第二章一元二次函数、方程和不等式知识总结（思维导图+知识记诵打印版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_备战2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

第二章 一元二次函数、方程和不等式单元总结 知识点一：不等式的主要性质 (1)对称性：a b  b  a (2)传递性：a b,b  c a c (3)加法法则：a b ac bc； a b,c  d  ac bd (4)乘法法则：a b,c  0 ac bc； a b,c 0 ac bc， a b 0,c  d 0 ac bd 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司(5) 乘方法则：a b0an bn (nN*且n1) (6) 开方法则：a b0 n a  n b (nN*且n1) 要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同. 知识点二：基本不等式 两个重要不等式 ①a,bR，那么a2 b2 2ab（当且仅当ab时取等号“=”）； ab ②基本不等式：如果a,b是正数，那么  ab （当且仅当ab时取等号“=”）. 2 算术平均数和几何平均数 ab 算术平均数： 称为a,b的算术平均数； 2 几何平均数： ab 称为a,b的几何平均数； 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式的应用 x,y(0,),且xy  P（定值），那么当x  y时，x y有最小值2 P； 1 x,y(0,),且x y  S （定值），那么当x  y时，xy有最大值 S2 . 4 要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 几个常用变形不等式： (ab)2 ①a2 b2  （当且仅当a=b时等号成立）； 2 ②（a+b）2≥4ab（当且仅当a=b时等号成立）； a b 1 ③   2  ab  0  ；特别地：a  2 a  0 ； b a a a2 b2 ab 2ab ④   ab   a,bR . 2 2 ab 知识点三：三个“二次”的关系 一元二次不等式ax2 bxc0或ax2 bxc0 (a 0)的解集： 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司设相应的一元二次方程ax2 bxc0 (a 0)的两根为x、x 且x  x ， b2 4ac，则不等式 1 2 1 2 的解的各种情况如下表：  0  0  0 二次函数 y  ax2 bxc （a  0）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ax2 bxc0 b 无实根 x ,x (x  x ) x  x   a0 的根 1 2 1 2 1 2 2a ax2 bxc0    b  xx x或x x xx    R (a0)的解集 1 2  2a ax2 bxc0   xx  xx   (a0)的解集 1 2 解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：Aax2 bxc (a 0) （2）计算判别式，分析不等式的解的情况： ①0时，求根x , x （注意灵活运用因式分解和配方法）； 1 2 b ②0时，求根x  x  ； 1 2 2a ③0时，方程无解 （3）写出解集. 要点诠释：若a0，可以转化为a0的情形解决. 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司