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必刷大题 18 统计与统计案例
1．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这
200名学生的某次数学考试成绩(满分100分)，得到了样本的频率分布直方图(如图)．
一般学校认为成绩大于等于80分的学生为优秀．
(1)根据频率分布直方图，估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数；
(2)依据样本的频率分布直方图，估计总体成绩的众数和平均数(每组数据以所在区间的中点
值为代表)．
解 (1)由样本的频率分布直方图可知，
在该次数学考试中成绩优秀的频率是
(0.020＋0.008)×10＝0.28，
则估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生有3 000×0.28＝840(名)．
(2)由样本的频率分布直方图可知，估计总体成绩的众数为＝75，
平均数为0.002×10×35＋0.006×10×45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75
＋0.020×10×85＋0.008×10×95＝71.2.
所以估计总体成绩的众数为75，平均数为71.2.
2．(2024·海南模拟)实验发现，猴痘病毒与天花病毒有共同抗原，两者之间有很强的血清交
叉反应和交叉免疫，故猴痘流行的时候可接种牛痘疫苗预防．某医学研究机构对 120个接种
与未接种牛痘疫苗的密切接触者进行医学观察后，统计了感染病毒情况，得到下面的 2×2
列联表：
感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒
未接种牛痘疫苗 20 30
已接种牛痘疫苗 10 60
(1)根据上表，分别估计在未接种牛痘疫苗和已接种牛痘疫苗的情况下，感染猴痘病毒的概
率；
(2)是否有99%的把握认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.解 (1)由题意可知，估计未接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为P＝＝，
1
已接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为
P＝＝.
2
(2)列联表如表所示：
感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒 总计
未接种牛痘疫苗 20 30 50
已接种牛痘疫苗 10 60 70
总计 30 90 120
则χ2＝≈10.286>6.635，
所以有99%的把握认为密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗有关．
3．(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区
某种树木的总材积量，随机选取了 10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)
和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横
0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
截面积x
i
材积量y 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
i
并计算得∑x＝0.038，∑y＝1.615 8，∑xy＝0.247 4.
i i
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总
和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这
种树木的总材积量的估计值．
附：样本相关系数r＝＝，≈1.377.
解 (1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值＝＝0.06(m2)，
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
＝＝0.39(m3)，
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 0.06 m2，平均一棵的材积量为0.39
m3.
(2)r＝
＝
＝≈≈0.97.
(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得＝，
解得Y＝1 209.
则该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3.
4．(2024·沧州模拟)“绿水青山就是金山银山”的口号已经深入民心，人们对环境的保护意
识日益增强，质检部门也会不时地对一些企业的生产污染情况进行排查，并作出相应的处理，
本次排查了30个企业，共查出510个污染点，其中造成污染点前10名的企业分别造成的污
染点数为58,36,36,35,33,32,28,26,24,22.
(1)求这30个企业造成污染点的80%分位数；
(2)已知造成污染点前10名的企业的方差为92.4，其他20个企业造成污染点的方差为44.7，
求这30个企业造成污染点的总体方差．
解 (1)根据定义可得，此30个数据从小到大排列，且30×80%＝24，
所以这30个企业造成污染的80%分位数是第24个数据与第25个数据的平均数，即前10名
中第六名与第七名数据的平均数，即＝30.
(2)按照企业造成的污染点数从小到大排列，记为x，x，…，x ，其平均数记为，方差记为
1 2 20
s；
把剩下10个数据记为y，y，…，y ，其平均数记为，方差记为s；
1 2 10
把总样本数据的平均数记为，方差记为s2.
由题意可知，＝＝17，
＝×(58＋36＋36＋35＋33＋32＋28＋26＋24＋22)＝×330＝33，
则＝×(510－330)＝9，
由题知s＝44.7，s＝92.4，
s2＝×{20[s＋(－)2]＋10[s＋(－)2]}
代入数据可得s2＝×{20×[44.7＋(9－17)2]＋10×[92.4＋(33－17)2]}＝188.6，
所以这30个企业造成污染点的总体方差为188.6.
