文档内容
人教版初中数学七年级下册
5.1.2 垂线 教学设计
一、教学目标：
1.理解垂线的有关概念、性质及画法；
2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用其解决问题.
二、教学重、难点：
重点：垂线段最短的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用.
难点：对点到直线的距离的概念的理解.
三、教学过程：
情境引入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？
知识精讲
在相交线的模型中，固定木条 a ，转动木条 b.当 b的位置变化时，a、b 所成的角
∠α也会发生变化.
当∠α=90°时，我们说 a 与 b互相垂直，记作 a⊥b.
当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角，我们就说这两条直线互相垂直.其中一条直
线叫做另一条直线的垂线；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.如上图，直线AB与直线CD垂直，记作：AB⊥CD，垂足是O；
直线 m 与直线 n 垂直，记作：m⊥n；
“⊥”是“垂直”的记号，读作“垂直于”；
而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记.
垂直的定义有以下两层含义：
1.∵AB⊥CD (已知) 2.∵∠1=90°(已知)
∴∠1=90°(垂直的定义) ∴AB⊥CD (垂直的定义)
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下图中的一些互相垂直的木条.
你能再举出其他例子吗？
做一做
1.你能借助三角尺画出两条互相垂直的直线吗？
2.如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
3.利用下面的方法可以折出互相垂直的线，你试试看!探究：
1.用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
2.经过直线 l 上一点A画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
3.经过直线 l 外一点B画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线. 即
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
典例解析
例1.如图所示，P是∠AOB的边OB上一点.
(1)过点P画OB的垂线，交OA于点C;(2)过点P画OA的垂线，垂足为H.
解: (1)直线PC为所求; (2)直线PH为所求.
【针对练习】画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线.如图，请你过点P画出
线段AB或射线AB的垂线.知识精讲
思考：如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处如何挖渠能使渠道最短？
探究：如图，连接直线 l 外一点P与直线 l 上各点O，A ，A ，A ，A ，A ，…，其中PO⊥l
1 2 3 4 5
(我们称PO为点P到直线 l 的垂线段).比较线段PO，PA ，PA ，PA ，PA ，PA ，…的长短，
1 2 3 4 5
这些线段中，哪一条最短？
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
现在，你知道水渠该怎么挖了吗？在书中图5.1-8中画出来，如果图中比例尺为1:100000，
水渠大约要挖多长？则：沿着垂线段PH挖渠能使渠道最短.
我们如何测量立定跳远的成绩？
典例解析
例2.如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线
段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【针对练习】1.如图，AB⊥AC于A，AD⊥BC于D，DE⊥AC于E，下列说法错误的是（ ）
A．点A到BC的距离是AD的长度 B．点B到AD的距离是BD的长度
C．点C到AD的距离是DE的长度 D．点B到AC的距离是AB的长度
2.已知点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则
点P到直线m的距离为( )
A．4cm B．5cm C．小于2cm D．不大于2cm例3.如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和
∠NOC的度数．
解：∵∠BOE＝∠NOE，
∴∠BON＝2∠EON＝40°，
∴∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
∵AO⊥BC，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，
∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
【针对练习】如图，AB交CD于O，OE⊥AB．若∠AOC:∠BOC=1:2，求∠EOD的度数．
解：∵∠AOC:∠BOC=1:2，∠AOB=180°，
1
∴∠AOC= ∠AOB=60°，
3
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∴∠DOE=180°−90°−60°=30°．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。达标检测
1.下列说法正确的有( )
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;
③在平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;
④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图(2)，OA⊥OB， 若∠1=40°，则∠2的度数是( )
A. 20° B.40° C.50° D. 60°
3.如图(3)，直线l 与l 相交于点O，OM⊥l ,若∠α=44°，则∠β等于( )
1 2 1
A. 56° B.46° C.45° D.44°
4.已知点A，与点A的距离是5cm的线段可画( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条
5.如图，ON⊥l,OM⊥l，则OM与ON重合的理由是( )
A.过两点只有一条直线
B.经过一点只有一条直线垂直于已知直线
C.在同一平面内，过一点只能作一条已知直线的垂线
D.垂线段最短
6.如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，则点O到PR所在直线的距离,可用哪条线段的长来表示( )
A. PO B. RO C.OQ D. PQ7.看图(1)填空:(1)直线AD与直线CD相交于点____;(2)___⊥AD,垂足为点____;AC⊥____，
垂足为点____.
8.如图(2)，当∠1和∠2满足______________时，能使OA⊥OB(只需填一个条件即可).
9.如图(3)，直线AB, CD相交于点O,若∠EOD=40°，∠BOC=130°，那么射线OE与直线AB的
位置关系是____________.
10.如图，点M、N分别在直线AB、CD上,MF⊥CD.
(1)点M和点N的距离是线段______的长;
(2)M点到CD的距离是线段______的长.
11.如图，三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,DE⊥BC.
(1)点A到直线BC的距离是线段______的长度;
(2)点B到直线AC的距离是线段______的长度;
(3)点D到直线BC的距离是线段______的长度;
(4)线段AD的长度是点____到直线_______的距离.12.如图,在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便(即距离最
近)，请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由.
13.如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边
钓鱼，怎样走路行程最短，请画出行走路径，并说明理由.
14.如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD,OF⊥AB，求∠BOE和∠AOC的度数.
15.如图，已知直线 AB、CD、EO相交于O点，∠EOF=31°， ∠AOC=28°， OF平分∠DOE，
则OE,OB是什么位置关系?请说明理由?【参考答案】
1. B
2. C
3. B
4. D
5. C
6. C
7. (1)D;(2)BE,E,CD,C
8. ∠1+∠2=90°
9. OE⊥AB
10. MN,MF
11. AB,BD,DE,A,BD
12.解:过点P作PQ⊥l,垂足为Q，则点Q为所求作的点.理由:垂线段最短.
13.解:连接AB，过点B作BC⊥l，垂足为C，则AB+BC的行程最短.
理由:两点之间线段最短及垂线段最短.14. 解:∵OF⊥AB，OE⊥CD (已知)
∴∠BOF=∠DOE=90°(垂直定义)
∴∠BOD=∠BOF-∠DOF=90°-65°=25°
∴∠BOE=∠DOE-∠BOD=9O°-25°=65。
∴∠AOC=∠BOD=25°(对顶角相等)
15. 解:OE⊥OB.理由如下:
∵OF平分∠DOE
∴∠DOF=∠EOF=31° (角平分线定义)
∵∠BOD=∠AOC=28°(对顶角相等)
∴∠EOB=∠EOF+∠DOF+∠BOD=31°+31°+28=90°
∴OE⊥OB (垂直定义)
四、教学反思：
本节课主要研究两条直线相交时的特殊情况—垂直，可类比前面两条直线相交时的一般情况
学习新知识. 经历合作探究过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题. 这样教学
更能激发学生学习数学的兴趣，使每个学生在数学的学习上都能得到不同的发展. 从本节课
的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，在教师指导下的
自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用. 课堂拓展
了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度.
