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§5.1 向量的概念及线性运算
课标要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法
运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0 的向量，记作0．
(3)单位向量：长度等于 1 个单位长度 的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也称为共线向量，规定：零向量与任一向量平
行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量
法则(或几何意义) 运算律
运算
交换律：
a＋b＝b＋a；
加法
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 (1)|λa|＝|λ||a|. λ(μa)＝(λμ)a；(2)若a≠0，则当λ>0时，λa的方向与a的方
向相同；
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．特别 (λ＋μ)a＝λa＋μa；
地， λ(a＋b)＝λa＋λb
当λ＝0时，0a＝0；
当a＝0时，λ0＝0
3.向量共线定理
设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a
是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
常用结论
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的
向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接
而成的向量和为零向量．
2．在△ABC中，D为BC的中点，则AD＝(AB＋AC)．
3．在△ABC中，点P满足PA＋PB＋PC＝0 P为△ABC的重心，AP＝(AB＋AC)．
4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤ ⇔|a±b|≤|a|＋|b|.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
(2)单位向量都相等．( × )
(3)任一非零向量都可以平行移动．( √ )
(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ )
2．下列命题正确的是( )
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
C．向量AB与BA是平行向量
D．平行向量不一定是共线向量
答案 C
解析 A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B项，|a|＝|b|说明a，b的长度相等，不能判断它们的方向，故B错误；
C项，向量AB与BA方向相反，是平行向量，故C正确；
D项，平行向量就是共线向量，故D错误．
3．(多选)下列各式化简结果正确的是( )
A.AB＋AC＝BCB.AM＋MB＋BO＋OM＝AM
C.AB＋BC－AC＝0
D.AB－AD－DC＝BC
答案 BC
4．已知e ，e 为平面内两个不共线的向量，MN＝2e －3e ，NP＝λe ＋6e ，若M，N，P三
1 2 1 2 1 2
点共线，则λ＝________.
答案 －4
解析 因为M，N，P三点共线，所以存在实数k使得MN＝kNP，
即2e－3e＝k(λe＋6e)，
1 2 1 2
又e，e 为平面内两个不共线的向量，
1 2
可得解得λ＝－4.
题型一 平面向量的基本概念
例1 (1)(多选)下列说法正确的是( )
A．若a＝b，b＝c，则a＝c
B．若四边形ABCD满足AB＝DC，则四边形ABCD是平行四边形
C．若a∥b，b∥c，则a∥c
D．与非零向量a共线的单位向量为±
答案 ABD
解析 对于A，由相等向量的定义知，A正确；
对于B，因为AB＝DC，所以AB∥DC且AB＝DC，则四边形ABCD是平行四边形，故B正
确；
对于C，若b＝0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c，故C错误；
对于D，由单位向量和共线向量定义可知与非零向量a共线的单位向量为±，故D正确．
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC
上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是( )
A.AD＝BC B.AC＝BD
C.PE＝PF D.EP＝PF
答案 D
解析 方法一(排除法)AD，BC不共线，AC，BD不共线，故A，B错误；PE，PF方向相反，C错误；故选D.
方法二 在等腰梯形ABCD中，AD，BC不平行，AC，BD不平行，故A，B错误；
∵AB∥CD，
∴＝＝，
∴＝，则＝，
即＝，即＝，
∵EF∥AB，
∴＝＝＝，
∴PE＝PF，即P为EF的中点，
∴EP＝PF，故C错误，D正确．
思维升华 平行向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4)是与非零向量a同方向的单位向量．
跟踪训练1 (1)(多选)下列关于向量的说法正确的是( )
A．若|a|＝0，则a＝0
B．若向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上
C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|
D．若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb
答案 AC
解析 对于A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确；
对于B，若向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故B错误；
对于C，若a，b方向相同，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，则|a＋b|<|a|＋|b|，
若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知|a＋b|<|a|＋|b|.
