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培优点 8 等和(高)线定理与奔驰定理
1．等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若OP＝λOA＋
μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得
OP′＝kOP，则OP′＝kOP＝kλOA＋kμOB，又OP′＝xOA＋yOB(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝
k；反之也成立．
(2)平面内一组基底OA，OB及任一向量OP′，OP′＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点P′在直线
AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线
AB平行的直线称为等和(高)线．
①当等和线恰为直线AB时，k＝1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
④当等和线过O点时，k＝0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k，k 互为相反数；
1 2
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
2．奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，则有S ·PA＋S ·PB＋S ·PC＝0．
△PBC △PAC △PAB
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”．这个定
理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，
有着决定性的基石作用．
题型一 利用等和线求基底系数和的值
例1 如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若BE＝
λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于( )
A．1 B. C. D.思维升华 利用等和线求基底系数和的步骤
(1)确定值为1的等和线；
(2)平移该线，作出满足条件的等和线；
(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值．
跟踪训练1 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λAB＋
1
λAC(λ，λ 为实数)，则λ＋λ＝________.
2 1 2 1 2
题型二 利用等和线求基底系数和的最值(范围)
例2 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 O，P为圆O上任一点，若AP＝xAB＋
yAC，则2x＋2y的最大值为( )
A. B．2 C. D．1
跟踪训练2 在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为AB上的一个动点，若OC＝xOA＋yOB，则
3x＋y的取值范围是________．
题型三 奔驰定理
例3 已知O是△ABC内部一点，满足OA＋2OB＋mOC＝0，且＝，则实数m等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
跟踪训练 3 已知点 A，B，C，P 在同一平面内，PQ＝PA，QR＝QB，RP＝RC，则
S ∶S 等于( )
△ABC △PBC
A．14∶3 B．19∶4
C．24∶5 D．29∶6
1．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若CD＝CA＋λCB，则λ等于( )
A. B. C．－ D．－
2．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m，使得AB＋AC＝mAM，则m
等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值
为( )
A. B. C. D．14．点P在△ABC内部，满足PA＋2PB＋3PC＝0，则S ∶S 为( )
△ABC △APC
A．2∶1 B．3∶2 C．3∶1 D．5∶3
5.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABDC内的任一点(含边界)，且AP＝
λAB＋μAC，则λ＋μ的取值范围是( )
A．[0,1] B．[0,2]
C．[0,3] D．[0,4]
6．已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点，且∠AOB＝120°，若OC＝λOA＋μOB(λ，
μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．[－2,2] B．(1，]
C．[1，] D．[1,2]
7.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设AB＝a，
AC＝b，向量AO＝λa＋μb，则λ＋μ的值为________．
8．已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有OA＋OB＋2OC＝0，则△AOC的面积为
________．
9．设点O在△ABC的内部，且AB＝4OB＋5OC，则S 与S 之比是________．
△OAB △OBC
10．在正六边形 ABCDEF中，P是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP＝αAB＋βAF(α，
β∈R)，则α＋β的取值范围是________________．
