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4.3.3 余角和补角
1.理解角的概念，掌握角的表示方法.
2.会比较角的大小，认识角的常用度量单位，并能进行简单的换算，会计算角的 和与差.
3.理解角的平分线的概念，会用符号语言表示，
4.了解余角和补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能应用这些性质解决相关问题.
知识点一 锐角、直角和钝角
小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°而小于180°的角是钝
角．
知识点二 余角和补角
1．如果两个角的和等于90°(直角)，我们就说这两个角互为余角．也就是说，其
中一个角是另一个角的余角．同角(或等角)的余角相等．
2．如果两个角的和等于180°(平角)，我们就说这两个角互为补角．也就是说，
其中一个角是另一个角的补角．同角(或等角)的补角相等．
即学即练 已知∠A＝50°17′，求∠A的余角和补角．
解：∠A的余角：90°－50°17′＝39°43′
∠A的补角：180°－50°17′＝129°43′.
题型1 求一个角的余角
例1（2023上·黑龙江绥化·七年级统考期末）已知一个角的度数是 ，则它的余角的度数是 .
【答案】
【分析】此题考查了余角．根据两个角的和为 ，这两个角互为余角，即可求得答案．
【详解】解： ，
故答案： ．
举一反三1（2022上·广东湛江·七年级校考期末） 的余角为 ．
【答案】54.4
【分析】本题考查了角互余的概念．主要记住互为余角的两个角的和为 ．
【详解】解： 的余角为 ，
故答案为：54.4．
举一反三2（2022上·辽宁盘锦·七年级统考期末）已知 的余角为 ，则
．
【答案】
【分析】根据余角定义求解即可．
【详解】解：∵ 的余角为 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查余角定义，熟知和为 的两个角互余是解答的关键．
举一反三2（2023下·陕西西安·七年级统考期末）已知 与 互余，若 ，则
．
【答案】 /65度
【分析】根据余角的性质求解即可．
【详解】解：∵ 与 互余，
∴ ，
又 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了余角的性质，解题的关键是掌握余角的性质，两角和为 则两角互
余．题型2 求一个角的补角
例2（2022上·新疆阿克苏·七年级统考期末）已知 ，则 的补角的度数是
．
【答案】
【分析】本题主要考查了补角的定义和角度换算．根据两个角之和为 的两个角互为补
角，以及 解题即可．
【详解】解：∵
∴ 的补角的度数是 ．
故答案为： ．
举一反三1（2022上·江苏无锡·七年级统考期末） 的补角为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角的补角和余角及度分秒的转化，根据互为余角的和 ，互补的两
角和为 ，从而计算即可．
【详解】解：由题意得： ，
故答案为： ．
举一反三2（2022上·辽宁抚顺·七年级统考期末）已知 ，则 的补角的度数
是 ．
【答案】
【分析】依据补角的定义求解即可．即：两个角之和等于 ，即可求解．
【详解】解： 的补角的度数是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是补角的概念：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．
其中一个角叫做另一个角的补角．
举一反三3（2023下·福建宁德·七年级统考期末）已知 与 互补．若 ，则
．
【答案】130【分析】根据互补的两角之和为 ，即可得出答案．
【详解】解： ．
故答案为：130．
【点睛】本题主要考查两个角互补的定义，理解互为补角的两个角的和为 是解题关键．
题型3 与余角、补角有关的计算
例3（2022上·浙江杭州·七年级统考期末）设一个锐角 的补角为 ，这个锐角的余角为
，则 度．
【答案】90
【分析】本题主要考查余角和补角，直接根据余角和补角的定义进行计算即可．
【详解】解：锐角 的补角为 ，则 ；
这个锐角的余角为 ，则 ．
∴ ，
故答案为：90．
举一反三1（2023上·江苏南京·七年级期末）一个角与它的补角的比为 ，则这个角为
度．
【答案】
【分析】本题考查了补角的定义，熟记相关结论即可．
【详解】解：∵ ，
∴这个角为
故答案为：
举一反三2（2022上·安徽池州·七年级统考期末）互为补角的两个角的度数比是 ，则
较小角的余角等于 ．
【答案】18
