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3.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项
1.能用合并同类项与移项解一元一次方程
2.体会用一元一次方程解决具体问题的过程,逐步认识数学是解决实际问题的重要工具
知识点一 解一元一次方程——合并同类项
合并同类项解方程的方法与步骤
(1)合并同类项：把含有未知数的同类项和常数项分别合并
(2)系数化为1：在方程的两边同时除以未知数的系数
注意：
同学们，我们要注意解方程中的合并同类项和整式加减中的合并同类项方法上一样,依
据都是乘法分配律,实质都是系数的合并,目的是运用合并同类项,使方程变得更简单,
为运用等式性质 2 求出方程的解创造条件；
(1) 系数为1或-1的项,合并时千万不能漏掉噢！
即学即练（2023上·辽宁葫芦岛·七年级统考期中）解方程： ；
【答案】
【分析】先合并同类项，再化系数为1，即可求解；
【详解】解： ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
所以， 是原方程的解.
【点睛】本题主要考查了合并同类项解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程
的步骤：合并同类项，化系数为1．
知识点二 解一元一次方程——移项
1.移项
把等式的某项变号后移到另一边，叫做移项.移项必须变号.例如:-7+3x=2x+2,移项,得3x-2x=2+7.
注意：
同学们，我们在学习移项时一定要注意移项与加法交换律的区别.移项是把某些项从等
号的一边移到另一边，移项要变号;而加法交换律中加数变换位置只是改变其排列的顺
序，符号不随着移动改变.还要注意移项时,通常把含有未知数的项移到等号的左边,把
常数项移到等号的右边（简记为“未左常右”）;移项时注意方程中的每一项都包括前
面的符号.
2.移项的依据
移项的依据是等式的性质 1,在方程的两边加(或减)同一个适当的整式，使含未
知数的项集中在方程的一边，常数项集中在另一边，我们简记为“未左常右”.
3.解简单的一元一次方程的步骤
(1)移项;
(2)合并同类项；
(3)系数化为1.
注意：移项通常把含有未知数的项移到“=”的左边,常数项移到“一的右边.
若将 变形为 ,直接利用的是等式性质的对称性，此时不能改变符号.
方程中的每一项都一定包括前面的符号，等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的
数，结果仍相等.
即学即练1判断下面的移项是否正确？
（1） 10＋x＝10，移项，得 x＝10＋10
（2） 3x＝x－5，移项，得 3x＋x＝－5
（3） 3x＝6－2x，移项，得 3x＋2x＝－6
（4） 1－2x＝－3x，移项，得 3x－2x＝－1
（5） 2x＋8＝12－6x，移项，得 2x＋6x＝12－8
【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）√
即学即练2（2023上·辽宁葫芦岛·七年级统考期中）解方程： ．
【答案】
【分析】先移项，再合并同类项，最后化系数为1，即可求解．
【详解】解： ，
移项，得 ，合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
所以， 是原方程的解.
【点睛】本题主要考查了移项解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤：
移项，合并同类项，化系数为1．
知识点三 列方程解应用题
1.分量和总量的关系问题
关系:总量＝各个部分量之和
2.盈亏问题
关系:表示同一个量的两个不同的式子相等
3.列一元一次方程解决实际问题的基本步骤
(1)仔细审题:认真读题，反复审题，弄清问题中的已知量是什么,未知量是什
么，并找出各数量之间的等量关系；
(2)设未知数:一般设题目里所求的未知数是 ,特殊情况下也可设与所求量相
关的另一个未知数为 ;（直接设元与间接设元）
(3)列方程:根据所设的未知数 和题目中的已知条件，利用等量关系列出方程;
(4)解方程:求未知数 的值;
(5)检验所得的解是否正确，是否符合题意；（第一检验等式是否成立；第二
检验时候复合题意）
(6)写出答案.
简言之，审设列解验答.
注意：
(1)设未知数列方程时,要注意单位的统一噢！这是题目常见陷阱哈！一般如果我们计
算的数据非常极端时，就要考虑单位是否出现问题.
(2)对于实际问题中的方程的解，必须检验是否符合实际意义,对与现实生活不符的结
果,要进行必要的取舍.