综上可知对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正确；
对于D，若a≠0，b＝0，则a∥b，此时不存在实数λ，使a＝λb，故D错误．
(2)(多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立
的是( )
A．|AB|＝|EF|B.AB与FH共线
C.BD与EH共线
D.CD＝FG
答案 ABD
解析 由四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，知|AB|＝|EF|，即A正确；
由图形可知AB与FH的方向相反，CD与FG的方向相同且长度相等，即AB与FH共线，CD＝
FG，故B，D正确；
而∠BDE与∠DEH不一定相等，BD与EH不一定共线，故C错误．
题型二 平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义
例2 若|AB|＝7，|AC|＝4，则|BC| 的取值范围是( )
A．[3,7] B．(3,7)
C．[3,11] D．(3,11)
答案 C
解析 由题意知|AB|＝7，|AC|＝4，且|BC|＝|AC－AB|，
当AC，AB同向时，|BC|取得最小值，|BC|＝|AC－AB|＝||AC|－|AB||＝|4－7|＝3；
当AC，AB反向时，|BC|取得最大值，|BC|＝|AC－AB|＝||AC|＋|AB||＝|4＋7|＝11；
当AC，AB不共线时，3＝||AC|－|AB||<|BC|<||AC|＋|AB||＝11，
故|BC| 的取值范围是[3,11]．
命题点2 向量的线性运算
例3 (2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则
CB等于( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
答案 B
解析 因为BD＝2DA，所以AB＝3AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3(CD－CA)＝
－2CA＋3CD＝－2m＋3n.
命题点3 根据向量线性运算求参数
例4 (2024·安阳模拟)已知矩形ABCD的对角线交于点O，E为AO的中点，若DE＝λAB＋
μAD(λ，μ为实数)，则λ2－μ2等于( )
A．－ B.
C. D.
答案 A
解析 如图，在矩形ABCD中，
DO＝(DA＋DC)，
在△DAO中，
DE＝(DA＋DO)，
∴DE＝＝DA＋DC＝AB－AD，
∴λ＝，μ＝－，
∴λ2－μ2＝－＝－.
思维升华 平面向量线性运算的解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来进行比较，求参数的值．
跟踪训练2 (1)如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OD的中点，
AE的延长线交CD于点F.若AB＝a，AD＝b，则AF等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
答案 B
解析 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OD的中点，AE的延长线交CD于
点F，
则△DEF∽△BEA，所以＝＝，
则＝＝，
所以DF＝DC＝AB，
则AF＝AD＋DF＝AB＋AD＝a＋b.
(2)(2023·聊城模拟)M是△ABC内的一点，若BM＝BA＋λBC，AM＝AB＋μAC，则λ＋μ等于(
)
A. B．1 C. D.
答案 D
解析 由AM－BM＝AB，得AB＝AB＋μAC－BA－λBC，
所以AB＝μAC－λBC，
即AB＝6μAC－6λBC＝6μAC＋6λCB，
又AB＝AC＋CB，
故μ＝λ＝，故λ＋μ＝.
题型三 共线定理及其应用
例 5 (1)(2023·徐州模拟)已知向量 a，b 不共线，向量 8a－kb 与－ka＋b 共线，则 k＝
________.
答案 ±2
解析 因为向量a，b不共线，向量8a－kb与－ka＋b共线，
所以8a－kb＝t(－ka＋b)＝－kta＋tb，t∈R，
故解得k＝±2.
(2)已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于点D，交AC于点E，若AD＝λAB，AE
＝μAC，则＋＝________.
答案 3
解析 如图，延长AG交BC于点F，则F为BC的中点，
AG＝AF＝(AB＋AC)，
又AB＝AD，AC＝AE，
∴AG＝AD＋AE，
又G，D，E三点共线，
∴＋＝1，即＋＝3.
思维升华 利用向量共线定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．
(2)若a与⇔b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的
充要条件是m＋n＝1.
跟踪训练3 (1)(2023·绵阳模拟)已知平面向量a，b不共线，AB＝4a＋6b，BC＝－a＋3b，CD＝a＋3b，则( )
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
答案 D
解析 对于A，BD＝BC＋CD＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，则AB，BD不共线，故A不正确；
对于B，AB与BC不共线，故B不正确；
对于C，BC与CD不共线，故C不正确；
对于D，AC＝AB＋BC＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3CD，即AC∥CD，
又AC与CD有公共点C，则A，C，D三点共线，故D正确．
(2)如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN的中点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值是
________．
答案
解析 因为AN＝NC，所以AC＝3AN，
因为AP＝mAB＋AC＝mAB＋AN，
且B，P，N三点共线，
所以m＋＝1，所以m＝.
