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3.2解一元一次方程——合并同类项与移项
合并同类项解方程的方法与步骤
（1）合并同类项，即把含有未知数的同类项和常数项分别合并.
（2）系数化为1，即在方程的两边同时除以未知数的系数.
注意：（1）解方程中的合并同类项和整式加减中的合并同类项一样，它们的依据都是乘法分
配律，实质都是系数的合并，目的是运用合并同类项，使方程变得更简单，为运用等式性质
2求出方程的解创造条件；
（2）系数为1或-1的项，合并时不能漏掉.
题型1：解一元一次方程——合并同类项
1.解下列方程∶(1)3x+2x+x=24; (2)-3x+6x=18.
【答案】（1）x=4 （2）x=6
【变式1-1】（1）5x-6x=-57 （2）13x-15x＋x=-3.
【答案】（1）x=57 （2）x=3
移项解方程的方法与步骤
1.移项
把等式的某项变号后移到另一边，叫做移项.移项必须变号.
2.移项的依据
移项的依据是等式的性质1，在方程的两边加（或减）同一个适当的整式，使含未知数的项
集中在方程的一边，常数项集中在另一边.
3.解简单的一元一次方程的步骤（1）移项；（2）合并同类项；（3）系数化为1.
注意：
（1）移项通常把含有未知数的项移到“=”的左边，常数项移到“=”的右边
（2）若将2=x变形为x=2，直接利用的是等式性质的对称性，不能改变符号.
（3）方程中的每项都包括前面的符号.
题型2：解一元一次方程——移项2.将下列方程移项
（1）7＋x=13，移项得x=13+7
（2）5x=4x＋8,移项得 5x-4x= 8
（3）3x-2=x+1，移项得 3x-x=2+ 1
（4）8x=7x-2，移项得 8x-7x=- 2
（5）2x-1=3x+4，移项得 2x-3x=1+ 4
【变式2-1】解下列方程
20
(1)4x+2=3x-3; （2）4y= y+16
3
【答案】（1）x=-5 （2）y=-6
【变式2-2】解下列方程
(1)2x+3=4x-5; (2)9x-17=4x-2.
【答案】（1）x=4 （2）x=3
题型3：绝对值方程
3.解方程 |2x-3|=1.
【分析】解绝对值方程的关键是把绝对值符号去掉，将方程转化为普通方程求解.
【解答】∶因为|2x-3|=1，
所以2x-3=1或2x-3=-1，
解得x=2或x=1.
【变式3-1】如果|2x+3|＝|1﹣x|，那么x的值为（ ）
2 3 2 2
A．− B．− 或1 C．− 或﹣2 D．− 或﹣4
3 2 3 3
【分析】根据绝对值的意义得到2x+3＝1﹣x或2x+3＝﹣（1﹣x），然后解两个一次方程即可．
【解答】解：∵|2x+3|＝|1﹣x|，
∴2x+3＝1﹣x或2x+3＝﹣（1﹣x），
2
∴x=− 或x＝﹣4．
3
故选：D．
1
【变式3-2】若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x− |＝1，则m的值是（ ）
2
1 13 1 5 1 5
A． 或 B． C． D．− 或
4 4 4 4 2 4
【分析】解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，
即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．
1
【解答】解：因为方程|x− |＝1，
21
所以x− =±1，
2
3 1
解得x= 或x=− ，
2 2
1
因为关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x− |＝1，
2
所以解方程x+2＝2（m﹣x）得，
3x+2
m= ，
2
3 13
当x= 时，m= ，
2 4
1 1
当x=− 时，m= ．
2 4
13 1
所以m的值为： 或 ．
4 4
故选：A．
题型4：依题意构建方程求解
4.代数式2x＋5与x＋8的值相等，则x的值是 .
【答案】3
【解析】【解答】解：∵代数式2x＋5与x＋8的值相等，
∴2x+5=x+8，
解得：x＝3，
故答案为：3.
【分析】根据已知条件：2x＋5与x＋8的值相等，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
【变式4-1】当x= 时，代数式6x+1与-2x-5的值互为相反数。
【答案】1
【解析】【解答】解：∵ 6x+1与-2x-5的值互为相反数，
∴6x+1+（-2x-5）=0，
∴6x+1-2x-5=0，
∴4x=4，
∴x=1.
故答案为：1.
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，解方程求出x的值，即可求解.
【变式4-2】如果2x+3的值与1﹣3x的值互为相反数，那么x＝ .
【答案】4
【解析】【解答】解：∵2x+3的值与1﹣3x的值互为相反数，
∴2x+3+1﹣3x＝0，﹣x＝﹣4，
x＝4.
故答案为：4.
