文档内容
28.2.2 解直角三角形的应用
基础篇
一、单选题：
1．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 ，则高BC是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【分析】在Rt ACB中，利用正弦定义，sinα= ，代入AB值即可求解．
△
【详解】解：在Rt ACB中，∠ACB=90°，
△
∴sinα= ，
∴BC= sinα AB=12 sinα（米），
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
2．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿 方向水平飞行进行航拍
作业， 与 在同一铅直平面内，当无人机飞行至 处时、测得景点 的俯角为 ，景点 的俯角为
，此时 到地面的距离 为 米，则两景点A、B间的距离为多少米（结果保留根号）．（ ）
A．200米 B．300米 C． 米 D． 米
【答案】C【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．
【详解】解： ， ， ,
， ，
米， ,
米， （米），
米．
故选：C．
【点睛】此题考查了俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意数形结合思
想的应用．
3．如图，一艘船从 处向北偏东 的方向行驶 千米到 处，再从 处向正西方向行驶 千米到 处，
这时这艘船与 的距离（ ）
A． 千米 B． 千米 C．1 千米 D． 千米
【答案】B
【分析】根据直角三角形的三角函数得出 ，进而得出 ，利用勾股定理得出 即可．
【详解】解：如图：
，
，
千米，千米， 千米，
千米 ，
千米 ，
故选B．
【点睛】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出
解答．
4．如图，考古队在 处测得古塔 顶端 的仰角为 ，斜坡 的长为 米，坡度 ， 长为
米，则古塔 的高度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【分析】作 ，由 ，可设 ，结合 ，利用勾股定理可求得
的值，解 即可得到结论．
【详解】如图，作 ，垂足分别为 ，则四边形 是矩形，则 ,
∵斜坡 , ，设 ，
∴ ，
∵ ,则 ，
∴ ，∵ 长为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即古塔 的高度为 米，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角，坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结
合图形利用三角函数解直角三角形．
5．如图，沿 方向架桥 ，以桥两端 出发，修公路 和 ，测得 ，
m， ，则公路 的长为（ ）
A．900m B． m C． m D．1800m
【答案】B
【分析】过点C作 ，垂足为E，根据三角形内角和定理可求出 ， 的度数，进而求出
的度数，在直角三角形中，由特殊角三角函数以及直角三角形边角的关系可得答案．
【详解】过点C作 ，垂足为E，
，
，
，
，
，
在Rt 中， ， m，
m，
在Rt 中， ，m，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形和三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
6．小明去爬山，在山脚A看山顶D的仰角 ，小明在坡比为 的山坡上走1300米到达B处，
此时小明看山顶的仰角 ，则山高 为（ ）米
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，可得 ，从而得到 米， 米，
设 米，则 米，由 ，可得 米，再由 ，可得
，从而得到 ，求出x，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 米，
∴ 米， 米，
设 米，则 米，
∵ ，
∴ 米，
又∵ ，∴ ，
即： ，
解得 ，
∴ 米，
∴ 米．
即山高 为 米．
故选：B
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
7．如图，为了测量某建筑物 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上
的A点出发，沿斜坡 行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在E点
测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为 ，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡
的坡度 ．根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精确到1．参考数据：
， ， ）（ ）
A．158米 B．161米 C．159米 D．160米
【答案】D
【分析】先利用斜坡 的坡度求出 ，再利用矩形的性质和等腰三角形的性质求出
，之后利用正切求出 的值，最后通过求和即可得到建筑物BC的高度．
【详解】解：如图：过点D作 于点F，过点E作 于点G，过点E作 于点H∵斜坡 的坡度
∴可设 ，
∵在 中， ，
∴
∵在 中，
∵在 中，
故选：D．
【点睛】本题考查坡度的意义，等腰直角三角形的性质和解直角三角形，选取恰当的方法正确求出线段长
度是解题关键．
二、填空题：
8．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，请你
根据图中数据计算回答：小敏身高 米，她乘电梯会有碰头危险吗？______．（填是或否）（可能用到
的参考数值： ， ， ）【答案】否
【分析】求出 长，比较大小即可．
【详解】解：根据天花板与地面平行，可知 ，
（米）．
因为 ，
所以小敏不会有碰头危险．