课时精练
一、单项选择题
1．(2023·广州模拟)如图，在正六边形ABCDEF中，AF－ED＋EF＋2AB等于( )
A．0 B.AB
C.AD D.CF
答案 A
解析 因为六边形ABCDEF为正六边形，所以AF－ED＋EF＋2AB＝CD＋DE＋EF＋2AB＝CF＋2AB＝0．
2.如图，e，e 为互相垂直的单位向量，向量a＋b＋c可表示为( )
1 2
A．2e－3e
1 2
B．3e－2e
1 2
C．2e＋3e
1 2
D．3e＋2e
1 2
答案 D
解析 由题意得a＝e＋2e，b＝e－2e，c＝e＋2e，
1 2 1 2 1 2
所以a＋b＋c＝e＋2e＋e－2e＋e＋2e＝3e＋2e.
1 2 1 2 1 2 1 2
3．若a，b为非零向量，则“＝”是“a，b共线”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 依题意，“＝”表示与a，b同向的单位向量是相等向量，能推出“a，b共线”，所
以充分性成立；
“a，b共线”可能同向共线、也可能反向共线，所以“a，b共线”不能推出“＝”，所以
必要性不成立．
4．(2024·银川模拟)已知向量a，b不共线，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b，若c与d方向相
反，则实数x的值为( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
答案 B
解析 因为c与d方向相反，
所以存在k∈R，使得d＝kc，且k<0，
即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb，
因为向量a，b不共线，则
整理可得x(2x－1)＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝－或x＝1.又k<0，所以x<0，故x＝－.
5．已知O，A，B三点不共线，点P为该平面内一点，且OP＝OA＋，则( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段AB的反向延长线上
D．点P在射线AB上
答案 D
解析 由OP＝OA＋，得OP－OA＝，所以AP＝·AB，所以点P在射线AB上．
6.如图所示，△ABC内有一点G满足GA＋GB＋GC＝0，过点G作一直线分别交AB，AC于
点D，E.若AD＝xAB，AE＝yAC(xy≠0)，则＋等于
( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 B
解析 因为GA＋GB＋GC＝0，
所以G为△ABC的重心，
所以AG＝(AB＋AC)＝tAD＋(1－t)AE＝txAB＋(1－t)yAC，
所以tx＝，(1－t)y＝，
所以＋＝3t＋3(1－t)＝3.
二、多项选择题
7．下列各式中能化简为AD的是( )
A．－(CB＋MC)－(DA＋BM)
B．－BM－DA＋MB
C．(AB－DC)－CB
D.AD－(CD＋DC)
答案 ACD
解析 对于A，－(CB＋MC)－(DA＋BM)＝－(CB＋MC＋DA＋BM)
＝－(CB＋BM＋MC＋DA)＝－DA＝AD，故A正确；
对于B，－BM－DA＋MB＝MB－DA＋MB＝AD＋2MB，故B错误；
对于C，(AB－DC)－CB＝AB－DC－CB＝AB＋CD＋BC＝AD，故C正确；
对于D，AD－(CD＋DC)＝AD－0＝AD，故D正确．8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且
BC＝3EC，F为AE的中点，则( )
A.BC＝－AB＋AD
B.AF＝AB＋AD
C.BF＝－AB＋AD
D.CF＝AB－AD
答案 ABC
解析 ∵AB∥CD，AB＝2DC，
∴BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD＋AB＝－AB＋AD，故A正确；
∵BC＝3EC，∴BE＝BC＝－AB＋AD，
∴AE＝AB＋BE＝AB＋＝AB＋AD，
又F为AE的中点，∴AF＝AE＝AB＋AD，故B正确；
∴BF＝BA＋AF＝－AB＋AB＋AD＝－AB＋AD，故C正确；
∴CF＝CB＋BF＝BF－BC＝－AB＋AD－＝－AB－AD，故D错误．
三、填空题
9．已知在四边形ABCD中，AB＝DC，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD的形状是________．
答案 等腰梯形
解析 由AB＝DC，
可得AB∥CD且AB＝DC，
所以四边形ABCD是梯形，
又因为|AD|＝|BC|，
所以梯形ABCD的两个腰相等，
所以四边形ABCD是等腰梯形．
10．(2023·徐州模拟)已知单位向量 e ，e ，…，e ，则|e ＋e ＋…＋e |的最大值是
1 2 2 024 1 2 2 024
________，最小值是________．
答案 2 024 0
解析 当单位向量e，e，…，e 方向相同时，
1 2 2 024
|e＋e＋…＋e |取得最大值，
1 2 2 024
|e＋e＋…＋e |＝|e|＋|e|＋…＋|e |＝2 024；
1 2 2 024 1 2 2 024
当单位向量e，e，…，e 首尾相连时，
1 2 2 024
e＋e＋…＋e ＝0，
1 2 2 024所以|e＋e＋…＋e |的最小值为0.
