文档内容
培优点 6 极值点偏移
极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极
值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，
计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独
具特色．
1．极值点偏移的概念
已知函数y＝f(x)是连续函数，在区间(a，b)内只有一个极值点x，f(x)＝f(x)，且x 在x 与x
0 1 2 0 1 2
之间，由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常
常有x≠，这种情况称为极值点偏移．
0
2．极值点偏移问题的一般题设形式
(1)函数f(x)存在两个零点x，x 且x≠x，求证：x＋x>2x(x 为函数f(x)的极值点)；
1 2 1 2 1 2 0 0
(2)函数f(x)中存在x ，x 且x≠x ，满足f(x)＝f(x)，求证：x ＋x>2x(x 为函数f(x)的极值
1 2 1 2 1 2 1 2 0 0
点)；
(3)函数f(x)存在两个零点x，x 且x≠x，令x＝，求证：f′(x)>0；
1 2 1 2 0 0
(4)函数f(x)中存在x，x 且x≠x，满足f(x)＝f(x)，令x＝，求证：f′(x)>0.
1 2 1 2 1 2 0 0
题型一 对称化构造函数
例1 (2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝xe2－x.
(1)求f(x)的极值；
(2)若a>1，b>1，a≠b，f(a)＋f(b)＝4，证明：a＋b<4.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
思维升华 对称化构造函数法构造辅助函数
(1)对结论x＋x>2x 型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x－x)．
1 2 0 0
(2)对结论xx>x型，方法一是构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式；
1 2
方法二是两边取对数，转化成ln x＋ln x>2ln x，再把ln x，ln x 看成两变量即可．
1 2 0 1 2
跟踪训练1 (2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝－ln x＋x－a.
(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若f(x)有两个零点x，x，则xx<1.
1 2 1 2
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
题型二 比值代换
例2 (2024·沧州模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax－1(a∈R)．若方程f(x)＋2＝0有两个实根x ，
1
x，且x>2x，求证：xx>.(参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099)
2 2 1 1
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
跟踪训练2 已知函数f(x)＝＋ln x(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若 f(x)有两个不相同的零点 x ，x ，设 f(x)的导函数为 f′(x)．证明：xf′(x)＋xf′
1 2 1 1 2
(x)>2ln a＋2.
2
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
1．(2023·洛阳联考)已知函数g(x)＝ln x－bx，若g(x)有两个不同的零点x，x.
1 2
(1)求实数b的取值范围；
(2)求证：ln x＋ln x>2.
1 2
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
2．(2023·聊城模拟)已知函数f(x)＝ln x＋(a∈R)，设m，n为两个不相等的正数，且f(m)＝
f(n)＝3.
(1)求实数a的取值范围；
(2)证明：a2