故答案为：否．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用三角函数求解．
9．一艘观光游船从港口 以北偏东 的方向出港观光，航行 海里至 处时发生了侧翻沉船事故．一
艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东 方向，马上以 海里每小时的速
度前往救援．海警船大约需_____小时到达事故船 处，( )
【答案】
【分析】过点 作 交 延长线于 ．先解 得出 海里，再解
中，得出 (海里)，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到达事故船 处所
需的时间．
【详解】解：如图， 作 交 延长线于 ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，∴ (海里)，
∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为： (小时)．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关
键．
10．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度，小童同学在A处观测对岸点C，测得
，小郑同学在距点A处 米远的B点测得 ，请计算：河宽______米．（精确到
米， ， ）
【答案】
【分析】设河宽为未知数，那么可利用三角函数用河宽表示出 、 ，然后根据 就能求得
河宽．
【详解】解：过C作 于E，设 米，
在 中： ， ，在 中： ， ，
∴ ，
解得： ．
答：河宽约为 米．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了三角函数的概念和应用，解题关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到三角形
中，利用三角函数进行解答．
11．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边
保持水平，边 与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中 ，测得眼睛D离
地面的高度为 米，他与“步云阁”的水平距离 为 ，则“步云阁”的高度 是
___________m．
【答案】
【分析】在 中，根据正切定义求出 ，再在 中根据 求出 ，即可得到答案．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ，
在 中，
，且 ，
解得： ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查利用三角函数解实际问题，解题的关键是选择合适的三角函数并且掌握其求法．
12．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α， ，无人机沿水平线
AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为 ．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中 米，则河流的宽度CD为______．
【答案】 米
【分析】根据题意，作 构造直角三角形和矩形，根据锐角三角函数得到AM、DE的长，然后计
算出CD的长度．
【详解】作 于点E，如图所示，则四边形 是矩形
，
由已知可得： ， ， 米， ， 米， ，
米，
米
米
解得 米
米
故答案为： 米
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际问题，涉及到仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是理清题目条件，构造适当辅助线，灵活运用相关知识．
13．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一
时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 ，此时各叶片影子在点M右侧成线段 ，设太阳光线与地面
的夹角为 ，测得 ， ，风车转动时，叶片外端离地面的最大高度等于
_____m．
【答案】
【分析】作平行线 ，根据平行线分线段成比例定理可知 ，由 与影子 的比为 ，可得
的长，同法由等角的正弦可得 的长，从而得结论．
【详解】解：如图，过点O作 ，交 于P，过P作 于N，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵
∴ ，∴
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，即
∴ ，
以点O为圆心 的长为半径作圆，当 与 共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于
米．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
14．如图，在一街道的两旁有甲、乙两幢建筑物，某广告公司在甲建筑物上悬挂一条广告条幅 ，现在
乙建筑物的顶部 测得条幅顶端A的仰角为 ，条幅底端B的俯角为 ，已知街道宽 ，则广
告条幅AB的长是______．（结果保留根号）
【答案】 ##
【分析】过点 作 于点 ，根据 ，得出 ，即可得出，根据等腰三角形的判定，得出 ，在 中，根据正切函数，
得出 ，即可得出结果．
【详解】解：过点 作 于点 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角
函数的定义，记住特殊角的三角函数值，是解题的关键．
三、解答题：
16．北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空，为弘扬航天精神，某校
在教学楼上从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅 ．如图，已知楼顶到地面的距离 为18.5米，当小亮站在
楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼方向前行15米到达点D处
（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为42°，若 ，
均为1.7米（即四边形 为矩形），请你帮助小亮计算：(1)当小亮站在B处时离教学楼的距离 ；
(2)求条幅 的长度．（结果精确到 ，参考数据： ， ， ，
， ， ）
【答案】(1)小亮站在B处时离教学楼的距离 为 米
(2)条幅 的长度约为 米
【分析】（1 ）延长 交 于H，根据矩形的性质得到 米， ， ，根
据三角函数的定义即可得到结论；
（2 ）由（1）知 米，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）解：延长 交 于H，
则 米， ， ，
∵ 米，
∴ （米），
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米），
（2）解：由（1）知 米，
在 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米），
答：条幅 的长度约为 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
16.某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳 的长为3m，静止时，踏板到地面距离的长为0．6m（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：“安全高度”为秋千荡起时，踏板
与地面的最大距离．儿童的“安全高度”为h m，成人的“安全高度”为2m（计算结果精确到0.1m）
(1)当摆绳 与 成 夹角时，恰为儿童的安全高度，则h应为多少米？请说明理由．
(2)某成人在玩秋千时，摆绳 与 的最大夹角为 ，问此人是否安全？请说明理由．（参考数据：
， ， ， ）
【答案】(1)h应为1.5米
(2)此人安全，理由见解析
【分析】（1）过 作 ，得到等腰直角三角形，求出 ，利用 ，即可得到h；
（2）过点 作 ，解直角三角形 ，求出 ，利用 求出 到地面的距离，与成
人的“安全高度”进行比较，即可得解．
【详解】（1）解：过 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∴h应为1.5米．
（2）解：过点 作 ， 垂直于地面，则： ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴此人安全．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是锐角三角函数，关键是根据题意作出辅助线，
构造直角三角形．
17．如图，海上有一座小岛C，一艘渔船在海中自西向东航行，速度为60海里/小时，船在A处测得小岛C
在北偏东 方向，1小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东 方向．（参考数据： ，
， ）
(1)求 的距离；（结果保留整数）
(2)渔船在B处改变航行线路，沿北偏东 方向继续航行，此航行路线记为l，但此时发现剩余油量不足，
于是当渔船航行到l上与小岛C最近的D处时，立即沿 方向前往小岛C加油，加油时间为18分钟，在
小岛C加油后，再沿南偏东 方向航行至l上的点E处．若小船在D处时恰好是上午11点，问渔船能否
在下午5点之前到达E处？请说明理由．
【答案】(1)164海里
(2)不能【分析】（1）由题意先得到 ， ，利用 和 中的三角函数表示
，进行求解即可得出结论；
（2）根据题意可得 ，利用 和 中的三角函数求得 和 的长度，由路程=时
间×速度求得时间，再进行比较即可．
【详解】（1）解：过点作 ，由题意得 (海里)，
在A处测得小岛C在北偏东 方向，则 ，
在B处测得小岛C在北偏东 方向，则 ，
设 海里，
在 中， ，则 ，
，则 ，
在 中， ，则 ，
且 ，
，
解得 ，
答： 的距离为164海里；
（2）解：与小岛C最近的D处，即 ，
在B处沿北偏东 方向继续航行，则 ,
在小岛C加油后，再沿南偏东 方向航行，则 ，
，
由（1）得 的距离为164海里，在 中， ，
，
在 中， ，
，
渔船所用时间为： ，
答：渔船不能在下午5点之前到达E处
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
18．如图，坡 的坡度为 ： ，坡面长 米， ，现计划在斜坡中点 处挖去部分坡体 用
阴影表示 修建一个平行于水平线 的平台 和一条新的斜坡 请将下面两小题的结果都精确到
米，参考数据： ．
(1)若修建的斜坡 的坡角 即 恰为 ，则此时平台 的长为______米；
(2)坡前有一建筑物 ，小明在 点测得建筑物顶部 的仰角为 ，在坡底 点测得建筑物顶部 的仰
角为 ，点 、 、 、 、 在同一平面内，点 、 、 在同一条水平直线上，问建筑物 高为
多少米？
【答案】(1)7.0
(2)建筑物 高约为 米
【分析】（1）先利用勾股定理解直角 求出 ， ，再证 ，推出
，代入数值即可求解；
（2）过点 作 ，垂足为 ，利用矩形的性质求出 ， ，，解 可得 ，进而得出
，再解 ，列等式求出 ，则 ．
【详解】（1）解：由题意知， ， ， ，
∴设 ，则 ，
由勾股定理得： ，即 ，
解得 ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
由题意， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ 米 ；
则平台 的长为 ，
（2）解：过点 作 ，垂足为 ．
在矩形 中，
， ，∴ ．
在矩形 中，
， ，
在 中， ，
∴ ，
，
，
解得： ，
（米），
即建筑物 高约为 米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性
质、特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解．