5．某网红奶茶品牌公司计划在W市某区开设加盟分店，为了确定在该区开设分店的个数，
该公司对该市已开设分店的5个区域的数据作了初步处理后得到下列表格，记X表示在5个
区域开设分店的个数，Y表示这X个分店的年收入之和．
X(个) 2 3 4 5 6
Y(十万元) 2.5 3 4 4.5 6
(1)该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合Y与X的关系，求Y关于X的线性回归方
程；
(2)如果该公司最终决定在该区选择两个合适的地段各开设一个分店，根据市场调查得到如
下统计数据，第一分店每天的顾客平均为 30人，其中5人会购买该品牌奶茶，第二分店每天的顾客平均为80人，其中20人会购买该品牌奶茶．是否有90%的把握认为两个店的顾客
下单率有差异？
参考公式：b＝，a＝－b；χ2＝.
解 (1)由题意可得，＝＝4，
＝＝4，
y＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＋6×6＝88.5，
i i
＝22＋32＋42＋52＋62＝90，
设Y关于X的线性回归方程为Y＝bX＋a，
则b＝＝＝0.85，
a＝－b＝4－0.85×4＝0.6，
∴Y关于X的线性回归方程为Y＝0.85X＋0.6.
(2)由题意可知2×2列联表如表所示：
不下单 下单 总计
分店一 25 5 30
分店二 60 20 80
总计 85 25 110
∴χ2＝＝≈0.863<2.706，
∴没有90%的把握认为两个店的顾客下单率有差异．
6．(2023·福州模拟)国内某大学想了解本校学生的运动状况，采用简单随机抽样的方法从全
校学生中抽取2 000人，调查他们平均每天运动的时间(单位：小时)，统计表明该校学生平
均每天运动的时间范围是[0,3]，记平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，
少于2小时的学生为“非运动达人”．整理分析数据得到的列联表如表所示(单位：人)：
运动时间
性别
“运动达人” “非运动达人” 总计
男生 1 100 300 1 400
女生 400 200 600
总计 1 500 500 2 000
根据列联表中的数据，算得χ2≈31.746，所以有99%的把握认为运动时间与性别有关．
(1)如果将表中所有数据都缩小为原来的，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断运动
时间与性别之间的关联性，结论还一样吗？请用统计语言解释其中的原因；
(2)采用分层随机抽样的方法抽取20名同学，并统计每位同学的运动时间，统计数据为男生
运动时间的平均数为2.5，方差为1；女生运动时间的平均数为1.5，方差为0.5，求这20名
同学运动时间的均值与方差．附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)方法一 改变数据之后的列联表为
运动时间
性别
“运动达人” “非运动达人” 总计
男生 110 30 140
女生 40 20 60
总计 150 50 200
则调整后的χ2＝＝≈3.175<6.635.
则没有99%的把握认为运动时间与性别有关．
与之前结论不一样，
原因是每个数据都缩小为原来的，相当于样本容量缩小为原来的，导致推断结论发生了变化，
当样本容量越大，用样本估计总体的准确性会越高．
方法二 调整后的χ2＝
＝＝≈3.175<6.635，
则没有99%的把握认为运动时间与性别有关．
与之前结论不一样，原因是每个数据都缩小为原来的，相当于样本容量缩小为原来的，导致
推断结论发生了变化，
当样本容量越大，用样本估计总体的准确性会越高．
(2)男生抽取×20＝14(人)，女生抽取×20＝6(人)，
由已知男生运动时间的平均数为＝2.5，样本方差为s＝1；女生运动时间的平均数为＝1.5，
样本方差为s＝0.5.
记样本均值为，则＝＝2.2，
记样本方差为s2，则s2＝＝1.06，
所以这20名同学运动时间的均值为2.2，方差为1.06.
