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4.3 角
角的概念
1．角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，
这两条射线是角的两条边．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分
是角的内部．
2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意：
用数字或小
写希腊字母表示
角时，要在靠近
角的顶点处加上
弧线，且注上阿
拉伯数字或小写
希腊字母．
题型1：角的概念及表示
1.1．下列关于角的说法正确的个数是( )①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③在角一边延长线上取一点D；④角可以
看成由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-1】有如下说法：①直线是一个平角；②如果线段AB＝BC，则B是线段AC的中点；③射线
AB与射线BA表示同一射线；④用一个扩大2倍的放大镜去看一个角，这个角扩大2倍；⑤两点之
间，直线最短；其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1-2】下列角中，能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】如图，图中能用一个大写字母表示的角有几个？分别把它们表示出来．
【变式1-4】如图所示，从一点O出发引射线OA、OB、OC、OD，请你数一数图中有多少个角，并把
它们表示出来．角度制及其计算
注意：
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360
在进行有关度分秒的计算时，要按级进
行，即分别按度、分、秒计算，不够减，
等份，每一份就是1°的角，1°的 为1分，记作“1′”，
不够除的要借位，从高一位借的单位要化
为低位的单位后再进行运算，在相乘或相
加时，当低位得数大于等于60时要向高一
1′的 为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的
位进位．
角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，
1°＝60′，1′＝60″．
题型2：角度制及计算
2.计算：180°﹣34°54′﹣21°33′．
【变式2-1】计算：
（1）25°34′48″﹣15°26′37″
（2）105°18′48″+35.285°．
【变式2-2】计算：
（1）13°29’+78°37‘ （2）62°5’-21°39‘ (3)22°16′×5 （4）42°15′÷5
角的比较：
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得
∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
题型3：角的比较
3.如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（ ）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B
C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定
【变式3-1】如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB与∠MPN的关系是（ ）
A．∠AOB＞∠MPN B．∠AOB＜∠MPN
C．∠AOB＝∠MPN D．∠AOB＝2∠MPN
【变式3-2】如图所示，比较∠α与∠β的大小．
角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是
∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC = ∠AOB．
注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
题型4：角平分线4.如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC=∠BOC B．∠AOC+∠COB=∠AOB
1
C．∠AOB=2∠BOC D．∠AOC= ∠AOB
2
【变式4-1】如图，∠AOB=20°，∠BOC=80°，OE是∠AOC的角平分线，则∠COE的度数为（
）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【变式4-2】如图，∠AOB=68°，OC平分∠AOD且∠COD=15°，则∠BOD的度数为（ ）．
A．28° B．38° C．48° D．53°
题型5：角的和、差、倍、分运算
5.如图，∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，OD平分∠AOB，若∠COD＝15°，求∠AOB的度数.
【变式5-1】如图，∠AOB是平角， ∠AOC=80° ， ∠BOD=30° ，OM、ON外别是∠AOC、∠BOD的平分线，求∠MON的度数.
【变式5-2】如图， OB，OE 是 ∠AOC 内的两条射线， OD 平分 ∠AOB ，
1
∠BOE= ∠EOC ，若 ∠DOE=55° ， ∠AOC=150° ，求 ∠EOC 的度数.
2
方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线
OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
注意：
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察
点的正东、正西、正南、正北的方向；
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
题型6：方位角及应用
6.如图，甲、乙两艘轮船从港口O出发，当分别行驶到A，B处时，经测量，甲船位于港口的北偏
东34°方向上，乙船位于港口的北偏西41°方向上，则∠AOB度数为（ ）A．65° B．75° C．85° D．105°
【变式6-1】某测绘兴趣小组用测绘装置对一建筑的位置进行测量，测量前指针指向北偏东38°，测量
1
后指针顺时针旋转了 周，则此时指针指向为（ ）
4
A．北偏西52° B．南偏东52° C．西偏南42° D．东偏北42°
【变式6-2】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°，若∠AOC=∠AOB，求OC的方
向.
钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，
时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
题型7：钟表的夹角问题
7.钟表在8点30 分时，时钟上的时针与分针之间的夹角为( )
A．60 B．70 C．75 D．85
【变式7-1】小明晚上放学到家时，钟表的时间显示为6点15分（如图），此时时钟的分针与时针所
成角的度数是（ ）A．90° B．92.5° C．97.5° D．102.5°
【变式7-2】已知时钟在5点到6点之间，分析时钟的时针与分针成直角时的时间可能是几点几分？
题型8：角的个数探究
8.如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，
则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内
画20条射线时，则图中角的个数是（ ）
A．190 B．380 C．231 D．462
【变式8-1】（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有 个不同的角；
（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有 个不同的角；
（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有 个不同的角；
（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角；
（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角．
【变式8-2】如图所示，从一点O出发，引两条射线可以得到一个角，引三条射线可以得到三个角，引四
条射线可以得到六个角，引五条射线可以得到十个角，如果从一点出发引n（n为大于等于2的整数）
条射线，则会得到多少个角？如果n＝8时，检验你所得的结论是否正确．余角和补角
1. 定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的
余角．类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补
角．
2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．
注意：
（1）互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无
关．
（2）一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补
角比它的余角大90°。
题型9：余角和补角及计算
9.若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：①∠3−∠2=90°；②
∠3+∠2=270°−2∠1；③∠3−∠1=2∠2；④∠3<∠1+∠2．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式9-1】如图，O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的
角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？
【变式9-2】如图所示，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°．（1）求∠AOB的度数；
（2）过点O作射线OD，使得∠AOC＝4∠AOD，请你求出∠COD的度数．
【变式9-3】如图， ∠AOB=40° ， OB 是 ∠AOC 的平分线， OD 是 ∠COE 的平分线.
（1）若 ∠DOE=10° ，求 ∠BOD 的度数；
（2）若 ∠AOD 与 ∠BOD 互补，求 ∠COE 的度数.
题型9：三角板问题
10.用一副三角板画角，不能画出的角的度数是（ ）度．
A．15 B．20 C．75 D．120
【变式10-1】如图，将一个三角板 60° 角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合， ∠1=28°，∠2
的大小是（ ）
A．28° B．32° C．58° D．62°
【变式10-2】18．如图，直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，
OE平分∠AOD．
（1）如图1，若∠COE=20°，则∠BOD= ；若∠COE=α，则∠BOD= （用含
α的代数式表示）；（2）将图1中三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，试猜测∠COE与∠BOD之间有怎样的数量
关系，并说明理由．
一、单选题
1．如图，甲从O点出发向北偏东65°方向走到点B，乙从点O出发向南偏西15°方向走到点C，则
∠BOC 的度数是（ ）．
A．165° B．125° C．135° D．130°
2．如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最正确的是( )
A．在距离学校300米处 B．在学校的西北方向
C．在西北方向300米处 D．在学校西北方向300米处
3．如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使 ∠α 和 ∠β 互余的摆放方式是( )
A． B．
C． D．
4．用一副三角板可以画出的最大锐角的度数是（ ）A．85° B．75° C．60° D．45°
5．如图，∠1＝115°，∠AOB＝90°，点C，O，D在同一条直线上，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．65°
二、填空题
6．计算：58°35′＋67°45′= .
7．如图， A、O、D 在一条直线上，且 ∠AOB:∠BOD=2:7 ，若 BO⊥CO ， OE 平分
∠AOB ，则 ∠COE 的度数为 .
8．如果一个角的余角等于它本身，那么这个角的补角等于 度.
9．一个角是70°39′，则它的余角的度数是 ．
10．从A沿北偏东60°的方向行驶到B，再从B沿南偏西20°的方向行驶到C，则∠ABC=
度．
三、计算题
11．计算：
（1）53°28′+47°32′
（2）17°50′﹣3°27′
（3）15°24′×5；
（4）31°42′÷5（精确到1″）
四、解答题
12．如图，已知直线CD、EF相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，∠BOE=2∠AOE,求∠BOD
的大小.13．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一点，过点P作PE⊥AD交直线BC于
点E．当∠ABC=35°，∠ACB=85°时，求∠DEP的度数．
五、综合题
14．如图，已知OM平分 ∠AOC，ON 平分 ∠BOC，∠AOB=90∘，∠BOC=30∘ ．
求：
（1）∠AOC 的度数；
（2）∠MON 的度数．
15．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°．
（1）若∠AOC=∠AOB，求OC的方向；
（2）OD是OB的反向延长线，求OD的方向；
（3）∠BOD可看作是OB绕点O顺时针方向旋转至OD，作∠BOD的平分线OE，求OE的方向．