提升篇
1．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门 高
6.5米，学生 身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为
，当学生刚好离开体温检测有效识别区域 段时，在点C处测得摄像头A的仰角为 ，则体温检测
有效识别区域 段的长为（ ）A． 米 B． 米 C．10米 D．5 米
【答案】B
【分析】由题意得 米，分别在 和 中，利用三角函数求出 ，即可得解．
【详解】解：由题意得， 米，
米，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
米．
故选B．
【点睛】此题考查解直角三角形的应用：仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
2．5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智
慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔 建在了山坡 的平台 上，已知山坡 的坡
度为 ．身高1.6米的小明站在A处测得塔顶M的仰角是 ，向前步行6米到达B处，再延斜坡
步行6.5米至平台点C处，测得塔顶M的仰角是 ，若 在同一平面内，且 和
分别在同一水平线上，则发射塔 的高度约为（ ）（结果精确到0.1米，参考数据：
， ， ， ， ， ）
A．17.3米 B．18.9米 C．65.0米 D．66.6米【答案】B
【分析】如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作FL⊥MN于L，过点E作EI⊥MN于I，延长
MN交AB的延长线于H，设 ， ，利用三角形函数构建方程求出x即可解决问题．
【详解】解：如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作FL⊥MN于L，过点E作EI⊥MN于I，
延长MN交AB的延长线于H，
设 ， ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∵ ， ，
∴ ，则 ，
在 中， ，
∵ ，
，
∴ ，则 ，
∴ ，解得 ．
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，
学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
3．如图所示，在同一水平面从左到右依次是大厦、别墅、小山、小彬为了测得小山的高度，在大厦的楼
顶B处测得山顶C的俯角∠GBC=13°，在别墅的大门A点处测得大厦的楼顶B点的仰角∠BAO=35°，山坡
AC的坡度i=1:2，OA=500米，则山C的垂直高度约为（ ）（参考数据：sin13°≈0.22，tan13°≈0.23，
sin35°≈0.57）
A．161.0 B．116.4 C．106.8 D．76.2
【答案】A
【详解】分析：分别过点C作CM⊥OA，CN⊥BG，垂足为点M，N，构建Rt△ABO，Rt△ACM，
Rt△BCN，利用三角形函数的定义列方程求解.
详解：分别过点C作CM⊥OA，CN⊥BG，垂足为点M，N.
Rt△ABO中，BO＝OAtan35°≈0.7×500＝350.
设MC＝x，则AM＝2x，所以BN＝OM＝500＋2x，CN＝350－x.
Rt△BCN中，CN＝BNtan13°，即350－x＝0.23(500＋2x)，解得x≈161.0米.
故选A.
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，关键是正确的画出与实际问题相符合的几何图形，找出图形中的
相关线段或角的实际意义及所要解决的问题，用勾股定理或三角形函数的定义求解.
4．2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测
得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为______米（精确到 米）．
（参考数据： ， ， ）
【答案】1614
【分析】首先利用勾股定理求出OB的长，设DE＝CE＝x米，则AF＝（50+x）米，DF＝（x﹣14）米，利
用tan46°12′ 1.04，即可解决问题．
【详解】解：在 中，由勾股定理得，
（米），
，
， ，
∴ CDE是等腰直角三角形，
△ ，
设 米，
则 米， 米，
．
∴ ，
解得 ，
米，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，用x的代数式表示AF和DF的长是解题的
关键．
5．如图1为温州乐园的游乐设施一摩天轮与飞天梭．当摩天轮一座舱 与飞天梭高度相同时（如图 ，另一座舱 恰好位于摩天轮最低点；当座舱 顺时针旋转至与飞天梭相同高度的 点时，座舱 旋转至点
．此时地面某观测点 与点 ，圆心 恰好在同一条直线上，且 ，已知摩天轮的半径为32
米，则点 ， 间的距离为 __米；现又测得 ，则点 距离地面的高度为 __米．
【答案】 52
【分析】延长 交 于 ，过点 作 于 ，连接 ， ， ，延长 交 于点 ，设
交 于 ，由旋转，可知， ，证明四边形 是平行四边形，四边形 是等腰梯形，
再证 ，再解直角三角形即可.
【详解】解：如图，延长 交 于 ，过点 作 于 ，连接 ， ， ，延长 交
于点 ，设 交 于 ．
，
， ， 共线，
由题意， ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，四边形 是等腰梯形，
，
，，
，
，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
， ，
△ ，
，
， ，
△ ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
．
故答案为： ，52．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，全等三
角形的判定和性质，构造辅助线解决问题是前提.