即学即练（2023上·广西南宁·七年级校联考期中）某市发起了“保护河流”行动，某校七
年级学生积极参与，踊跃捐款，其中七年级1班学生每人捐了10元，七年级2班捐款总数
比1班捐款总数少22元，设七年级1班有学生x人．
(1)用含x的式子表示：七年级2班捐款总数为________元，两个班的捐款总数为________元．
(2)若两个班的捐款总数是878元，则七年级1班的学生人数是多少？
【答案】(1) ， ；
(2)45人．
【分析】（1）本题考查列代数式，先求出1班的捐款总数，根据2班捐款总数比1班捐款
总数少22元，求出2班的捐款总数，再将两班的捐款总数相加即可得到两个班的捐款总数；
（2）本题考查一元一次方程的实际应用，根据两个班的捐款总数是878元，列出方程进行
求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：1班的捐款总数为 元，则：2班捐款总数为
元；
∴两个班的捐款总数为 元；
故答案为： ， ；
（2）由题意，得： ，
解得： ；
答：七年级1班的学生人数是45人．
题型1 合并同类项、移项解方程
例1（2023上·辽宁大连·七年级统考期中）解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元一次方程：（1）先移项，再合并同类项，然后系数化为1，求出未知数的值即可．
（2）先移项，再合并同类项，然后系数化为1，求出未知数的值即可．
【详解】（1）解：
移项得， ，
合并同类项得， ，
两边都除以3得， ；
（2）解：
移项得，
合并同类项得， ，
两边都除以 得，
举一反三1（2023上·江苏无锡·七年级统考期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元一次方程．
（1）移项，合并，系数化1，求解即可；
（2）移项，合并，系数化1，求解即可；
【详解】（1）解： ，
移项，得： ，
合并，得： ，
系数化1： ；
（2）
移项，得： ，
合并，得： ，系数化1： ．
举一反三2（2023上·河南洛阳·七年级统考期中）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
（1）按照移项、合并同类项、系数化为1的顺序求解即可；
（2）按照移项、合并同类项、系数化为1的顺序求解即可．
【详解】（1）解：移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
（2）解：移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
题型2 方程的定义求字母的值
例2（2023下·河南周口·七年级统考阶段练习）已知方程 是关于x的一
元一次方程，则m的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义，只含一个未知数，未知数的次数是1的整式方程，形
如 ，从而可得 且 ，解出 即可得出答案．
【详解】由题可知： ，
解得： ，，
解得： ，
综上， ．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的一般形式，熟记一次项系数不为0，且未知数次数为1
是解题的关键．
举一反三1（2023下·河南鹤壁·七年级统考期末）如果方程 是关于 的一元一
次方程，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案.
【详解】解： 方程 是关于 的一元一次方程，
，
.
故选：B.
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念和解法．解题的关键在于熟练掌握一元一次方程
的概念：一元一次方程的未知数的指数为1，含有一个未知数．
举一反三2（2023下·上海黄浦·六年级统考期中）若 是关于x的一
元一次方程，则方程的解为 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这
样的方程叫一元一次方程，即可求出答案．
【详解】解：由题意可知： ，
，
原方程化为： ，
，故答案为： ．
【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是熟练运用一元一次方程的定义，本题属于
基础题型．
题型3 已知方程的解求参数的值
例3（2023上·广东广州·七年级校联考期中）若 是关于x的方程 的解，则a
的值为（ ）
A． B．11 C． D．8
【答案】B
【分析】此题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，正确理解方程的解，是解题的关
键．
【详解】解：将 代入 中，得 ，
解得： ，
故选：B．
举一反三1（2023上·福建福州·七年级统考期中）已知关于 的方程
的解与 无关，则 的值是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了一元一次方程的解，将原方程变形为 ，
再根据关于x的方程 的解与k无关，则 ， ，
分别表示m，n关于x的等式，代入 求值即可．
【详解】解： ，
，
∵关于x的方程 的解与k无关，
，则 ，
， ，
，
故答案为：12．举一反三2（2023上·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）方程 与关于x的
方程 的解相同，则m的值为 ．
【答案】
【分析】先解方程 得 ，根据同解方程的定义把 代入 得到
