第二章一元二次函数、方程和不等式知识总结（含解析）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_备战2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

第二章 一元二次函数、方程和不等式单元总结
知识点一：不等式的主要性质
(1)对称性：
a>b⇔b<a
a>b,b>c⇒a>c
(2)传递性：
(3)加法法则：
a>b⇒a+c>b+c
；
a>b,c>d⇒a+c>b+d
a>b,c>0⇒ac>bc
(4)乘法法则： ；a>b,c<0⇒ac<bc
，
a>b>0,c>d>0⇒ac>bd
(5) 乘方法则：
(6) 开方法则：
要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同.
知识点二：基本不等式
两个重要不等式
① ，那么 （当且仅当 时取等号“=”）；
②基本不等式：如果 是正数，那么 （当且仅当 时取等号“=”）.
算术平均数和几何平均数
a+b
2
算术平均数： 称为 的算术平均数；
√ab
几何平均数： 称为 的几何平均数；
因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
基本不等式的应用
,且 （定值），那么当 时， 有最小值 ；
1
S2
4
,且 （定值），那么当 时， 有最大值 .
要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
几个常用变形不等式：
① （当且仅当a=b时等号成立）；
②（a+b）2≥4ab（当且仅当a=b时等号成立）；a b 1
+ ≥2 (a⋅b>0) a+ ≥2(a>0)
b a a
③ ；特别地： ；
√a2 +b2 a+b 2ab
≥ ≥√ab≥
④
2 2 a+b
.
知识点三：三个“二次”的关系
一元二次不等式 或 的解集：
设相应的一元二次方程 的两根为
x
1
、x
2
且x
1
≤x
2，
Δ=b2 −4ac
，则不等
式的解的各种情况如下表：
Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数
y=ax2 +bx+c
（
a>0
）的图象
一元二次方程 有两相等实根
ax2 +bx+c=0 有两相异实根 b
无实根
x ,x (x <x ) x =x =−
(a>0)的根 1 2 1 2 1 2 2a
ax2 +bx+c>0 { b }
{x|x<x 或x >x } x|x≠− R
(a>0)的解集 1 2 2a
ax2 +bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x
1
<x<x
2
} ∅ ∅
解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：
（2）计算判别式Δ，分析不等式的解的情况：
① 时，求根 （注意灵活运用因式分解和配方法）；
b
x =x =−
1 2 2a
② 时，求根 ；
③ 时，方程无解
（3）写出解集.要点诠释：若 ，可以转化为 的情形解决.
类型一：不等式的性质
例1．若 为实数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ，则 或
B. 若 ，则 或
C. 若 或 ，则
D. 若 或 ，则
【思路点拨】利用不等式的性质，逐项进行判断.
【解析】若 ，则 同号.
当 时，由 得 ；
当 时，由 得 .
所以A项正确，B项错误.
由 得 ，即 ，所以 或
同理，由 得 或
显然C项不正确.
同理D项也不正确.
【总结升华】解答此类问题应注意一下几个方面：
（1）准确理解不等式的性质；
（2）掌握作差法比较大小这种最基本的方法；（3）了解符号的运算规律；
（4）灵活利用特殊数值对结论进行检验.
例 2．已知函数 ,满足 , ,那么 的取值范围是
.
【思路点拨】将 用 及 表示出来，再利用不等式性质求得正确的范围.
【解析】
解法一：方程思想(换元)：
{a−c=f(1)¿¿¿¿
由 ，求得
5 8
f(3)=9a−c=− f(1)+ f(2)
3 3
∴
5 5 20 8 8 40
≤− f(1)≤ ,− ≤ f(2)≤
3 3 3 3 3 3
又
5 8
−1≤− f(1)+ f(2)≤20
3 3
∴ ，
−1≤f (3)≤20
即 。
解法二：待定系数法
设f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)
解法三：数形结合(线性规划)
所确定区域如图：设 ，将边界点(0,1)(3,7)代入即求出.
【总结升华】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题
要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中
多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已
知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条
途径.
类型二：不等式的求解
例3．已知函数 的值域为 ，若关于 的不等式 的解集为
，则实数 的值为_______.
【解析】 的值域为 ，
， ，
又 的解集为 ， ，
，
.
【总结升华】解决本题的关键是（1）准确把握一元二次不等式的解法；（2）掌握一元二次不等式的
解集、一元二次方程的根与一元二次函数的零点三者之间的关系，根据需要进行彼此的互化.例 4． 已知关于 x 的方程 的两根为 ，试问是否存在实数 m，使得不等式
对任意实数a∈[－1,1]及l∈[－1,1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，
说明理由．
【总结升华】
①在含参不等式问题中，二次不等式恒成立的充要条件的理论依据:
ax2+bx+c>0对任何x∈R恒成立⇔a>0且Δ=b2-4ac<0；
ax2+bx+c<0对任何x∈R恒成立⇔a<0且Δ=b2-4ac<0。
②与不等式恒成立相互依存,相互支撑与相互转化的最值命题：
μ＜f(x)恒成立⇔μ＜f(x)的最小值
μ＞f(x)恒成立⇔μ＞f(x)的最大值
类型三：均值不等式求最值及应用
例5．已知正数 满足 ，试求 、 的范围。
【思路点拨】利用均值不等式化归为其它不等式的求解或者转化为函数最值的求解.
【解析】
解法一：
由 ，则 ，
即
解得 ，
当且仅当 即 时取“=”号，故 的取值范围是 .
又
解得 ，
当且仅当 即 时取“=”号，故 的取值范围是
解法二：
由 ， 知 ，
则 ，由 ，则：
，
当且仅当 ，并求得 时取“=”号，
故 的取值范围是 。
，
当且仅当 ，并求得 时取“=”号，故 的取值范围是 。
【总结升华】利用均值不等式求函数的最值，除了抓住均值不等式的使用条件“一正、二定、三相
等”外，还要灵活变换函数式，配凑均值不等式，并正确应用均值不等式求解函数最值问题.
16
y 3x2 
例6．求函数
2x2
的最小值.
16 1
3x2 
【思路点拨】
2x2
是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.
而2x2
可与
x2 2
16
y 3x2 6 6
相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即
2x2
，再用均值不等式.
【解析】 ，
y
当且仅当 ，即 时,等号成立. 所以 的最小值是 .
【总结升华】为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧；为了保证式子的值不变，
添项后一定要再减去同一项.
例7．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建
造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：
万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系： (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为
8万元．设 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及 的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 达到最小，并求最小值．【思路点拨】(1)由题意知C(0)＝8，代入 的表达式即可求出k的值，求 的表达式时需注意
定义域；(2)利用均值不等式即可求解．
【解析】(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝ ，再由C(0)＝8，得k
＝40，因此 ．
而建造费用为 ．
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
(0≤x≤10)．
(2) ．
当且仅当 ，即x＝5时取“＝”所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万
元．
【总结升华】利用不等式的性质解决实际应用题，首先，要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确
定是求什么量的最值(即题中的y)；其次，分析题目中给出的条件，建立y与x的函数关系式 (x
一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．