6．如图是一款利用杠杆原理设计的平衡灯，灯管AB与支架AD，砝码杆AC均成120°角，且AB＝40cm，AC＝18cm，AD＝6cm，底座是半径为2cm的圆柱体，点P是杠杆的支点．如图1，若砝码E在端点C时，
当杠杆平衡时，支架AD垂直于桌面，则此时垂直光线照射到最远点M到支点P的距离PM为 _____cm．
由于特殊设计，灯管的重力集中在端点B，砝码杆重力集中在砝码E上，支架AD的重力忽略不计，由杠
杆原理可知，平衡时重力保持垂直水平桌面向下，且G•h＝G•h，如图2．为了使得平衡时砝码杆与桌面
1 1 2 2
平行，则砝码E到离A点的距离为 _______cm．
【答案】
【分析】如图1中，过点B作BT⊥PM于T，过点A作AR⊥BT于R．在Rt BMT中，求出BT，可得结论．
如图2中，延长EA交AG 于K，过点A作AJ⊥GG 于J，设G，G 的重力△线交桌面于N，M，则四边形
1 1 2 1 2
AEMJ，四边形AKNJ都是矩形，想办法求出MJ，PJ，可得结论．
【详解】解：如图1中，过点B作BT⊥PM于T，过点A作AR⊥BT于R．
∵AP⊥PT，
∴∠APT=∠PTR=∠ART=90°，
∴四边形ARTP是矩形，
∴AP=RT=6+4=10（cm），∠PAR=90°，
∵∠BAP=120°，
∴∠BAR=30°，∠ABR=60°，
∴BR= AB=20（cm），PT=AR= AB•cos30°=20 （cm）
∴BT=BR+RT=30（cm），∵AB⊥BM，
∴∠ABM=90°，
∴∠TBM=30°，
∴TM=BT•tan30°=10 （cm）．
∴PM=PT+TM=30 （cm），
如图2中，延长EA交AG 于K，过点A作AJ⊥GG 于J，设G，G 的重力线交桌面于N，M，则四边形
1 1 2 1 2
AEMJ，四边形AKNJ都是矩形，
∴AE=JM，AK=JN，
在RtABK中，AK=AB•cos60°=20（cm），
在Rt△APJ中，PJ=AP•sin30°=5（cm），
由图1可知，G•AC•cos30°=G•AB•cos30°，
2 1
∴G：G=AC：AB=9：20，
1 2
∵G•h=G•h，
1 2 2 1
∴h：h=G：G=9：20，
1 2 1 2
∵h=JN﹣PJ=20﹣5=15（cm），
2
∴h= ，
1
∴AE=JM=h-PJ= ﹣5= （cm）．
1
故答案为：30 ， ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，杠杆平衡等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角
三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
7．如图，一艘渔船位于小岛 的北偏东 方向，距离小岛 千米的点 处，它沿着点 的南偏东 的方向航行．
(1)渔船航行多远距离小岛 最近（结果保留根号）？
(2)渔船到达距离小岛 最近点后，按原航向继续航行 千米到点C处时突然发生事故，渔船马上向小
岛 上的救援队求救，问救援队从 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少．
（结果精确到1千米，参考数据 ）
【答案】(1) ；
(2)从 处沿南偏东 出发，最短行程 ．
【分析】（1）过 点作 的垂线 交 于点 ，则 为所求，根据已知条件得到 即可
解答；
（2）根据特殊角的锐角三角函数值得到 ，从而求出 的长度，再求出 的
度数，即可得到 的度数．
【详解】（1）解：过 点作 的垂线 交 于点 ，
∵垂线段最短， 上的 点距离 点最近， 即为所求，
由题意可知： ， ，
∴ ，
∴渔船航行 时，距离小岛 最近．（2）解：在 中， ，
， ，
，
∵ ， ，
，
．
答：从 处沿南偏东 出发，最短行程 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相
关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
8．无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测
得楼 楼顶D处的俯角为 ，测得楼 楼顶A处的俯角为 ．已知楼 和楼 之间的距离 为
100米，楼 的高度为10米，从楼 的A处测得楼 的D处的仰角为 （点A、B、C、D、P在同
一平面内）．(1)填空： ___________度， ___________度；
(2)求楼 的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面 的高度．
【答案】(1)75；60
(2) 米
(3)110米
【分析】（1）根据平角的定义求 ，过点A作 于点E，再利用三角形内角和求 ；
（2）在 中， 求出DE的长度再根据 计算即可；
（3）作 于点G，交 于点F，证明 即可．
（1）
过点A作 于点E，由题意得：
∴
（2）
由题意得： 米， ．
在 中， ，
∴ ，
∴
∴楼 的高度为 米．
（3）
作 于点G，交 于点F，则
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ （AAS）．
∴ ．
∴
∴无人机距离地面 的高度为110米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯
角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
