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5．1 相交线
5．1.1 相交线
1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认；(重点)
2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程；(重点、难点)
3．通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力．
一、情境导入
同学们，你们看这座宏伟的大桥，它的两端有很多斜拉的平行钢索，桥的侧面有许多相
交钢索组成的图案；围棋棋盘的纵线相互平行，横线相互平行，纵线和横线相交．这些都给我
们以相交线、平行线的形象．在我们生活中，蕴涵着大量的相交线和平行线．那么两条直线相
交形成哪些角？这些角又有什么特征？
二、合作探究
探究点一：对顶角和邻补角的概念
【类型一】 对顶角的识别
下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是( )
解析：观察∠1与∠2的位置特征，只有C中∠1和∠2同时满足有公共顶点，且∠1的两
边是∠2的两边的反向延长线．故选C.
方法总结：判断对顶角只看两点：①有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两
边的反向延长线．
【类型二】 邻补角的识别
如图所示，直线AB和CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是________．
第 1 页 共 3 页解析：根据邻补角的概念判断：有一个公共顶点、一条公共边，另一边互为延长线．∠1
和∠2、∠1和∠4都满足有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为延长线，故为邻补角．故
答案为∠2和∠4.
方法总结：邻补角的定义包含了两层含义：相邻且互补．但需要注意的是：互为邻补角的
两个角一定互补，但互补的角不一定是邻补角．
探究点二：对顶角的性质
【类型一】 利用对顶角 的性质求角的度数
如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度数．
解析：根据对顶角的性质，可得∠AOC与∠BOD的关系，根据OA平分∠COE，可得
∠COE与∠AOC的关系，根据邻补角的性质，可得答案．
解：由对顶角相等得∠AOC＝∠BOD＝42°.∵OA平分∠COE，∴∠COE＝2∠AOC＝84°.
由邻补角的性质得∠DOE＝180°－∠COE＝180°－84°＝96°.
方法总结：解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角，根据两种角的性质找出
已知角和未知角之间的数量关系．
【类型二】 结合方程思想求角度
如图，直线AC，EF相交于点O，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠BOE
＝∠EOC，∠DOE＝72°，求∠AOF的度数．
解析：因为已知量与未知量的关系较复杂，所以想到列方程解答，根据观察可设∠BOE
＝x，则∠AOF＝∠EOC＝2x，然后根据对顶角和邻补角找到等量关系，列方程．
解：设∠BOE＝x，则∠AOF＝∠EOC＝2x.∵∠AOB与∠BOC互为邻补角，∴∠AOB＝
180°－3x.∵OD平分∠AOB，∴∠DOB＝∠AOB＝90°－x.∵∠DOE＝72°，∴90°－x＋x＝
72°，解得x＝36°.∴∠AOF＝2x＝72°.
方法总结：在相交线中求角的度数时，就要考虑使用对顶角相等或邻补角互补．若已知
关系较复杂，比如出现比例或倍分关系时，可列方程解决角度问题．
【类型三】 应用对顶角的性质解决实际问题
如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？请你
写出测量方法，并说明几何道理．
第 2 页 共 3 页解析：可以利用对顶角相等的性质，把∠AOB转化到另外一个角上．
解：反向延长射线OB到E，反向延长射线OA到F，则∠EOF和∠AOB是对顶角，所以
可以测量出∠EOF的度数，∠EOF的度数就是∠AOB的度数．
方法总结：解决此类问题的关键是根据对顶角的性质把不能测量的角进行转化．
探究点三：与对顶角有关的探究问题
我们知道：两直线交于一点，对顶角有2对；三条直线交于一点，对顶角有6对；四
条直线交于一点，对顶角有12对……
(1)10条直线交于一点，对顶角有________对；
(2)n(n≥2)条直线交于一点，对顶角有________对．
解析：(1)仔细观察计算对顶角对数的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，得
出结论，代入数据求解．如图①，两条直线交于一点，图中共有＝2对对顶角；如图②，三条直
线交于一点，图中共有＝6对对顶角；如图③，四条直线交于一点，图中共有＝12对对顶
角……按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有＝90(对)．故答案为90；
(2)利用(1)中规律得出答案即可．由(1)得n(n≥2)条直线交于一点，对顶角的对数为＝n(n
－1)．故答案为n(n－1)．
方法总结：解决探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化
规律，发现数据的变化特征．
三、板书设计
两条直线相交求角的大小
本节课通过对学生身边熟悉的事物引入，让学生感受到生活中处处有数学，数学与我们
的生活密不可分；学生经历合作探究过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题．
这样教学更能激发学生学习数学的兴趣，提升学生的能力，促进学生的发展
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