关于 的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：∵ ，
解得： ，
∵方程 与关于x的方程 的解相同，
把 代入 得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．掌
握同解方程的定义是解题的关键．也考查了解一元一次方程．
举一反三3（2023上·江苏盐城·七年级校考期中）已知 是一元一次方程 的解，
则 ．
【答案】6
【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．把 ，代入方程，进行求解即可．掌握
方程得解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
【详解】解：∵ 是一元一次方程 的解，
∴ ，
∴ ；
故答案为：6．
题型4 解方程与整式加减无关型问题综合
例4（2020上·四川德阳·七年级德阳五中校考期中）已知代数式 ，
．
（1）当 ， 时，求 的值；
（2）若 的值与 的取值无关，求 的值．【答案】（1）20；（2）x=
【分析】（1）先化简原式，再将A、B代入化简，然后代入x、y值计算即可；
（2）将A、B代入化简整理，再令y的系数为0即可求解x值．
【详解】解：（1）∵ ， ．
∴
=3A﹣（3B+2A）
=A﹣3B
= ﹣
= ，
当 ， 时，
原式=﹣（﹣1）2+8×（﹣1）×（﹣2）﹣7×（﹣2）﹣9
=﹣1+16+14﹣9
=20；
（2）由（1）知，
= = ，
∵ 与y的取值无关，
∴8x﹣7=0，
∴x= ．
【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值、有理数的混合运算、解一元一次方程，熟练掌
握运算法则和运算顺序是解答的关键．
举一反三1（2020上·四川成都·七年级校考期末）已知代数式 ，
，若 的值与y的取值无关，则x的值为 ．
【答案】
【分析】先把A、B代入 进行化简，然后根据题意进行求解即可．
【详解】解：由题可知：；
∵ 值与y的取值无关，
∴ ，即 ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查整式的加减及一元一次方程的解法，熟练掌握整式的加减及一元一
次方程的解法是解题的关键．
举一反三2（2020上·江西南昌·七年级南昌市心远中学校考期中）已知
， ．
（1）当 时，求 的值；
（2）若（1）中式子的值与x的取值无关，求y的值．
【答案】（1） ，3；（2）
【分析】（1）先代入A、B化简原式，根据绝对值的非负性求出x、y值，代入化简后的式
子中求解即可；
（2）根据（1）中化简结果与x取值无关求出y值即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴
=A+6B
= +6（ ）
= ，∵ ，
∴x=1，y=﹣2，
∴原式=6×1×（﹣2）﹣2×1+17=3；
（2）∵ = ，且式子的值与x无关，
∴3y﹣1=0，
解得：y= ．
【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值、绝对值的非负性、有理数的混合运算、解一元
一次方程，熟练掌握运算法则是解答的关键．
举一反三3（2020·江西南昌·七年级期中）已知 ， ，且
的值与 无关，求 的值．
【答案】6
【分析】先将A、B代入2A+3B中进行化简合并，再令x的系数为0解出m值即可．
【详解】解：将A、B代入2A+3B中，得：
2A+3B=2（ ）+3（ ）
= +
= ，
∵ 的值与 无关，
∴6﹣m=0，
解得：m=6．
【点睛】本题考查了整式的加减运算、解一元一次方程，熟练掌握运算法则，明确题目中
2A+3B的值与x无关是指合并后的一次项系数等于零是解答的关键．
题型5 移项解方程与数轴综合题
例5（2022上·陕西榆林·七年级统考期中）如图，数轴上点A在原点的左侧，到原点的距
离为3个单位长度，点B在点A的右侧，与点A的距离为5个单位长度，点A，B对应的数
分别为a，b．(1)求 的值；
(2)点C也是数轴上的点，它对应的数为x，若点C与点A的距离等于6，求x的值．
【答案】(1)
(2)x的值为3或 ．
【分析】（1）由题意分别求出 ， ，再求 的值即可；
（2）根据题意可得方程 ，解出x即可求解．
【详解】（1）解：∵点A在原点的左侧，到原点的距离为3个单位长度，
∴A点表示的数为 ，
∴ ，
∵点B在点A的右侧，与点A的距离为5个单位长度，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵点C对应的数为x，点A对应的数是 ， 点C与点A的距离等于6，
∴ ，即 ，
解得 或 ，
∴x的值为3或 ．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的特
征，两点间距离的求法是解题的关键．
举一反三1（2023上·陕西安康·七年级统考期中）如图，在数轴上，点A，B表示的数分
别为a，b，且 ，若点A，B之间的距离为16，则点A表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是相反数的含义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；由
可得 ，再利用两点之间的距离公式建立方程求解即可.【详解】解：∵ ， 两点之间的距离为16个单位长度，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
举一反三2（2022上·天津河北·七年级汇森中学校考期末）已知数轴上 、 两点对应的