【分析】根据补角的定义先求出较小角的度数，再根据余角的定义求出答案即可．【详解】解：由题意得，较小的角的度数为 ，
∴较小角的余角等于 ，
故答案为；18．
【点睛】本题主要考查了与补角和余角相关的计算，熟知如果角的度数之和为180度，那
么这两个角互补，如果两个角的度数之和为90度，那么这两个角互余是解题的关键．
举一反三3（2022下·上海杨浦·六年级校考期末）一个锐角的补角与它的余角的度数差是
度．
【答案】
【分析】先设这个锐角为 度，根据余角和补角的定义列出式子计算即可．
【详解】解：设这个锐角为 度，则其补角为 度，余角为 度，
其补角与余角的度数差是 度，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了有关余角和补角的定义，解题关键在于熟记这些定义．
举一反三4（2023下·山东淄博·六年级统考期末）一个角的余角的2倍比这个角的补角少
，则这个角是 度．
【答案】
【分析】设这个角为 ，根据一个角的余角的2倍比这个角的补角少 ，列出方程，
解方程即可．
【详解】解： ，
设这个角为 ，根据题意得：
，
解得： ，
即这个角为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，余角和补角的计算，解题的关键是根据等
量关系，列出方程．题型4 同（等）角的余（补）角相等的应用
例4（2023下·辽宁丹东·七年级统考期末）如图， ， 分别交 ， 于点
P，F，过点P作 ，则图中与 互余的角有 个．
【答案】3
【分析】由 ，得到 ， ，因此
，由平行线的性质得到 ，因此
，于是得到图中与 互余的角有3个．
【详解】解： ，
， ，
，
，
，
，
图中与 互余的角有3个．．
故答案为：3
【点睛】本题考查平行线的性质，余角，关键是掌握余角的定义，平行线的性质．
举一反三1（2023下·北京海淀·七年级校考期末）若 与 分别是 的余角，
则 ．
【答案】
【分析】同角（或等角）的余角相等，据此进行求解即可．
【详解】解：因为 与 分别是 的余角，
所以 ，，
所以 ，
故答案： ．
【点睛】本题主要考查了余角的性质，理解性质是解题的关键．
举一反三2（2023上·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，一副三角尺按下列的位置摆放后，
图中∠ 与∠ 一定相等，其理由是 ．
【答案】同角的余角相等
【分析】根据同角的余角相等即可得到答案．
【详解】解：根据同角的余角相等即可判断∠ 与∠ ，
故答案为：同角的余角相等．
【点睛】本题考查余角性质，熟记余角的性质是解题关键．
举一反三3（2023下·湖北孝感·七年级统考期末）如果 与 互余， 与 互余，且
，那么 ．
【答案】 /75度
【分析】直接根据同角的余角相等求解即可．
【详解】∵ 与 互余， 与 互余，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了同角的余角相等，熟练掌握知识点是解题的关键
一、单选题
1．（2023上·黑龙江绥化·七年级统考期末）如图， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了余角的性质．根据同角的余角相等，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选：C．
2．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）若 与 互余， 与 互补，则 与 的
关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 与 互余， 与 互补可得 ， ，由
得： ，由此即可解答．掌握“互为余角的两个角的和为 ，互为补角
的两个角的和为 ”是解题的关键．
【详解】解： 与 互余， 与 互补，
∴ ， ，
由 得： ，
．
故选：D．
3．（2022上·浙江台州·七年级统考期末）如果 和 互补，且 ，给出下列
四个式子：① ；② ；③ ；④ .其中可以表示 余
角的式子有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了余角和补角的定义，以及角的运算：若两个角之和为90°，这两个角互
余；若两个角之和为 ，这两个角互补，据此即可作答．
【详解】解： 与 互补，
，
，
①由余角的定义知 为 的余角；
② ，
与 互余；
③ ，
与 互余；
④由③可知 不是 的余角，
可以表示 的余角的有3个，
故选：B
4．（2022上·浙江杭州·七年级统考期末）如图，点O在直线AB上， ， ，
若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查同角或等角的余角相等，角度单位的换算，掌握余角的性质定理是解题