【分析】利用互为相反数的两数之和为0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
题型5：用方程的定义求字母的值
5.已知（a﹣2）x2+ax+1=0是关于x的一元一次方程（即x是未知数），求这个方程的解．
【答案】解：∵（a﹣2）x2+ax+1=0是关于x的一元一次方程（即x是未知数），
∴a﹣2=0，
∴a=2，
∴方程为2x+1=0，
1
∴x=﹣ ．
2
【解析】【分析】根据一元一次方程先求出a的值，再解方程即可解答．
【变式5-1】已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+3=m﹣5是关于x的一元一次方程，求这个方程的解．
【答案】解：∵（m﹣2）x|m|﹣1+3=m﹣5是关于x的一元一次方程，
∴m﹣2≠0且|m|﹣1=1，解得m=﹣2．
5
∴解方程﹣4x+3=﹣2﹣5，得x=
2
【解析】【分析】利用一元一次方程的定义求出m的值，再解一元一次方程即可．
【变式5-2】已知方程（a﹣2）x|a|﹣1+8=0是关于x的一元一次方程，求a的值并求该方程的解．
【答案】解：∵方程（a﹣2）x|a|﹣1+8=0是关于x的一元一次方程，
∴|a|﹣1=1且a﹣2≠0．
∴a=﹣2．
将a=﹣2代入得：﹣4x+8=0．
解得：x=2．
【解析】【分析】由一元一次方程的定义可知|a|﹣1=1且a﹣2≠0，从而可求得a的值，然后将a的值代
入求解即可．
题型6：列方程解决实际问题1-分配问题
6.把一批图书分给七年级（11）班的同学阅读，若每人分3本，则剩余20本，若每人分4本，则
缺25本，这个班有多少学生？
【答案】解：设这个班有x个学生，根据题意得：
3x+20=4x-25
解得：x=45答：这个班有45人。
【解析】【分析】 设这个班有x个学生，若每人分3本，则剩余20本，可知书的数量为3x+20，若每人
分4本，则缺25本， 书的数量为4x-25, 然后根据书的数量相等列方程求解即可.
【变式6-1】<<九章算术>>中有这样一个问题，原文如下。今有共买物,人出入，盈三，人出七，不是
四，问人数，物价各几何？大意为：几个人一起去购买某物品？如果每人出八钱，则多了3钱，如果
每人出7钱咋少了4钱？问有多少人？物品的价格是多少钱？（注：“钱”为中国古代的货币单位）
请解答上述问题。
【答案】解：设人数为 x 人
由题意得： 8x−3=7x+4
解得： x=7 （人）
则物品的价格为： 8x−3=8×7−3=53 （钱）
答：一起购买物品的人数为7人，该物品的价格是53钱.
【解析】【分析】假设人数为 x 人，根据在两种出钱方式下，物品的价格不变列出等式方程即可.
【变式6-2】某学校安排学生住宿，若每室住7人，则有10人无法安排；若每室住8人，则恰好空出2
个房间，这个学校的住宿生有多少人?
【答案】解：设这个学校共有x间宿舍，则
7x+10=8(x-2)
解得：x=26
住宿生的人数为：26×7+10=192(人)
答：这个学校的住宿牛有192人。
【解析】【分析】 设这个学校共有x间宿舍， 根据等量关系，列出方程，即可求解.
题型7：列方程解决实际问题2-比例问题
7.某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排水量要比环保限制的最大量还多200吨；如用新
工艺，则废水排水量要比环保限制的最大量少100吨． 新旧工艺的废水排水量之比为2：5，则环保
限制的最大量是多少吨？
【答案】解：设环保限制的最大量为x吨，根据题意列方程得
2(x+200)=5(x−100)
解这个方程得：x=300
答：环保限制的最大量为300吨
【解析】【分析】根据题意先求出 2(x+200)=5(x−100) ，再解方程即可。
【变式7-1】新冠疫情期间，甲、乙、丙三家公司为抗击疫情捐款，他们共捐款216万元，所捐款数的
比为3：4：5，问甲、乙、丙三家公司各捐款多少万元？
【答案】解：设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意得，
3x+4x+5x=216，
解得，x=18.所以3x=54，4x=72，5x=90；
答：甲公司捐款54万元，乙公司捐款72万元，丙公司捐款90万元.
【解析】【分析】设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意得
3x+4x+5x=216，求解即可.