数分别为 、40， 为数轴上一动点，对应数为 ，若 点到 、 距离的比为 ，则
的值为 ．
【答案】4或 / 或
【分析】当点P在 之间时，根据 列出方程，求出解即可；当点P在点A左边时，
根据 列出方程，求出解即可．
【详解】解：当点P在 之间时， ， ，
由 ，
得 ，
解得 ；
当点P在点A左边时，
， ，
由 ，得 ，
解得 ．
所以x的值为4或 ．
故答案为：4或 ．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程等，注意多种情况讨论，
不要丢解．
举一反三3（2023上·浙江绍兴·七年级校考阶段练习）数轴上有三个点A，B，C表示的数
分别为 ，1，c，已知A，B，C中，其中有一点恰好在另外两点的正中间，则c可能的值
为 ．【答案】 或4或
【分析】运用分类讨论的思想：当点A、B、C分别位于正中间时，两点间的距离相等，即
可求解．
【详解】解：①当点A在正中间时，可得，
，
解得 ，
②当点B在正中间，可得，
，
解得 ，
③当点C在正中间，可得，
，
解得 ，
故答案为： 或4或 ．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，熟练掌握求数轴上两点间距离的方法是解题的关
键．
举一反三4（2021上·福建漳州·九年级统考期中）观察下列每对数在数轴上的对应点间的
距离4与 ，3与5．并回答下列各题：
(1)你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为： ；4与 在数轴上的
对应点间的距离可以表示为： ；根据以上规律，则 与 在数轴上的对应点
的距离是 ．
(2)若数轴上的点A表示的数是x，点B表示的数是 ，则A 与B两点间的距离可以表示为
．
(3)结合数轴，求得 的最小值为 ；(4)满足 ，则x的值为 ．
【答案】(1)3
(2)
(3)5
(4)3或
【分析】（1）由题意知， ，然后作答即可；
（2）由题意知，A 与B两点间的距离为 ；
（3）由题意知， 可表示为数轴上表示 与 两点之间的距离，与数轴上表示
与 两点之间的距离的和，即当 时， 的值最小，根据值为
，计算求解即可；
（4）由（3）知， 的最小值5；可知分当 时，当 时，两种情况求即
可．
【详解】（1）解：由题意知， ，
故答案为：3；
（2）解：由题意知，A 与B两点间的距离为 ，
故答案为： ；
（3）解：由题意知， 可表示为数轴上表示 与 两点之间的距离，与数轴上
表示 与 两点之间的距离的和，
∴当 时， 的值最小，
∴ 的最小值为 ，故答案为：5；
（4）解：由（3）知， 的最小值5；
∴当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
∴x的值为3或 ，
故答案为：3或 ．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义的应用，解一元一次方程．解
题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
题型6 移项解方程与相反数、倒数综合问题
例6（2022上·河南南阳·七年级统考期中）若 ， 互为相反数， ， 互为倒数， 的绝
对值为2．
(1)求代数式 的值．
(2)若多项式 中不含 项，求 的值．
【答案】(1)4或
(2)
【分析】（1）根据相反数，倒数，绝对值分别得到 ， ， ，再分两种
情况代入计算即可；
（2）将 项合并，可得 项的系数为零，可得 ，将已知式子的值代入，
求解可得k值．
【详解】（1）解：由题意可得： ， ， ，
∴ ，
当 时， ；当 时， ；
（2）
∵多项式中不含 项，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了相反数，倒数，绝对值，多项式的项，代数式求值及解一元一次方程，
解题的关键是注意分类讨论，理解不含某一项表示该项的系数为零．
举一反三1（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）若代数式 与 的值
互为相反数，则 的值为 ．
【答案】
【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到 的值．
【详解】解：根据题意得： ，
移项合并得： ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了解一元一次方程和相反数的概念，解题的关键在于根据相反数的概念
列出方程．
举一反三2（2023上·陕西咸阳·七年级统考期末）已知关于x的一元一次方程 与
方程 的解互为相反数，求a的值．
【答案】
【分析】由 解得 ，根据题意方程 的解为： ，把 代入方
程 ，就得到关于a的方程，从而可以求出a的值．
【详解】由 解得 ，的相反数是 ，
一元一次方程 的解为 ，
把 代入方程 ，得 ，
解得 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程同解问题，解题的关键是能够求解关于 的方程，要正
确理解方程解的含义．
举一反三3（2023下·河南南阳·七年级统考期中）如果 的值与 的值互为相反
数，那么 等于 ．
【答案】
【分析】根据相反数得出方程为 ，再求出方程的解即可．
【详解】解：根据题意得 ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相反数和解一元一次方程，能熟记互为相反数的两个数的和为0是解
此题的关键．
举一反三4（2021上·江苏南通·七年级如皋市实验初中校考阶段练习）若关于x的方程3x
