第二章直线和圆的方程知识总结打印版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_备战2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）_第二章直线和圆的方程知识总结_30975550

第二章 直线和圆的方程单元总结 要点 1.直线的倾斜角的斜率 令直线的倾斜角为，斜率为k，    （1）k tan  ，其中0,,kR ，当 时，斜率不存在；  2 2 y y （2）过Px,y ,P x ,y 的直线斜率k  2 1x  x . 1 1 1 2 2 2 x x 1 2 2 1 要点 2.直线方程的几种形式 （1）点斜式 yy kxx  0 0 yy 注意：① 0 k表示不含P x ,y 才是整条直线方程。 xx 0 0 0 0 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！②当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x x . 0 ③在解题时若选用点斜式的话，应单独考虑斜率不存在时的情况. （2）斜截式 ykxb. 注意：在解题时若选用斜截式的话，应单独考虑斜率不存在时的情况. （3）两点式 yy xx 1  1 y y x x 0 y y x x 2 1 2 1 2 1 2 1 注意：①两点式方程的条件是x  x ,y  y ，即不能表示平行（或重合）于坐标轴的直线。 1 2 1 2 ②若把两点式写成：x x yy y y xx ，则可适用任何位置的直线. 2 1 1 2 1 1 （4）截距式 x y  1ab0. a b 注意：①截距是坐标而不是长度. ②当斜率不存在或为零时，或直线过原点时，都不能用截距式，因此用截距式时应单独考虑这几种情 形. （5）一般式 AxByC 0  A2B2 0 . 要点 3.两直线的位置关系 （1）两直线的位置关系 设l :yk xb,l :yk xb .（k、k 都存在） 1 1 2 2 2 1 2 ①l 与l 相交k k ，特别地k k 1l l ； 1 2 1 2 1 2 1 2 ②l l k k 且b b ； 1 2 1 2 1 2 ③l 与l 重合k k 且b b . 1 2 1 2 1 2 设l :AxB yC 0,l :A xB yC 0AB 0,AB 0 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ①l 与l 相交 AB  A B ，特别地AA BB 0l l ； 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ②l l  AB  A B 且AC  AC ； 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 ③l 与l 重合 AB  A B 且AC  AC . 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 （2）点到直线的距离 Ax By C 设Ax ,y ，直线l :AxByC 0，点A到直线l的距离d  0 0 ，特别地，Al  d 0. 0 0 1 A2 B2 注意：①当Ax ,y 在l上时，则Ax By C 0； 0 0 0 0 ②当A在l上方，则Ax By C 0； 0 0 ③当A在l下方，则Ax By C0. 0 0 （3）两平行线间距离 设l :AxByC 0,l :AxByC0. 1 2 CC  l 1 l 2 ，l 1 与l 2 间的距离d  A2B2 . 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（4）直线系方程 ①平行直线系：ykxb（k为常数，b为变数），表示一组斜率为k的平行直线。 ②共点直线系：yy kxx [定点为x ,y ,k 为变数]，表示一束过定点x ,y 的直线（不包括直 0 0 0 0 0 0 线xx ）. 0 ③ 过 直 线 l、l 交 点 的 直 线 系 ： 设 l :AxB yC 0,l :A xB yC 0 ， 则 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 AxByCA xB yC 0R表示一束过l、l 交点的直线（不包括l ）. 1 1 1 2 2 2 1 2 2 （5）中心对称和轴对称 x x y y ①中心对称：设点Px,y 、Qx ,y 关于点Mx ,y 对称，则x  1 2 ,y  1 2 . 1 1 2 2 0 0 0 2 0 2 ②轴对称：设Px,y 、Qx ,y 关于直线l:AxByC 0对称，则 1 1 2 2 x x C a.B0时，有 1 2  ，且y  y ； 2 A 1 2 y y C b. A0时，有 1 2  ，且x  x ； 2 B 1 2 y y B x x y y c.AB0时，有 2 1  且A 1 2 B 1 2 C 0. x x A 2 2 2 1 要点 4.几个值得注意的问题 （1）关于五种形式的直线方程及其转化形式要注意： ①直线斜率往往是求直线的关键，若不能判定直线有斜率，必须分两种情况讨论； ②在直线的斜截式或截距式中，其“截距”不等于“距离”； ③当斜率不存在时，会正确选择直线的表示形式，同时注意直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式 表示直线的局限性。 （2）关于两条直线的位置关系要注意： ①判断垂直或平行时，要考虑两条直线中一条无斜率或都无斜率的情况； ②区分“到角”与“夹角”的异同，以及“l 到l 的角”与“l 到l 的角”的不同； 1 2 2 1 Ax By C C C ③利用公式d  0 0 ，要注意将直线方程化为一般形式，利用公式d  1 2 求平行线间的 A2 B2 A2B2 距离，要注意把x、y对应项的系数化为相同. （3）关于直线倾斜角要注意： ①注意与斜率概念的区别 直线的斜率是直线倾斜角的正切值，任何一条之下都有倾斜角，但并不是任何一条直线都有斜率，当 直线的斜率不存在时，其倾斜角等于90； ②注意倾斜角的取值范围   直线倾斜角的取值范围是0,，且当0≤ 时，k≥0；当 时k 0.在通过斜率的范围求倾 2 2 斜角的范围时，应特别注意，否则容易出现错误. 要点 5．圆的方程 （1）标准式：圆心为点a,b，半径为r的圆的标准方程为xa2 yb2 r2．特别地，当圆心在坐 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！标原点时，圆的方程为x2  y2 r2； （2）一般式：x2  y2 DxEyF 0  D2 E2 4F 0  ； （3）值得关注的几个问题 ①在二元二次方程中，x2和y2的系数相等摒弃没有xy项，只是表示圆的必要条件，而不是充分条件． ②如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个 点的坐标，一般用一般方程．  D E ③在一般方程中，当D2 E2 4F 0时．方程表示一个点  , ；当D2 E2 4F 0时，无轨  2 2  迹． ④由于圆的方程均含有三个参变（a、b、r或D、E、F ），而确定这三个参数必须有三个独立条件，因 此，三个独立条件确定一个圆． ⑤待定系数是求圆的方程的常用方法． 要点 6．点与圆的位置关系 (1)点在圆上 ①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上． ②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上． 注意：若P点是圆C为一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d  PC r，最小距离：d  PC r． max min 要点 7．直线一与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系有相交、相离、相切三种，其判别方法有： ①代数法：通过解直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究．若有两组不同的实数解(即 0)，则相交；若有两组相同实数解(即0)，则相切；若无实数解0，则相离． ②几何法：由圆心到直线的距离d 与半径r的大小来判断．当d r时，直线与圆相交；当d r时，直线 与圆相切；当d r时，直线与圆相离． （2）值得关注的几个问题 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离d r ，最小距离d r．其中d 为圆心到直线的距 离． 2  l  ②当直线与圆相交时，设弦长为l，弦心距为d ，半径为r，则有  d2 r2． 2 1k2 ③当直线与圆相交时，设弦长为AB，则 AB  1k2  x x ; AB  AB  y  y ． AB A B k A B AB ④当直线与圆相切时，切线的求法有如下几种： a．若点x ,y 在圆x2  y2 r2上，则切线方程为x x y yr2． 0 0 0 0 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！若点x ,y 在圆xa2 yb2 r2上，则切线方程为x axay bybr2． 0 0 0 0 b．斜率为k且与圆x2  y2 r2相切的切线方程为y kxr 1k2 ． 斜率为k且与圆xa2 yb2 r2相切的切线方程的求法，可以设切线为 y kxm，然后变成一般 式kx ym0，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程，求m． c．若点x ,y  在圆xa2 yb2 r2 外，则设切线方程为 y y kxx  ，变成一般式 0 0 0 0 kab y kx kx y y kx 0因为直线与圆相切，所以有 0 0 r．由此解出k ，若此方程有一个实 0 0 k2 1 根，则还有一条斜率不存在的切线，务必要补上． 要点 8．圆与圆的位置关系 (1)圆与圆的位置关系共有外离、外切、相交、内切、内含五种，其判别方法有： ①代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组．若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方 程组有两组相同的实数解，则两圆相切(内切或外切)；若 无实数解，则两圆外离或内含． ②几何法：设两圆半径分别为两圆心分别为r 、r ，两圆心分别为C 、C ，则 1 2 1 2 当 CC r r 时，两圆相离； 1 2 1 2 当 CC r r 时，两圆外切； 1 2 1 2 当 CC  r r 时，两圆内切； 1 2 1 2 当 r r  CC  r r 时，两圆相交； 1 2 1 2 1 2 当 CC  r r 时，两圆内含． 1 2 1 2 (2)值得关注的几个问题 共 交 点 圆系 ： 已 知 两圆 x2  y2 DxE yF 0 相 交 ，则 与 两圆 共交 点 的 圆系 方 程为 1 1 1 x2  y2 DxE yF   x2  y2 D xE yF  0，其中为1的任意常数，此圆系不包括 1 1 1 2 2 2 第二个圆． 当1时，为根轴方程，即两圆公共弦所在的直线方程为D D xE E yF F 0． 1 1 1 2 1 2 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！