容斥原理（二）(含答案)-_小学奥数举一反三1-6年级相关课程_奥数历年杯赛真题全套（PDF、Word可打印）_09、小学奥林匹克辅导及答案36套

容斥原理（二） 【例题分析】 例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀 的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只 有1人。只有两次达到优秀的有多少人？ 分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两 次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。 一次 二次 10人 13人 1人 15人 三次 25人 1013152512 11（人） 答：只有两次达到优秀的有11人。 例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了 冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只 要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？ 分析与解：根据题意画图。 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com冰 汽 6 3 6 1 0 1 4 雪 ?人 方法一：664(31)(01)(11)110（人） 方法二：664311210（人） 答：共有10个小朋友去了冷饮店。 例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目，参 加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问：只参加跑和投掷两项的有多少 人？ 分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我 们可以在下图中参加一项的区域用0表示。 跑 跳 0 0 ？ 8 0 投 28178 3（人） 答：只参加跑和投掷两项的有3人。 例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加， 英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3 人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只 有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。 分析与解：根据已知条件画出图。 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com数 英 30 质 20 1 3 质 语 10 49人 三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加语文又参加英 语的有y人，可以列出这样的方程：302010x y3149 整理后得：x y 9 由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。 答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。 例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数 学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都 没得满分者3人。问这个班最多多少人？最少多少人？ 分析与解：根据题意画图。 语 数 20 7 20 8 9 20 英 3 设三科都得满分者为x 全班人数202020789x3 整理后：全班人数＝39＋x 39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数就最多，当x取最小值时，全班人数就最 少。x是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x中的人数一定不超过两科得满分的 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com人数，即x  7，x 8且x9，由此我们得到x7。另一方面x最小可能是0，即没有三科 都得满分的。 当x取最大值7时，全班有(397 )46人，当x取最小值0时，全班有(390)39人。 答：这个班最多有46人，最少有39人。 【模拟试题】（答题时间：30分钟） 2 1 1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有 的人订《少年报》，有 的人订 3 2 《数学报》，两种刊物都订的有多少人？ 2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记 表如下表（单位：平方米） 姓名 居室 门厅 厨房 厕所 总面积 小明 14 12 8 4 38 小龙 20 12 8 4 44 他们住的一套房子共有多少平方米？ 3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳 远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班 只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。 4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好 生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三 年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？ 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com【试题答案】 2 1 1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有 的人订《少年报》，有 的人订 3 2 《数学报》，两种刊物都订的有多少人？ 2 1 96 96 9616(人) 3 2 2 1 或96(  1) 16(人) 3 2 答：两种刊物都订的有16人。 2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记 表如下表（单位：平方米） 姓名 居室 门厅 厨房 厕所 总面积 小明 14 12 8 4 38 小龙 20 12 8 4 44 他们住的一套房子共有多少平方米？ 38  44  12  8  4  58(平方米) 或20  14  12  8  4  58(平方米) 答：这套房子共有58平方米。 3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳 远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班 只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。 451 44(人) 201822768 39(人) 4439 5(人) 4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好 生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三 年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？ 设三年连续三好生人数为x人 全班人数103543x20 …… 全班人数38x x最大是3，最小是0 所以这个班最多有(383)41名同学，最少有(380)38名同学。 易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com易提分旗舰店 https://yitifen.tmall.com 听听课 https://www.tingtingke.com