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3.2解一元一次方程——合并同类项与移项
合并同类项解方程的方法与步骤
（1）合并同类项，即把含有未知数的同类项和常数项分别合并.
（2）系数化为1，即在方程的两边同时除以未知数的系数.
注意：（1）解方程中的合并同类项和整式加减中的合并同类项一样，它们的依据都是乘法分
配律，实质都是系数的合并，目的是运用合并同类项，使方程变得更简单，为运用等式性质
2求出方程的解创造条件；
（2）系数为1或-1的项，合并时不能漏掉.
题型1：解一元一次方程——合并同类项
1.解下列方程∶(1)3x+2x+x=24; (2)-3x+6x=18.
【变式1-1】（1）5x-6x=-57 （2）13x-15x＋x=-3.
移项解方程的方法与步骤
1.移项
把等式的某项变号后移到另一边，叫做移项.移项必须变号.
2.移项的依据
移项的依据是等式的性质1，在方程的两边加（或减）同一个适当的整式，使含未知数的项
集中在方程的一边，常数项集中在另一边.
3.解简单的一元一次方程的步骤（1）移项；（2）合并同类项；（3）系数化为1.
注意：
（1）移项通常把含有未知数的项移到“=”的左边，常数项移到“=”的右边
（2）若将2=x变形为x=2，直接利用的是等式性质的对称性，不能改变符号.
（3）方程中的每项都包括前面的符号.
题型2：解一元一次方程——移项2.将下列方程移项
（1）7＋x=13，移项得
（2）5x=4x＋8,移项得
（3）3x-2=x+1，移项得
（4）8x=7x-2，移项得
（5）2x-1=3x+4，移项得
【变式2-1】解下列方程
20
(1)4x+2=3x-3; （2）4y= y+16
3
【变式2-2】解下列方程
(1)2x+3=4x-5; (2)9x-17=4x-2.
题型3：绝对值方程
3.解方程 |2x-3|=1.
【变式3-1】如果|2x+3|＝|1﹣x|，那么x的值为（ ）
2 3 2 2
A．− B．− 或1 C．− 或﹣2 D．− 或﹣4
3 2 3 3
1
【变式3-2】若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x− |＝1，则m的值是（ ）
2
1 13 1 5 1 5
A． 或 B． C． D．− 或
4 4 4 4 2 4
题型4：依题意构建方程求解
4.代数式2x＋5与x＋8的值相等，则x的值是 .
【变式4-1】当x= 时，代数式6x+1与-2x-5的值互为相反数。
【变式4-2】如果2x+3的值与1﹣3x的值互为相反数，那么x＝ .
题型5：用方程的定义求字母的值
5.已知（a﹣2）x2+ax+1=0是关于x的一元一次方程（即x是未知数），求这个方程的解．【变式5-1】已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+3=m﹣5是关于x的一元一次方程，求这个方程的解．
【变式5-2】已知方程（a﹣2）x|a|﹣1+8=0是关于x的一元一次方程，求a的值并求该方程的解．
题型6：列方程解决实际问题1-分配问题
6.把一批图书分给七年级（11）班的同学阅读，若每人分3本，则剩余20本，若每人分4本，则
缺25本，这个班有多少学生？
【变式6-1】<<九章算术>>中有这样一个问题，原文如下。今有共买物,人出入，盈三，人出七，不是
四，问人数，物价各几何？大意为：几个人一起去购买某物品？如果每人出八钱，则多了3钱，如果
每人出7钱咋少了4钱？问有多少人？物品的价格是多少钱？（注：“钱”为中国古代的货币单位）
请解答上述问题。
【变式6-2】某学校安排学生住宿，若每室住7人，则有10人无法安排；若每室住8人，则恰好空出2
个房间，这个学校的住宿生有多少人?
题型7：列方程解决实际问题2-比例问题
7.某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排水量要比环保限制的最大量还多200吨；如用新
工艺，则废水排水量要比环保限制的最大量少100吨． 新旧工艺的废水排水量之比为2：5，则环保
限制的最大量是多少吨？
【变式7-1】新冠疫情期间，甲、乙、丙三家公司为抗击疫情捐款，他们共捐款216万元，所捐款数的
比为3：4：5，问甲、乙、丙三家公司各捐款多少万元？
【变式7-2】有大小两筐苹果，大筐苹果与小筐苹果单价比是5∶4，其重量比是2∶3，把两筐苹果混合在
一起成100千克的混合苹果，单价为每千克2.2元，大小两筐苹果原单价各是多少？
题型8：列方程解决实际问题3-数字问题
8.一个两位数，十位上的数字是 3，把个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新数比原数小
18，求这个两位数．
【变式8-1】一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是 6，把这个两位数加上18后，比十位数字
大56，请问这个两位数是多少？
【变式8-2】一个两位数，个位数与十位数分别是x、y.
（1）用代数式表示这个两位数；
（2）若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大18．这样的两位数共有多少个？
并求出最大的那个原两位数．一、单选题
1．下列各式是一元一次方程的是（ ）
1 x x
A．x2−2x=1 B．x−1= C．y+3=x−4 D． − =1
x 2 3
2．已知x＝3是关于x的方程：4x﹣a＝3+ax的解，那么a的值是（ ）
9 9
A．2 B． C．3 D．
4 2
3．下列方程中，解为x=2的方程是（ ）．
1
A．4x=2 B．3x+6=0 C． x=0 D．7x-14=0
2
2+Δ
4．方程 ＝x， Δ 处被墨水盖住了，已知方程的解x＝2，那么 Δ 处的数字是( )
3
A．2 B．3 C．4 D．6
5．若关于x的方程ax+3x=2的解是x=1，则a的值是（ ）
A．-1 B．5 C．1 D．-5
二、填空题
6．若（m-2）x|2m﹣3|=6是关于x的一元一次方程，则m的值是 .
7．据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m2，2013年同期将达到8200元/m2，假设这两年
兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为 ．
8．如图，一个平衡的天平盘中，左盘有2个小正方体和2个小球，右盘有4个小正方体和1个小球．
每个小球的重量用x克表示，小正方体每个5克，那么可列方程得 ．1 1
9．已知关于x的方程x+2﹣ x＝m的解是x＝21，那么关于y的一元一次方程y+23﹣
2021 2021
（y+21）＝m的解是y＝ ．
三、解答题
10．某工厂去年的总收入比总支出多50万元，计划今年的总收入比去年增加10%，总支出比去年节
约20%，按计划今年总收入将比总支出多100万元．今年的总收入和总支出计划各是多少万元？
11．某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一
A：计时制：0.05元/分，B：包月制：50元/月，此外，每一种上网时间都要收通信费0.02元/分
（1）某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用(用y表示)
（2）若甲用户估计一个月上网时间为20小时，乙用户估计一个月上网时间为15小时，各选哪一
种收费方式最合算？
12．已知代数式 M=3(a−2b)−(b+2a) .
（1）化简 M ；
（2）如果 (a+2)x2+4xb−2−3=0 是关于 x 的一元一次方程，求 M 的值.
