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备战2024年高考阶段性检测名校重组卷（新高考）
数 列
本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．（2023·浙江杭州·统考二模）在数列 中，“数列 是等比数列”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用等比数列的性质及充分不必要条件的定义即可判断，
【详解】数列 是等比数列，得 ，
若数列 中 ，则数列 不一定是等比数列，如数列 ，
所以反之不成立，则“数列 是等比数列”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A.
2．（2023•江西一模）已知等差数列 的前 项和 ，若 ，则
A．150 B．160
C．170 D．与 和公差有关
【答案】B
【分析】根据题意，由等差数列的性质可得 ，由此计算可得
答案．
【 详 解 】 解 ： 根 据 题 意 ， 等 差 数 列 中 ， 若 ， 则
，
故 ．
故选B．
3．（2023•吉林一模）已知 为等比数列， 是它的前 项和，若 ，且 与
的等差中项为 ，则 等于
A．35 B． C． D．【答案】C
【分析】设等比数列的公比为 ，由已知可得首项和公比的方程，解得首项和公比，再
由等比数列的求和公式求解．
【详解】解：设等比数列 的公比设为 ，
由 ，且 与 的等差中项为 ，可得 ， ，
解得 ， ，
则 ．
故选C．
4．（2023·山东菏泽·统考一模）2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月
球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了
一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米
的纸对折 次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数 是（ ）（
， ）
A. 40 B. 41 C. 42 D. 43
【答案】C
【解析】
【分析】
设对折 次时，纸的厚度为 ，则 是以 为首项，公比为 的等比数列，
求出 的通项，解不等式 即可求解
【详解】设对折 次时，纸的厚度为 ，每次对折厚度变为原来的 倍，
由题意知 是以 为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，
令 ，
即 ，所以 ，即 ，
解得： ，
所以至少对折的次数 是 ，
故选：C
5.（贵州凯里一中2023届高三三模）正项等比数列 的前n项积为 ，且满足 ，，则下列判断错误的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D．
【答案】D
【分析】先根据题干条件判断出 ，然后结合等比数列的性质逐一分析每个选项.
【详解】由 知： 或 ，若 ，
此时 ，但与 矛盾，
故 ，故 ，故A正确，
根据等比中项可得， ，B正确；
由于 ，显然C正确，
，D错误．
故选：D
6．（2023春·吉林通化二模）数列 的前n项和为 ，对一切正整数n，点 在函数
的图象上， （ 且 ），则数列 的前n项和为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知 ①，
当 时， ，
当 时， ②，
①-②，得 ，
若 ， ，符合题意，
所以 ，则 ，
所以 ，
则.
故选：D.
7．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ，
则 （ ）
A． B．2n C． D．
【答案】D
【解析】令 ，
由 可得： ，
两式作差可得： ，
化简整理可得： ，
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ，进而可得： ．
故选：D．
8.（2023•福建一模）任意写出一个正整数 ，并且按照以下的规律进行变换：如果 是
个奇数，则下一步变成 ，如果 是个偶数，则下一步变成 ，无论 是怎样一
个数字，最终必进入循环圈 ，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．它可
以表示为数列 为正整数）， 若 ，则 的
所有可能取值之和为
A．188 B．190 C．192 D．201
【答案】B
【分析】根据“冰雹猜想”，一一列举出所有可能的情况即可．
【详解】解：由题意， 的可能情况有：
① ：② ；
③ ：④
⑤ ：⑥ ．
． 的所有可能取值为2，16，20，3，128，21，所有可能取值的和为190．
故选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.（2023·福建·统考一模）记正项等比数列{a }的前n项和为S ，则下列数列为等比数列的
n n
有（ ）
{S }
A．{a +a } B．{a a } C． n D．{S S }
n+1 n n+1 n a n n+1
n
【答案】AB
【分析】根据等比数列的定义和前n项公式和逐项分析判断.
【详解】由题意可得：等比数列{a }的首项a >0，公比q>0，即a >0,S >0，
n 1 n n
a +a (a +a )q
对A：a +a >0，且 n+2 n+1= n+1 n =q，即{a +a }为等比数列，A正确；
n+1 n a +a a +a n+1 n
n+1 n n+1 n
a a a
对B：a a >0，且 n+2 n+1= n+2=q2 ，即{a a }为等比数列，B正确；
n+1 n a a a n+1 n
n+1 n n
∵S =¿，则有：
n
S
n+1
a a S 1 S {S }
对C： n+1 = n n+1= n+1=¿，均不为定值，即 n 不是等比数列，C错误；
S a S q S a
n n+1 n n n
a
n
S S S
对D： n+1 n+2= n+2=¿，均不为定值，即{S S }不是等比数列，D错误；
S S S n n+1
n n+1 n
故选：AB.
10．（辽宁省部分学校2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学试题）南宋数学家
杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角
垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数
列 ，且 ，数列 的前n项和为 ，则正确的选项是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】运用累和法、裂项相消法，结合等差数列的前n项和公式逐一判断即可.