【变式7-2】有大小两筐苹果，大筐苹果与小筐苹果单价比是5∶4，其重量比是2∶3，把两筐苹果混合在
一起成100千克的混合苹果，单价为每千克2.2元，大小两筐苹果原单价各是多少？
2
【答案】解：大苹果的重量是： 100× =40 （千克），
2+3
小苹果的重量是：100-40=60（千克），
设大筐苹果单价为 5x 元，则小筐苹果单价为 4x 元，
依题意得： 40×5x+60×4x=2.2×100 ，
解得： x=0.5 ，
∴5x=2.5 ， 4x=2 ，
答：大苹果的单价是2.5元，小苹果的单价是2元．
【解析】【分析】根据“大、小两筐苹果的重量比是2：3”，再由两筐苹果混合在一起是100千克，
可以求出大、小苹果各自的重量；再由“大苹果与小苹果单价的比是5：4”，设大筐苹果单价为 5x
元，则小筐苹果单价为 4x 元，根据混合苹果的总价是2.2×100元，列方程即可求出大、小两筐苹果
原来的单价．
题型8：列方程解决实际问题3-数字问题
8.一个两位数，十位上的数字是 3，把个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新数比原数小
18，求这个两位数．
【答案】这个两位数是31．
【分析】设这个两位数个位上的数字为x，根据得到的新数比原数小18列方程求解即可．
【解答】解：设这个两位数个位上的数字为x.
根据题意，得（30+x）-（10x+3）=18，
解方程，得x=1，
答：这个两位数是31．
【变式8-1】一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是 6，把这个两位数加上18后，比十位数字
大56，请问这个两位数是多少？
【分析】设这个两位数的十位数字是x,则个位数字是6-x,根据把这个两位数加上18后，比十位数字大
56的等量关系列出方程解答即可．
【解答】解：设这个两位数的十位数字是x,则个位数字是6-x,由题意得
10x+6-x+18-x=56，
解得：x=4，
6-x=6-4=2．
答：这个两位数是42．
【变式8-2】一个两位数，个位数与十位数分别是x、y.
（1）用代数式表示这个两位数；
（2）若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大18．这样的两位数共有多少个？
并求出最大的那个原两位数．
【分析】（1）用十位上的数字乘以10，加上个位上的数字，即可列出这个两位数．
（2）先表示出新两位数，再根据所得新两位数比原两位数大18，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）这个两位数是10y+x；（2）新两位数为10x+y,
由题意得（10x+y）-（10y+x）=18，
9x-9y=18，
x-y=2，
x=y+2，
∵1≤x≤9，1≤y≤9，
∴当y=1，2，3，4，5，6，7时，x=3，4，5，6，7，8，9．
故这样的两位数分别是13，24，35，46，57，68，79，共有多7个．
故最大的那个原两位数是79．
一、单选题
1．下列各式是一元一次方程的是（ ）
1 x x
A．x2−2x=1 B．x−1= C．y+3=x−4 D． − =1
x 2 3
【答案】D
【解析】【解答】解：A． x2−2x=1 未知数的最高次为2次，是一元二次方程，不符合题意；
1
B． x−1= 不是整式方程，不符合题意；
x
C． y+3=x−4 含有两个未知数，不符合题意；
x x
D． − =1 是一元一次方程，符合题意；
2 3
故答案为：D．
【分析】 一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。根据
一元一次方程的定义对每个选项一一判断求解即可。
2．已知x＝3是关于x的方程：4x﹣a＝3+ax的解，那么a的值是（ ）
9 9
A．2 B． C．3 D．
4 2
【答案】B
9
【解析】【解答】将x=3代入方程4x-a=3+ax得12-a=3+3a，解得x= ；故答案为：B.
4
【分析】由题意把x=3代入方程可得关于a的方程，解方程即可求解.
3．下列方程中，解为x=2的方程是（ ）．
1
A．4x=2 B．3x+6=0 C． x=0 D．7x-14=0
2
【答案】D【解析】【分析】看看x=2能使ABCD四个选项中哪一个方程的左右两边相等，就是哪个答案；也可
以分别解这四个选项中的方程．
1
【解答】（1）由4x=2得，x= ；
2
（2）由3x+6=0得，x=-2；
1
（3）由 x=0得，x=0；
2
（4）由7x-14=0得，x=2．
故选D．
【点评】本题考查的是方程解的定义，属于比较简单的题目，关键要熟练掌握定义的内容．
2+Δ
4．方程 ＝x， Δ 处被墨水盖住了，已知方程的解x＝2，那么 Δ 处的数字是( )
3
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】【解答】设 Δ =a，把x=2代入原方程可得：
2+a
=2 ，解得： a=4 .
3
即 Δ =4.
故答案为：C.
【分析】设 Δ =a，把x=2代入原方程可得关于a的方程，然后利用一元一次方程的解法求解即可.
5．若关于x的方程ax+3x=2的解是x=1，则a的值是（ ）
A．-1 B．5 C．1 D．-5
【答案】A
【解析】【解答】解：将x=1代入方程得：a+3=2，
解得：a=﹣1．
故选A．
【分析】根据方程的解为x=1，将x=1代入方程即可求出a的值．
二、填空题
6．若（m-2）x|2m﹣3|=6是关于x的一元一次方程，则m的值是 .
