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27.2 相似三角形
27.2.3 相似三角形应用举例
教学内容 27.2.3 相似三角形应用举例 课时 1
1. 能根据实物抽象出几何图形，选择合适的度量方法，建立量感，发展学生
的抽象能力与空间观念.
核心素养 2. 探索客观事物的本质属性，进一步了解数学建模思想，建立数学与实际生
目标 活的逻辑联系.
3. 能够将实际问题转化为数学模型，感悟数学模型的普适性，运用相似三角
形的知识解决实际生活中的问题，增强学生的应用意识.
1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
知识目标 2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模
型，提高分析问题、解决问题的能力.
进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，
教学重点
提高分析问题、解决问题的能力.
教学难点 会利用相似三角形的性质解决简单的问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课 一、创设情境 导入新知
导入
图片引入
设计意图：通过精美的图
片，吸引学生的课堂注意
力；感受所学知识在生产
乐山大佛 世界上最高的树 实际中的作用，激发学习
—— 红杉 兴趣.
台湾最高的楼 世界上最宽的河
——台北101大楼 ——亚马逊河
师生活动：怎样丈量这些景观（长宽高）呢？
学生观察图片，独立思考积极讨论.
设计意图：从测量数目这
教师顺势引出相似的应用——利用相似三角形的 些较小的物体探究，降低
判定与性质可以解决一些求不能直接测量的物体 探索难度；初步引导学生
的高度及两物之间的距离的问题. 利用相似三角形的判定与
性质进行思考.二、探究
新知
设计意图：运用古代数学
家的实例，引发学生的学
习兴趣.
二、探究新知
知识点一：利用相似三角形测量高度
合作探究
传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相
似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木
杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量
金字塔的高度.
设计意图：锻炼学生的抽
象能力，能够探索客观事
物的本质属性，进一步了
解数学建模思想.
例1 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为
3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO.
师生活动：学生在教师的引导下分析解题思路， 设计意图：锻炼证明能力
发展抽象能力；通过解决
把BO看作三角形的边，它在哪个三角形里？ 实际问题，帮助学生理解
预设：在△ABO中. “在同一时刻物高与影长
△ABO与△DEF相似吗？如果相似请证明，并完 成正比例”的原理.
成计算.
学生独立完成计算，选一名学生板书，教师规范
证明过程.
解：∵太阳光是平行的光线，∴∠BAO =∠EDF.
又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF.
∴ . ∴ =134 (m).
因此金字塔的高度为134 m.
归纳：测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同
一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
设计意图：通过练习1、
2，巩固学生对“在同一
时刻物高与影长成正比
练习1.如图，要测量旗杆 AB 的高度，可在地面 例”的原理的理解与掌
上竖一根竹竿 DE，测量出 DE 的长以及 DE 和 握.
AB在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用
来求 AB 长的等式是 ( )
2. 如图，九年级某班数学兴趣
小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的
高度，当身高 1.6 米的小阳同学站在 C 处时，
他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同
一时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10
米，则旗杆的高度是______米 设计意图：培养学生的思
维能力和综合应用能力，
可利用跨学科思想讨论问
师生活动：学生独立思考完 题；锻炼证明能力和类比
成计算，教师巡视；学生共 推理能力，感受数学的魅
同作答. 力.
想一想：还有其他的测量方法吗？
师生活动：学生独立思考，积极发言，教师引导
学生利用平面镜反射光线，构造相似的三角形，
如图.
设计意图：进一步巩固利
用“镜子的反射原理”构
造相似三角形测量高度的
方法，锻炼学生的计算能
归纳： 力和应用能力.
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以利用
“镜子的反射原理”去解决.试一试
如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示
意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A
出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C
处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP =
12 米，那么该古城墙的高度是 ( )
A. 6 米 B. 8 米
C. 18 米 D. 24 米
设计意图：锻炼学生的计
算能力和推理能力，通过
解决实际问题，帮助学生
理解“构造相似三角形计
算河宽”的原理.
师生活动：学生思考后独立完成计算，教师巡
视，选学生作答，其他同学判断正误.
知识点二：利用相似三角形测量宽度
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对
岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使
点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在
过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点
T，确定 PT 与过点 Q 且垂直于 PS 的直线 b
的交点R. 已知测得 QS = 45 m，ST = 90 m，
QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ.
设计意图：锻炼学生的发
展性思维和应用能力，提
高解决问题的能力.
师生活动：学生在教师的引导下分析解题思路，
途中以后相似的三角形吗？
预设：△PQR∽△PST.
请证明△PQR∽△PST，并完成计算.
学生独立完成计算，选一名学生板书，教师规范
证明过程.
例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对
岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点
B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使
EC⊥BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点
D． 此时如果测得 BD = 80 m，
DC = 30 m，EC = 24 m，求两岸间的大致距离AB．
设计意图：锻炼学生的应
师生活动：学生独立思考完成练习，选一名学生
用解题能力，进一步培养
板书，教师总结解题方法.
抽象能力；发展综合应用
能力.
归纳
测量河宽等不易直接测量的距离，常构造相似三
角形求解.
知识点三：利用相似解决有遮挡物问题
例4 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是
AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离
BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6
m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左
向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少
时，就看不到右边较高的树的顶端 C 了?
三、当堂
练习
师生活动：教师引导学生分析解题思路，
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点
F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD
于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角∠AFH 是观察
点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的
设计意图：题1、2考查
仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看
学生的对“利用相似三角
不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就看不到 C
形测量高度”的掌握.
点了.学生独立完成计算，选一名学生板书，教师规范
证明过程.
设计意图：考查学生对
三、当堂练习 “利用相似三角形测量宽
度”的掌握，发展空间观
1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同 念.
时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学
大楼的高度应为 ( )
A. 45 米 B. 40 米 C. 90 米 D. 80 米
2. 如图，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点
看到点光源的反射光线，并测得 AB＝10 cm，BC
＝20 cm，PC⊥AC，且 PC＝24 cm，则点光源 S
到平面镜的距离 SA 为 . 设计意图：考查学生“利
用相似解决有遮挡物问
题”的能力，锻炼运算能
力和应用能力.
3.如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距
离，在可以看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE
延长线上的 C、D 两点，使得 CD∥AB. 若测
得 CD = 5 m，AD = 15 m，ED = 3 m，则
A、B 两点间的距离为 m.
4.如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在
地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得
旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m，在墙面
上的影长 CD 为 2 m．同一时刻，小明又测得
竖立于地面长1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮
助小明求出旗杆的高度．
27.2.3 相似三角形应用举例
板书设计 利用相似三角形测量高度
利用相似三角形测量宽度
利用相似解决有遮挡物问题
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问
题，发展学生的应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识．基本达到
教学反思
了预期的教学目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和
性质来解决实际问题.
