中学高三期末）已知集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】集合 ，
集合 ，
故选：C
例2.（2022·全国·高三专题练习（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为 ， ，所以 .
故选：D.
例3．（2022·广东·铁一中学高三期末）设集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 得 ，则集合 ，
由 得 ，则集合 ，
所以 .
故选：B.
【方法技巧与总结】
1.会用数形结合求集合的交集与并集运算
2.全集和补集是不可分离的两个概念
【变式训练】
1．（2022·广东中山·高三期末）设全集 与集合 的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由 图，元素属于 但不属于 ，
即阴影部分对应的集合为 ，
故选：D．
2.已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】
由题意 ， ，
当 时， ，即 ，符合题意；当 ，即 时， ，则有 或
，即
综上，实数 的取值范围为 .
故选：C.
3.已知集合 ，全集 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由 ，即 ，等价于 ，解得 或 ，
所以 或 ，由 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ；
故选：C
4．设集合 、 均为 的子集，如图， 表示区域（ ）
A．Ⅰ B．II
C．III D．IV【答案】B
由题意可知， 表示区域II.
故选：B.
5．建党百年之际，影片《 》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止 年 月底，《长津湖》
票房收人已超 亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取
了 人进行调查，得知其中观看了《 》的有 人，观看了《长津湖》的有 人，观看了《革命者》
的有 人，数据如图，则图中 ___________； ___________； ___________.
【答案】
由题意得： ，解得： .
故答案为： ； ； .
【巩固练习】
一、单选题
1．已知全集 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意知： ， .
故选：B.
2．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由 得： ，即 ；
由 ， 得： ，即 ， ，
.
故选：A.
3．已知集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意得， ，又 则 ，
因为 ，所以 ，
故选：A.
4．若全集 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题图，阴影部分为 ，而 ， ，
所以 .
故选：A5．已知集合 ， ，则 的子集个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【详解】
因为 ， ，
所以 ，因此 中有三个元素，
所以 的子集个数为 ，
故选：C
6．已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
依题意， ，则 ，而 ，
而图中阴影部分对应的集合为 ，于是得 ，
所以阴影部分表示的集合为 .
故选：B
7．已知集合 ， ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：由题知 ，因为 ，
所以，当 时， ，解得 ，
当 时， 或 ，解得 ，
综上，实数a的取值范围是 .
故选：D
8．设集合 ， ，若 ，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
或 .
因为集合 ， ，所以 .
故选：D
二、多选题
9．已知集合 ， 满足 ， ，全集 ，则下列说法中可能正确的有（ ）
A． 没有最大元素， 有一个最小元素 B． 有一个最大元素， 没有最小元素
C． 有一个最大元素， 有一个最小元素 D． 没有最大元素， 也没有最小元素
【答案】ABD
【详解】
对于选项A：若 ， ， ， ，则 没有最大元素， 有一
个最小元素，故A可能成立；
对于选项B：若 ， ，A有一个最大元素，B没有最小元素，故B可能成立；对于选项C： A有一个最大元素，B有一个最小元素不可能，因为这样就有一个有理数不存在A和B两个
集合中，与A和B的并集是所有的有理数矛盾；故C不可能成立.
对于选项D：若 ， ，则A没有最大元素，B也没有最小元素，故D可
能成立；
故选：ABD.
10．设 表示不大于 的最大整数，已知集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】
对于A， ， ， ，A正确；
对于C， ， ，C错误；
对于BD， ， ，
， ，BD正确.
故选：ABD.