﹣7=2x+a的解与方程4x+3=﹣5的解互为倒数，则a的值为 ．
【答案】
【分析】根据一元一次方程的性质，首先分别求解方程3x﹣7=2x+a和4x+3=﹣5，再根据倒
数的性质，列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】方程3x﹣7=2x+a
移项，得：
合并同类项，得：
方程4x+3=﹣5
移项，得
∴
根据题意，得移项、合并同类项，得：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元一次方程、倒数的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程方
程的性质，从而完成求解．
举一反三5（2020上·重庆开州·七年级统考期末）关于x的一元一次方程 与一元
一次方程 的解互为倒数，则a的值为（ ）
A．1 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】先求出 的解，得到其倒数，代入 中即可求出a值．
【详解】解：解 得：
x=3，
∵方程 与方程 的解互为倒数，
∴方程 的解为x= ，代入，
∴a=9，
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解的
定义．
举一反三6（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）若 与
互为相反数，则 的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的意义及一元一次方程的解法，根据相反数的意义列出方程是
解答本题的关键．
【详解】解：由题意得：
，
解得：
故选：B.题型7 解绝对值方程
例7（2022上·七年级课时练习）解方程： ．
【答案】 或
【分析】分类讨论： ， ，根据负数的绝对值是它的相反数，非负数的绝对值等
于它本身，可化简方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：原方程可化为 或 ，
解得 或 ．
【点睛】本题考查解含绝对值符号的一元一次方程，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．
举一反三1（2022上·江苏·七年级专题练习）解方程： ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，分类讨论求解即可．
【详解】解：当 时， ，
解得： （不符合题意，舍去），
当 时， ，
解得： ，
综上所述： ，
原方程的解为： ．
【点睛】本题考查了绝对值方程，解本题的关键在熟练掌握绝对值的意义．正数的绝对值
为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0．
举一反三2（2022下·广东深圳·七年级校考阶段练习）解方程： ．
【答案】 或
【分析】根据绝对值的意义，将方程转化为 或 ，再分情况讨论：当 时，可得到 ；当 时，可得到 ，分别求出对
应的方程的解即可．
【详解】解：原方程式化为 或 ，
当 时，即 ，
由 得： ，
解得： ，与 不相符，故舍去，
由 得： ，
解得： ；
当 时，即 ，
由 得： ，
解得： ，与 不相符，故舍去，
由 得： ，
解得： ，
综上所述，原方程的解为： 或 ．
【点睛】本题考查了含有绝对值的一元一次方程，解本题关键在利用绝对值的意义，去绝
对值解方程．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为
0．
举一反三3（2023上·湖南衡阳·七年级校考期中）若 ， ，且 ，则
的值是 ．
【答案】 或 /24或
【分析】本题考查的是绝对值方程的应用，整式的加减运算中的化简求值，本题根据绝对值的含义先求解 ， 的值，再结合 可得 ， 或 ， ，再去括号，
合并同类项得到化简的结果，再分两种情况求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
解得： 或 ，
∵ ，
∴ ， 或 ， ，
∴
，
当 ， 时，原式 ，
当 ， 时，原式 ；
故答案为： 或 ．
举一反三4（2022上·江苏·七年级专题练习）解方程： ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，分三种情况：当 时，当 时，当 时，去
绝对值，得出一元一次方程并解出，即可得出答案．
【详解】解：当 时，原方程变形为： ，
整理，可得： ，此等式永远成立，
∴方程的解为： ；
当 时，原方程变形为： ，
即 ，
解得： ；当 时，原方程变形为： ，
整理，可得： ，此等式不成立，故无解，
综上所述，原方程的解为： ．
【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握绝对值的意义．
正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0．
题型8 定义新运算
例8（2023上·江苏·七年级姜堰区实验初中校考周测）现定义运算“*”，对于任意有理数
a，b，满足 ， ．
(1)计算： ．
(2)若 ，求有理数x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则混合计算，正确理解新定义是解
题的关键．
（1）根据新定义分别计算出 ，然后根据有理数的四则运算法则求解即可；
