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第二章 函数与基本初等函数
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（2023·贵州·高三校联考期中）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数 有且只有一个零点的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再
生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型： （其中 是自然对数的底数）描述累计感染病例数 随时间
（单位：天）的变化规律，指数增长率 与 ， 近似满足 .有学者基于已有数据估计出
， ，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 倍需要的时间约为（ ）（参
考数据： ， ）
A． 天 B． 天 C． 天 D． 天
5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式
可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 且 ，若函数 的值域是，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 是奇函数，
是偶函数，设函数 ．若对任意 恒成立，则实数 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，若 为偶函数且 ，
则 （ ）
A． B．0 C．2 D．4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 如下表所示，则下列结论错误的是（ ）
x
1 2 3 4
A． B． 的值域是
C． 的值域是 D． 在区间 上单调递增
10．（2023·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知 ，函数 ，存在常数 ，使得
为偶函数，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 是定义在R上的奇函数，当
时， ，则（ ）
A．当 时， B． ，都有
C． 的解集为 D． 的单调递增区间是 ，12．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知函数 函数
，则下列结论不正确的是（ ）
A．若 ，则 恰有2个零点
B．若 ，则 恰有4个零点
C．若 恰有3个零点，则 的取值范围是
D．若 恰有2个零点，则 的取值范围是
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集是
______.
14．（2023·河南郑州·统考模拟预测）偶函数 满足 ，且 时，
，则 _____________.
15．（2023·全国·高三专题练习）函数 ； ，对
有 ，则 的范围为______.
16．（2023·全国·高三专题练习）对于函数 ，如果存在区间 ，同时满足下列条件：① 在
上是单调的；②当 的定义域是 时， 的值域是 ，则称 是该函数的“倍值
区间”．若函数 存在“倍值区间”，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)画出 的图像，并直接写出 的值域；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
18．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数 的解析式．(1)已知 ，则 的解析式为__________．
(2)已知 满足 ，求 的解析式．
(3)已知 ，对任意的实数x，y都有 ，求 的解析式．
19．（12分）
（2023·云南昆明·高三云南省昆明市第十二中学校考阶段练习）已知函数 是偶函数.当
时， .
(1)求函数 在 上的解析式；
(2)若函数 在区间 上单调，求实数a的取值范围；
(3)已知 ，试讨论 的零点个数，并求对应的m的取值范围.
20．（12分）
（2023·上海杨浦·统考一模）企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生
产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为I（x）万
元．两者满足关系：
(1)甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值；
(2)乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最
大；（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）
(3)由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益、因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调
整，最终双方达到动态平衡（在对方当前产量不变的情况下，已方达到利润最大）求动态平衡时，两企业
各自的产量和利润分别是多少．
21．（12分）
（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数 （
）是奇函数．又已知 在 上是一次函数，在 上是二次函数，且在 时函数取得最小值 ．
(1)证明： ；
(2)求 的解析式；
(3)求 在[4，9]上的解析式．
22．（12分）
（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）设 ， 满足 ．
(1)求a的值，并讨论函数 的奇偶性；
(2)若函数 在区间 严格减，求b的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：函数 有且仅有一个零点q，且存在唯一的递增的无
穷正整数列 ，使得 成立．
