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第九章 平面解析几何章末检测
参考答案
1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D
7．C 8．A 9．BD 10．BCD 11．BCD 12．BCD
13．
14．4
15．
16．①③④
17．【详解】（1）设圆 的方程为 ，其中 ，
因为圆 过三点 ，
所以 ，解得 ，
圆 的方程为 ．
（2）由（1）知圆 是以 为圆心，以 为半径的圆，
设直线方程为 ，即 ，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为 ，
解得 或 ，所以切线方程为 或 ．
18．【详解】解：（1）依题意, , , ．
所以椭圆 的标准方程为 ．
（2） 为定值 .
①因为直线 分别与直线 和直线 相交,所以,直线 一定存在斜率．
②设直线 ： ,
由 得 ,
由 ,
得 ． ①
把 代入 ,得 ,
把 代入 ,得 ,
又因为 ,
所以 ,
,②
由①式,得 , ③
把③式代入②式,得 ,
,即 为定值 ．
19．【详解】（1）依题意，圆心的轨迹 是以 为焦点， ： 为准线的抛物线．
所以抛物线焦点到准线的距离等于2，故动圆圆心的轨迹 为 ．
（2）假设存在实数 ，使点 在直线 上移动时，垂足 恒为定点，
设 ， ， ，直线 的方程为 ，
将抛物线方程变形为 ，则 ，所以 ，
所以 的方程为 ，因为 ，所以直线 的方程为 ，
把 代入 的方程得 ．
同理可得 ．
构造直线方程为 ，易知 ， 两点均在该直线上，
所以直线 的方程为 ，
故 恒过点 ．
因为 ，所以可设 方程为 ，
化简得 ，
所以 恒过点
当 ，即 时， 与 均恒过 ，
故存在这样的 ，当 时， 坐标为 ．
20．【详解】（1）设 ，由动点P到定点 的距离和它到直线 距离之比为2，
可得 ，化简得 ，即 ，
故点P的轨迹C的方程为 ；
（2）设l的方程为 ，则 ，故 ，由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 ，故 .
与双曲线方程联立得： ，
由 对应渐近线方程为： ，易判断 ，
得 ，设 ， ，
则 ， ①，
由 ， 得：
，
，
即 ， ，
消去 得： ，
即 ②
由①②得： ，化简得 ，由已知 ，
故存在定直线l： 满足条件.21．【详解】（1）因为 为椭圆 的右焦点，所以 ①,
由对称性得，点 ， 在椭圆 上，代入得 ②,
联立①②解得， ， ，
所以椭圆 的标准方程为： .
（2）由条件知直线 与直线 不重合，故直线 的斜率不为0，
设直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
设 ， ， ，
则 ， ， ，
由（1）可得 ， ，
由 共线得： ③，
由 共线得： ④，
由③÷④消去 并整理得， ，
即 ，所以 ，综上所述，直线 与直线 的交点 在定直线 上运动.
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
22．【详解】（1）解：由抛物线 的准线方程为 ，交点坐标为 ，
点 在G的焦点F的右侧，且M到G的准线的距离是M与F距离的3倍，
所以 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 ，焦点坐标为 .
（2）解：准线 .
理由如下：设 ，直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
所以 ，则 ，
由题意得 ，
直线 的方程为 ，令 ，可得 ，则 ，
因为 ，所以 ，直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，所以 ，
①当 时，直线 的斜率不存在， ，可得直线 的斜率不存在，所以 ；
②当 时， ，则 ，
综上可得， 与 的位置关系为 .