（2）分当 时，当 时，两种情况根据新定义建立方程求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：当 时，∵ ，
∴ ，
解得 ；
当 时，
∵ ，
∴ ，
解得 （舍去）；
综上所述， ．
举一反三1（2023上·福建泉州·七年级福建省泉州市培元中学校考阶段练习）借助有理数
的运算，对任意有理数 ，定义一种新运算 ，规则如下：
例如， ．
(1)填空： ___________； ，则 ___________；
(2)请验证等式 是否成立．
【答案】(1) 3； 1或
(2)不成立
【分析】根据新定义进行计算即可解答①；根据新定义得到方程 ，解方程即可解
答②；先分别计算 和 ，再比较结果是否相等即可解答
（2）．本题考查了有理数的混合运算、解一元一次方程、绝对值的意义，理解题意，熟练
掌握运算法则，准确进行计算是解此题的关键．
【详解】（1）解： ，
，
故答案为：3；
，，
，
， ，
的值为1或 ，
故答案为：1或 ；
（2）解： ，
，
，
不成立．
举一反三2（2023上·江苏盐城·七年级校考期中）我们定义一种新运算： ，
例如： ．
(1)求 的值：
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的运算，解一元一次方程．
（1）根据新运算的法则，进行计算即可；
（2）根据新运算的法则，列出方程，求解即可．
【详解】（1）解： ；
（2）∵ ，
∴ ．一、单选题
1．（2023上·广西柳州·七年级统考期末）已知 是关于x的一元一次方程，
则（ ）
A．3或1 B．1 C．3 D．0
【答案】C
【分析】由一元一次方程的定义可得 且 ，从而可得答案．
【详解】解：∵ 是关于x的一元一次方程，
∴ 且 ，
解得： 或 ，且 ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，一元一次方程是指只含有一个未知数，且未
知数的最高次数为1这样的整式方程，掌握定义是做题的关键．
2．（2022上·辽宁盘锦·七年级统考期末）若关于x的一元一次方程 的解是
，则k的值为（ ）
A． B．2 C． D．10
【答案】D
【分析】把 代入 ，再解方程可得答案．
【详解】解：把 代入 得： ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解，一元一次方程的解法，掌握以上知识是解题的
关键．
3．（2023上·河南驻马店·七年级校考期末）小马虎在做作业，不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是 ，怎么办呢？他想了想便翻看书后的答案，方
程的解是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】设被污染的数字为 ．将 代入得： ，解方程，即可求解．
【详解】解：设被污染的数字为 ．
将 代入得： ．
解得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握方程的解的定
义是解题的关键．
4．（2022上·内蒙古锡林郭勒盟·七年级校考期末）如果方程 与方程
的解相同，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出第二个方程的解确定出第一个方程的解，代入计算即可求出a的值．
【详解】解：解方程 ，得 ，
将 代入到 ，得 ，
解得 ，
故选B．
【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是得出关于a的一元
一次方程．
5．（2022上·河南郑州·七年级郑州外国语中学校联考期末）若关于x的一元一次方程
的解为 ，则关于y的一元一次方程 的
解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】把方程 看作关于 的一元一次方程，则 ，
从而得到y的值．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程 的解为 ，
∴关于y的一元一次方程 的解为 ，
解得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做
一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
二、填空题
6．（2022上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）当 时，式子 的值与式子
的值相等．
【答案】5
【分析】根据题意列一元一次方程求解，即可得到 的值．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．
7．（2022上·陕西榆林·七年级校考期末）当 时，多项式 的值等于11，那么
当 时，多项式 的值为 ．
【答案】2
【分析】把 代入多项式得关于 的一元一次方程，先求出 ，再把 代入多项式求
值．
【详解】解： 当 时，多项式 的值等于11，
．
．
当 ， 时，．
故答案为：2
【点睛】本题考查了代数式的求值，掌握一元一次方程的解法和有理数的混合运算是解决
本题的关键．
8．（2022上·甘肃平凉·七年级统考期末）规定： ，若 ，则
．
【答案】
【分析】根据运算规则转化为一元一次方程，然后解即可．
【详解】根据题意可得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的知识，比较新颖，关键是根据题意列出方程．
9．（2019上·辽宁抚顺·七年级统考期末）若多项式 不含 项，则
.
