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第二章 一元二次函数、方程和不等式综合检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（2024·福建莆田·三模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）若 ，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭
载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万
台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（
）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则 （ ）．
A． B．C． D．
5．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）设 ：实数 满足 ， ：一元二次方程“
”有两个负数解，则 是 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在 中， 为线段 的中点， 为线段 上一点，
，过点 的直线分别交直线 ， 于 ， 两点．设 ， ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．6
8．（2024·全国·模拟预测）设 为 中最大的数.已知正实数 ，记 ，
则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一下·江西赣州·期中）已知 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）关于 的不等式 的解集可能是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
11．（2024·浙江绍兴·二模）已知 ， ， ，则（ ）
A． 且 B．
C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（23-24高一下·上海·开学考试）若对于任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是
.
13．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于
的不等式 的解集为 ．
14．（2023·山西·模拟预测）已知 ，且 ，则 的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）（2024·全国·二模）已知实数 ，满足 .
(1)求证： ；(2)求 的最小值.
16．（15分）（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设 ．
(1)若不等式 对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求 的最小值；
(3)解关于x的不等式 ．
17．（15分）（22-23高二下·北京西城·期中）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山
区的交通现状，计划再修建一条连接两条公路、贴近山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为
，山区边界曲线为 ，计划修建的公路为 ，如图所示．已知M，N为 的两个端点，点 到 的距
离分别为20千米和5千米，点 到 的距离分别为4千米和25千米，分别以 所在的直线为x，y轴，
建立平面直角坐标系xOy．假设曲线 符合函数 （其中a，k为常数）模型．
(1)求a，k的值；
(2)设公路 与曲线 相切于点 ，点 的横坐标为 ．①求公路 所在直线的方程；
②当 为何值时，公路 的长度最短?求如最短长度．
18．（17分）（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知不等式 的解集为 ，函数
（ ，且 ）， （ ，且 ）．
(1)求不等式 的解集；
(2)若对于任意的 ，均存在 ，满足 ，求实数 的取值范围．
19．（17分）（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）（1）已知 ，求 的最大值.
（2）已知 且 ，求 的最大值.