1 2 2 024
11．(2023·佛山模拟)等腰直角△ABC中，点P是斜边BC上一点，若AP＝＋，则△ABC的
面积为________．
答案
解析 如图，过点P作AB，AC的垂线交AB，AC分别于点E，F，
由于AP＝＋，
所以AE＝，AF＝，
则|AE|＝4，|AF|＝1，
所以在等腰直角△ABC中，PE＝1，BE＝1，所以AB＝5，
故△ABC的面积S＝×5×5＝.
12.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边
BC，CD上，且满足BE＝EC，CD＝2CF，则|AE＋AF|＝________.
答案 3
解析 因为BE＝EC，
所以AE＝AB＋BE＝AB＋AD，
又因为CD＝2CF，
所以AF＝AD＋DF＝AB＋AD，
所以|AE＋AF|＝|AB＋AD|＝|AC|，
又因为∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°，
所以△ADC为等边三角形，所以AC＝AD＝2，
所以|AE＋AF|＝|AC|＝×2＝3.
四、解答题
13．(2023·青岛模拟)如图，在矩形ABCD中，DE＝2EC，BF＝2FC，AC与EF交于点N.
(1)若CN＝λAB＋μAD，求λ＋μ的值；(2)设AE＝a，AF＝b，试用a，b表示AC.
解 (1)依题意，设EN＝tEF，
CN＝CE＋EN＝CE＋tEF＝CE＋t(CF－CE)
＝(1－t)CE＋tCF＝－AB－AD，
又CN＝λAB＋μAD，
所以解得λ＋μ＝－.
(2)因为AC＝AB＋AD，AE＝AB＋AD，AF＝AB＋AD，
所以AE＋AF＝(AB＋AD)＝AC，
所以AC＝a＋b.
14.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.
(1)用a，b表示AE，BE；
(2)求证：B，E，F三点共线．
(1)解 在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b，
故AE＝AD＝a＋b，BE＝AE－AB＝a＋b－a＝b－a.
(2)证明 因为BE＝b－a＝(b－2a)，
BF＝AF－AB＝b－a＝(b－2a)，
所以BE＝BF，所以BE∥BF，
又BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．
15．(2023·扬州模拟)设点O是面积为4的△ABC内部一点，且有OA＋3OB＋4OC＝0，则
△BOC的面积为( )
A．1 B. C. D.
答案 C
解析 如图，∵OA＋3OB＋4OC＝0，
∴－OA＝OB＋OC，设－OA＝OD，
则OD＝OB＋OC，即B，C，D三点共线，
∴＝＝，
∴S ＝4×＝.
△BOC
16.如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，CO与AB交于点D(点O与点D不重合)，若
OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
解析 因为CO与AB交于点D，
所以O，C，D三点共线，
所以OC与OD共线，
设OC＝mOD，则m>1，
因为OC＝λOA＋μOB，
所以mOD＝λOA＋μOB，
可得OD＝OA＋OB，
因为A，B，D三点共线，
所以＋＝1，可得λ＋μ＝m>1，
所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．