【答案】
【分析】不含有 项，说明整理后其 项的系数为0．
【详解】解：
，
多项式 不含 项，
，
解得： ．故答案为： ．
【点睛】本题考查多项式的概念，得出 的系数为0是解题关键．
三、解答题
10．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）解一元一次方程： ．
【答案】
【分析】方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得， ．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
11．（2023·江苏·七年级假期作业）已知多项式 ．
(1)若 ，求 的值．
(2)若 的值与 的值无关，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 可得 ，根据要求，利用整式加减运算法则计算
出 ，代值求解即可得到答案；
（2）根据题意，由 的值与 的值无关得到 ，从而解方程 即可得
到答案．
【详解】（1）解： ，，
，
，
原式
；
（2）解：∵ 的值与 的值无关，
∴ 中， ，即 ，解得 ．
【点睛】本题考查多项式运算，涉及非负式和为零成立的条件、整式的加减运算、代数式
求值、多项式与某个字母无关及解方程等知识，根据题意准确得到满足题意的代数式及方
程是解决问题的关键．
12．（2023上·山东烟台·六年级统考期末）如图是按照一定规律摆放棋子组成的图案，照
这样的规律摆下去，请解答下列问题：
(1)第4个图案上共有______个棋子；
(2)求第60个图案上棋子的个数；
(3)若其中某个图案上共有299个棋子，求这是这几个图案？
【答案】(1)14
(2)第60个图形上棋子的个数是182个；
(3)这是第99个图形．
【分析】（1）观察各图可知，后一个图案比前一个多3枚棋子，第3个图案有11枚棋子，
即可求出第4个图案的棋子个数．（2）观察各图可知，后一个图案比前一个多3枚棋子，由此可得第n个图形的通式为 ，
当 时即可求出第60个图案棋子的个数．
（3）第n个图形的通式为 ，再取 即可求解．
【详解】（1）解：第1个图案： ，
第2个图案： ，
第3个图案： ，
∴第4个图案： ，
∴第4个图案有14枚棋子；
故答案为：14；
（2）解：由（1）知，第n个图形上棋子的个数是 个，
当 时， ，
所有第60个图形上棋子的个数是182个；
（3）解：由题意列方程， ，
解这个方程，得 ，
所以这是第99个图形．
【点睛】本题考查图形的变化规律，由所给的图形分析出规律是解题的关键．
13．（2023上·湖北荆州·七年级统考期末）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的
值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程” 的解也是关于 的方程 的解，则
___________；
(2)若关于 的方程 的解也是“立信方程” 的解，求 的值．
(3)关于 的方程 是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数 的值．
【答案】(1)3
(2)
(3)4，6，18
【分析】（1）先求出 的解，再将方程的解代入 ，求出 的值即可；
（2）由 得， ，利用整体思想，将 代入，求出 的值即可；
（3）求出方程的解，根据方程是“立信方程”得到方程的解为整数，进行求解即可．
【详解】（1）解： ，解得： ，
∵ 的解也是关于 的方程 的解，
∴ ，解得： ；
故答案为：3；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵关于 的方程 的解也是“立信方程” 的解，
∴ ，
∴ ，解得： ；
（3） ，解得： ，
∵ 是“立信方程”，
∴ 是整数，
∴ 或 ，
解得： 或 或 （不合题意，舍去）或 ，
∴符合要求的正整数 的值为 ．
【点睛】本题考查方程的解，解一元一次方程．理解并掌握方程的解的定义，“立信方
程”的定义，是解题的关键．
