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§3.3 导数与函数的极值、最值
课标要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函
数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问
题．
知识梳理
1．函数的极值
(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x∈D，如果对于x 附近的任意不同于x 的x，
0 0 0
都有
①f(x)f(x)，则称x 为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x 处取极小值．
0 0 0
极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其附近
函数值最大，极小值点在其附近函数值最小．
(2)一般地，如果x 是y＝f(x)的极值点，且f(x)在x 处可导，则必有f′(x)＝0.
0 0 0
(3)求可导函数f(x)的极值的步骤
①确定函数的定义域，求导数f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③列表；
④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值
和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的_______________________________________________；
②将函数y＝f(x)的各极值与________________________________比较，其中最大的一个是
最大值，最小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x)＝0”是“函数f(x)在x＝x 处有极值”的必要不充分条件．
0 0
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．( )
(2)函数的极小值一定小于函数的极大值．( )(3)函数的极小值一定是函数的最小值．( )
(4)函数的极大值一定不是函数的最小值．( )
2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3 ． 若 函 数 f(x) ＝ x3 － ax2 ＋ 2x － 1 有 两 个 极 值 点 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
___________________．
4．函数f(x)＝x3－4x＋4在区间[0,3]上的最大值是________，最小值是________．
题型一 利用导数求解函数的极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1 (多选)(2023·连云港模拟)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，下列说法正确的是(
)
A．f(1)为函数f(x)的极大值
B．当x＝－1时，f(x)取得极小值
C．f(x)在(－1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减
D．当x＝3时，f(x)取得极小值
命题点2 求已知函数的极值
例2 设函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex，讨论f(x)的单调性并判断f(x)有无极值，若有极值，求出
f(x)的极值．
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命题点3 已知极值(点)求参数
例3 (1)(2024·成都模拟)若函数f(x)＝x(x＋a)2在x＝1处有极大值，则实数a的值为( )
A．1 B．－1或－3C．－1 D．－3
(2)(2023·威海模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为
( )
A．－1或3 B．1或－3
C．3 D．－1
(2)(2023·商丘模拟)已知函数f(x)＝x2－aln(2x＋1)在定义域内不存在极值点，则实数a的取值
范围是__________________．
题型二 利用导数求函数的最值问题
命题点1 不含参函数的最值
例4 (2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为
( )
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
命题点2 含参函数的最值
例5 已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x．当a>0时，f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求
实数a的取值范围．
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思维升华 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，
判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
跟踪训练2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．
(2)(2024·上饶模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋1.当0
