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第 5 章 相交线与平行线
5.1.2垂线
一、温故知新（导）
1、两条直线相交形成几个角？这些角之间有什么关系？
2、如上图，若∠1=50° ，则求∠2= 13 0 0 ，∠3= 5 0 0 ，∠4= 13 0 0 .
3、观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1.理解垂线的有关概念、性质及画法；
2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用其解决问题.
学习重难点
重点：垂线段最短的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用.
难点：对点到直线的距离的概念的理解.
二、自我挑战（思）1、在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a、b所成的角∠α也会发生变
化.
2、如图，直线AB与CD相交于点O，当直线AB与CD 的夹角∠BOC=90°时 ，这两条直线有怎样
特殊的位置关系呢？
当两条直线AB、CD相交所成的四个角中有一个角是 直角 时，就说直线AB、CD互相 垂直 .
AB与CD的交点O叫做 垂足 .
记作：AB⊥CD于点O，读作：AB垂直于CD于点O，“⊥”是垂直符号，“ ┐”是直角符号
3、想一想：（1）互相垂直的两条直线其夹角是多少度？
垂直的性质
∵AB⊥CD(已知)
∴∠AOC=90°(垂直的定义)
（2）怎样判定两条直线是否垂直？垂线的判定
∵∠AOC=90°(已知)
∴AB⊥CD(垂直的定义)
4、用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
能画无数条
5、过直线 l 上一点 A 画直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
有且只有一条
总结：垂线的画法：
一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上；
二移：移动三角尺使已知点落在它的另一条直角边上；
三画：沿着这条直角边画线.
6、过直线 l 外一点 B 画直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
有且只有一条
结论：在同一平面内，过一点 有且只有 一条直线与已知直线垂直.
7、比较线段PO，PA，PA，PA 的长短，这些线段中，哪一条最短？
1 2 3
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做 垂线段 .
结论：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段 最短.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的 距离 .如图，点 P 到直线 l 的距离
为线段 PO 的长度.
三、互动质疑（议、展）
1、要把河中的水引到农田 P 处，如何挖渠能使渠道最短?
垂线段最短.
2、实例：
例 如图，直线 AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠AOD=125°，求∠COE的度数.
解：∵∠AOD=125°
又∵∠COB=∠AOD
∴∠COB=125°
∵OE⊥AB
∴∠EOB=90°
∵∠COE=∠COB－∠EOB
∴∠COE=125°－90°=35°.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、如图，某地进行城市规划，在一条新修公路 MN旁有一村庄P，现要建一个汽车站，且有
A，B，C，D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则选择在点 C处建汽车站的依
据是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线C．点到直线的距离 D．垂线段最短
1、解：根据题意得：要使汽车站离村庄最近，则选择在点 C处建汽车站的依据是垂线段最短．
故选：D．
2、下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（ ）
A． B． C． D．
2、解：由题意得PQ⊥a,
点P到直线a的距离是垂线段PQ的长．
故选：C．
3、如图，∠1=20°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
3、解：由题意可得：∠1+∠2=90°，
∵∠1=20°，
∴∠2=90°-20°=70°．
故选：C．
4、如图，O为直线AB上一点，OE平分∠BOC，OD⊥OE于点O，若∠BOC=80°，则∠AOD
的度数是 ．
4、解：∵OD⊥OE于点O，
∴∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=90°，
∵OE平分∠BOC，∠BOC=80°，
∴∠BOE=40°，
∴∠AOD=50°．
故答案为：50°．
5、如图，点O是直线AB上一点，OC是一条射线，且∠BOC=148°，若过点O作射线OD，
使OD⊥OC，则∠AOD的度数为 ．5、解：当点D在AB下方时，如图中D ，
1
∵∠BOC=148°，
∴∠AOC=180°-148°=32°，
∵OD⊥OC，
∴∠AOD=90°-32°=58°，
当点D在AB上方时，如图中D ，
2
∵∠BOC=148°，
∴∠AOC=180°-148°=32°，
∵OD⊥OC，
∴∠AOD=90°+32°=122°，
故答案为：122°或58°．
6、如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOD=35°，OE⊥AB．求∠BOC与∠COE的度数．
6、解：∵∠BOD=35°，
∴∠BOC=180°-∠BOD=145°，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE=90°，
∴∠COE=∠BOC-∠BOE=145°-90°=55°．
六、用
（一）必做题
1、如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠 BC，为了节约用料，铺设垂直于
排水渠的管道AP．这种铺设方法蕴含的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．过一点可以作无数条直线 D．两点之间，线段最短
1、解：为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道 AP．这种铺设方法蕴含的数学原理是垂线
段最短．
故选：B．
2、下列说法错误的个数（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的
距离；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、解：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，不合题意；
②平面内，互相垂直的两条直线一定相交，故正确，不合题意；
③有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故错误，符合题意；
④直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故错误，符合题意；
∴错误的个数为2个，
故选：B．
3、如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，若∠BOD=40°，则∠AOE的大小
为（ ）
A．50° B．120° C．130° D．140°
3、解：∵OE⊥CD，
∴∠BOD+∠BOE=90°，
∵∠BOD=40°，
∴∠BOE=90°-∠BOD=50°，
∵∠BOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-50°=130°．
故选：C．
4、如图，直线AB与直线EF相交，交点为O，CD⊥AB，OG平分∠EOB，若∠AOF=60°，则
∠DOG的度数为 ．
4、解：∵CD⊥AB，
∴∠BOD=90°，
∵∠AOF=60°，
∴∠BOE=∠AOF=60°，
∵OG平分∠BOE，
1
∴∠BOG= ∠BOE=30°，
2
∴∠DOG=∠BOG+∠BOD=30°+90°=120°．
故答案为：120°．
5、已知点O在直线AB上，以点O为端点的两条射线OC、OD互相垂直，若∠AOC=40°，则
∠BOD的度数是 ．
5、解：∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°，
如图1，
∵∠AOC=40°，
∴∠BOD=180°-90°-40°=50°，
如图2，
∵∠AOC=40°，
∴∠AOD=90°-40°=50°，
∴∠BOD=180°-50°=130°，
综上所述：∠BOD的度数是50°或130°．
故答案为：50°或130°．
（二）选做题
6、给下面命题的说理过程填写依据．
已知：如图，O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE 是∠COB的平分线．对
OD⊥OE说明理由．
1
理由：因为∠DOC= ∠AOC（ ）
2
1
∠COE= ∠COB（ ）
2
1 1 1
所以∠DOC+∠COE= ∠AOC+ ∠COB= （∠AOC+∠COB）（ ）
2 2 2
1 1
所以∠DOE= ∠AOB= ×°=90°（两角和的定义）
2 2
所以OD⊥OE（ ）．
6、解：根据题意，可知前两个空分别为角平分线的定义，第三个空是利用上面等式右边的代
入计算，故属于等量代换，第四个空属于垂直的定义．
故答案为：角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，垂直的定义．
7、如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1=40°，∠2=30°，求∠NOD的度数；
（2）如果ON与CD互相垂直，那么∠1=∠2吗？请说明理由．
7、解：（1）∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°，
∵∠1=40°，∴∠AOC=∠AOM-∠1=90°-40°=50°，
∴∠NOD=180°-∠AOC-∠2=180°-50°-30°=100°；
（2）∠1=∠2，理由如下：
如果ON与CD互相垂直，
则∠CON=90°，
∴∠COA+∠2=90°，
∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°，
∴∠COA+∠1=90°，
∴∠1=∠2．