【答案】1
{|2m−3|＝1
【解析】【解答】解：由一元一次方程的特点得 ，
m−2≠0解得：m=1.
故答案为：1.
【分析】只含有一个未知数，未知数的最大指数是1，且未知数项的系数不为0的整式方程就是一元
一次方程，据此可得m-2≠0且|2m-3|=1，求解就可得到m的值.
7．据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m2，2013年同期将达到8200元/m2，假设这两年
兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为 ．
【答案】7600（1+x）2＝8200
【解析】【解答】根据题意可知：2012年同期兰州市房价均价为7600(1+x)，2013年同期兰州市房价
均价为7600(1+x)(1+x)，即7600(1+x)2，
则根据题意可列出方程7600(1+x)2=8200.
故答案为：7600(1+x)2=8200.
【分析】根据现在价格=去年价格(1+x)，列出数量关系式，解方程即可。
8．如图，一个平衡的天平盘中，左盘有2个小正方体和2个小球，右盘有4个小正方体和1个小球．
每个小球的重量用x克表示，小正方体每个5克，那么可列方程得 ．
【答案】2×5+2x=4×5+x
【解析】【解答】解：天平盘中每个小球的重量用x克表示，砝码每个5克，
则两个小正方体的重量+两个小球的重量=四个小正方体的重量+一个小球的重量，
根据这个等量关系，可列出方程：2×5+2x=4×5+x．
故答案为2×5+2x=4×5+x
【分析】由天平保持平衡可得等量关系为：两个小正方体的重量+两个小球的重量=四个小正方体的重
量+一个小球的重量，依此列出方程即可．
1 1
9．已知关于x的方程x+2﹣ x＝m的解是x＝21，那么关于y的一元一次方程y+23﹣
2021 2021
（y+21）＝m的解是y＝ ．
【答案】01
【解析】【解答】解： y+23﹣ （y+21）＝m ，
2021
设y+21=y'，
1
∴y'+2- y'=m，
2021
1
∵关于x的方程x+2﹣ x＝m的解是x＝21，
2021
∴y'=21，
∴y+21=21，
解得y=0.
故答案为：0.
1 1
【分析】设y+21=y'，把原方程化为y'+2- y'=m，其与关于x的方程x+2﹣ x＝m同解，
2021 2021
从而求出y'，再列式求y，即可解答.
三、解答题
10．某工厂去年的总收入比总支出多50万元，计划今年的总收入比去年增加10%，总支出比去年节
约20%，按计划今年总收入将比总支出多100万元．今年的总收入和总支出计划各是多少万元？
【答案】解：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元．根据题意，得
{ x−y=50 {x=200
，解这个方程组，得 ，∴（1+10%）x=220，（1-20%）
(1+10%)x−(1−20%)y=100 y=150
y=120．答：今年的总收入为220万元，总支出为120万元．
【解析】【分析】设去年总收入为x万元，总支出为y万元，根据利润=收入-支出即可得出关于x、y
的二元一次方程组，解之即可得出结论．
11．某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一
A：计时制：0.05元/分，B：包月制：50元/月，此外，每一种上网时间都要收通信费0.02元/分
（1）某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用(用y表示)
（2）若甲用户估计一个月上网时间为20小时，乙用户估计一个月上网时间为15小时，各选哪一
种收费方式最合算？【答案】（1）解：根据题意可得：
第一种方式： y=0.02×60x+0.05×60x=4.2x
第二种方式： y=0.02×60x+50=1.2x+50
（2）解：甲用户：用第一种方式： y=4.2×20=84
用第二种方式： y=50+1.2×20=74
故甲用户选择第二种方式最合算
乙用户：用第一种方式： y=4.2×15=63
用第二种方式： y=50+1.2×15=68
故乙用户选择第一种方式最合算
【解析】【分析】（1）根据已知的两种数量关系列出函数表达式
（2）根据提供的值，代入表达式中求解
12．已知代数式 M=3(a−2b)−(b+2a) .
（1）化简 M ；
（2）如果 (a+2)x2+4xb−2−3=0 是关于 x 的一元一次方程，求 M 的值.
【答案】（1）解： M=3(a−2b)−(b+2a) ，
=3a−6b−b−2a ，
=3a−2a−6b−b ，
=a−7b ；
（2）解：∵(a+2)x2+4xb−2−3=0 是关于 x 的一元一次方程，
∴a+2=0,b−2=1 ，
∴a=−2,b=3 ，
∴M=a−7b=−2−7×3=−23 .
【解析】【分析】 （1）首先去括号，然后再合并同类项即可；
（2）含有一个未知数，未知数项的最高次数是一次，且一次项的系数不为 0的整式方程就是一元一
次方程，根据定义列出方程组再解可得a、b的值，然后再代入（1）化简的式子可得答案．