的关键．【详解】∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选A．
5．（2023上·吉林白城·七年级校联考期末）已知 ，则 的补角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了求一个角的补角；用 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ 的补角的度数为 ，
故选：D．
6．（2022上·云南红河·七年级统考期末）一个角的补角比这个角的余角的3倍少 ，这
个角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】互余的两个角和为 ，互补的两个角和为 ，再建立方程求解．
【详解】解：设这个角为 度数，则 ，
解得 ；
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，补角的定义，余角的定义，根据题意建立方程是
解题的关键．
二、填空题
7．（2022上·四川成都·七年级四川省蒲江县蒲江中学校考期末）一个角的度数是 ，
则这个角的余角为 ；
【答案】68度59分46秒/
【分析】本题考查了余角的知识，解答本题的关键是掌握互为余角的两个角角度之和为
．
根据互为余角的两个角角度之和为 可得出这个角的余角．
【详解】解：余角 ．故答案为 ．
8．（2023上·江苏·七年级期末）已知 ，则 的补角等于 ．
【答案】158°42′
【分析】本题考查补角定义，根据补角定义可求，正确进行角度的减法运算是求解本题的
关键．
【详解】解： ，
的补角为： ，
故答案为： ．
9．（2022上·辽宁大连·七年级统考期末）如图，若 是直线 上一点， ，
，则 ．
【答案】 /80度
【分析】本题先由平角的定义得出 ，再由已和条件 即可求出
结果．
【详解】解： ， ，
，
，且 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平角的定义和角的计算，解答本题的关键是理解平角的概念．
10．（2022上·湖南岳阳·七年级统考期末）已知 ，则它的补角为 ．
【答案】
【分析】根据补角的定义求解即可．
【详解】解： ，
故它的补角为 ．
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了补角的知识，掌握补角的定义是解题关键．
11．（2022上·甘肃平凉·七年级统考期末）已知 ，则它的余角是
．
【答案】
【分析】根据余角的定义求即可．
【详解】解：∵ ，
∴它的余角是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于 那么这两个角互为余角，其中
一个角叫做另一个角的余角．
三、解答题
12．（2022上·四川眉山·七年级校考期末）如图所示，直线 、 、 交于点 ，
平分 ，且 ， ．
(1)写出一对互余的角．
(2)求 的度数．
【答案】(1) 与 互余
(2)
【分析】本题考查角平分线的定义，角互余的定义．
（1）根据互余角的定义，在图中找到一组即可；
（2）先求 ，再由角平分线的定义求出 ，则有
．
【详解】（1） ，
，，
与 互余；
（2） ，
，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
．
13．（2022上·陕西西安·七年级校考期末）点O为直线 上一点，将一直角三角板
的直角顶点放在O处，射线 平分 ．
(1)如图（1），若 ，则 ______；
(2)将图（1）中的直角三角板 绕顶点 顺时针旋转至图（2）的位置，一边 在直
线 上方，另一边 在直线 下方．
①试探究 的结果是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，请说
明理由；
②当 时，求 的度数．
【答案】(1)
(2)① ②
【分析】（1）由补角的定义可求 ，再由角平分线定义可求
，由 即可求解；
（2）①由余角的定义可求 ，再由补角的定义可求，即可求解；②设 ，由角平分线的定义可得 ，
由补角的定义及余角的定义可求 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
射线 平分 ，
，
，
，
故答案： ；
（2）解：①是定值， ，
理由如下：
，
，
，
，
；
②设 ，
射线 平分 ，
，
，
，，
，
，
解得： ，
．
【点睛】本题考查了角平分线相关角的数量关系，角平分线的定义，补角的定义，余角的
定义，一元一次方程，理解定义，能用方程思想求角度是解题的关键．