【详解】由题意可知： ，于是有 ，显然可得： ， ，因此选项A不正确，选项B正确；
当 时，
，
显然 适合上式， ，因此选项D不正确；
，
，因此选项C正确，
故选：BC
11.（2023·山东枣庄·统考二模）已知 为等差数列，前n项和为 ， ，公差
，则（ ）
A．
B．当 戓6时， 取得最小值为30
C．数列 的前10项和为50
D．当 时， 与数列 共有671项互为相反数．
【答案】AC
【解析】因为等差数列 ，且 ，公差 ，
所以 ，
，
所以 ， ，
所以选项A正确；
因为 ，
根据二次函数的对称性及开口向下可知：
取得最大值为 ，故选项B错误；
记 的前10项和为 ，
因为 ，当 时，解得 ，
当 时，解得 ，所以
，
因为 ，所以 ，
所以 ，故选项C正确；
记 ，因为 ， ，
所以 ，所以当 时， ，
由 ， ，可知 为偶数，
若 与 互为相反数，则 ，且 为偶数，
由 ，所以 为偶数，即 为偶数，即 为偶数，
即 ，即 ，且 为偶数，所以 ，且为偶数，
故这样的 有670个，故选项D错误.
故选：AC
12.（2023·浙江·校联考二模）定义：若存在正实数M使 ，则称正数列
为有界正数列．已知数列 满足 ， 为数列 的前n项和．则（ ）
A．数列 为递增数列 B．数列 为递增数列
C．数列 为有界正数列 D．数列 为有界正数列
【答案】BC
【分析】对于A，设 ，求导后放缩为 ，从而可知当 时，
单调递减，即可判断；对于B，由 可知数列 为递增数列，即可判
断；对于C，由A分析，即可判断；对于D，借助不等式 ，从而可得
，即可得到
，从而可判断.
【详解】对于A，设 ， ，当 时， ，则 ，
所以当 时， ，则当 时， ，
所以当 时， 单调递减，A错误；
对于B，因为 ，所以数列 为递增数列，B正确；
对于C，由A分析可知，当正实数M为前6项的最大项时，就有 ，所以数
列 为有界正数列，C正确；
对于D，令 ，则 ，
所以当 时， ，即 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
由 ，
所以 ，D错误.
故选：BC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·河北唐山·统考三模）设 为等比数列 的前 项和， ， ，则
__________.
【答案】 /0.875
【详解】设等比数列 的公比为 ，
由 ，得 ，则 ，
由等比数列求和公式可知 ．
故答案为： ．
14．（江苏省七市2023届高三三模数学试题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a≠0，a
1 1
＋a＝3a，则 _____．
5 2【答案】 /
【分析】由 ，得到 与 的关系，再利用等差数列的前n项和公式和通项公式
求解.
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
．
故答案为：
15.（2023·山东聊城·统考一模）记 为不大于实数 的最大整数，已知数列 的通项
公式为 ，则 的前2023项的和 ______．
【答案】4962
【解析】
【分析】根据定义表示出 由此计算出 ；
【详解】根据题意知：
；
故答案为：4962
16．（2023·辽宁大连·统考三模）定义：对于各项均为整数的数列 ，如果 ( =1，
2，3，…)为完全平方数，则称数列 具有“ 性质”；不论数列 是否具有“ 性
质”，如果存在数列 与 不是同一数列，且 满足下面两个条件：
（1） 是 的一个排列；
（2）数列 具有“ 性质”，则称数列 具有“变换 性质”.给出下面三个数列：①数列 的前 项和 ；
②数列 ：1，2，3，4，5；
③数列 ：1，2，3，4，5，6.
具有“ 性质”的为________；具有“变换 性质”的为_________.
【答案】 ① ②
【详解】解：对于①，当 时，
，
，2，3， 为完全平方数
数列 具有“ 性质”；
对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换 性质”，数列 为3，2，1，5，4，具有“
性质”， 数列 具有“变换 性质”；
对于③， ，1都只有与3的和才能构成完全平方数， ，2，3，4，5，6，不具有“变
换 性质”．
故答案为：①；②．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
17．（湖北省武汉市2023届高三下学期四月调研）记数列 的前n项和为 ，对任意
，有 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若当且仅当 时， 取得最大值，求 的取值范围．
【详解】（1）因为 ①，则 ②
①－②可得
，
故 为等差数列．
（2）若当且仅当 时， 取得最大值，
则有 ,得 则 ， ，
故 的取值范围为 ．
18．（2023·山东烟台·统考一模）已知等比数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用 ， ， 成等差数列以及 求出首项和公比，再利用
等比数列的通项公式写出即可；
（2）由（1）将数列 的通项公式代入 中化简，再利用错位相减法求
和即可.
【小问1详解】
设数列 的公比为 ，
因为 ， ， 成等差数列，
所以 ，
即 ，
解得 或 ，
因为 各项均为正数，
所以 ，
所以 ，
由 ，
得 ，
解得 ，
所以 .
【小问2详解】
由（1）知， ，
则 ，所以 ，
两式相减可得 ，
整理可得 ．
19．（南京二模）已知数列 的前 项和为 ， ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： ．
【详解】（1） ，则 ，
整理得到 ，故 ，
故 是常数列，故 ，即 ，
当 时， ，
验证 时满足，故
（2） ，
故
.
20.（2023·浙江·校联考二模）设数列 的前n项和为 ，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 且 ，求数列 的前n项和为 ．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）利用 及等比数列的定义求 的通项公式；（2）讨论 的奇偶性，应用分组求和及等比数列前n项和公式求 .
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
所以 是首项为1，公比为2的等比数列，则 .
（2）由题设知： ， ，
当 为偶数时，
；
当 为奇数时，
；
综上， ， .
21．（浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”2023届高三下学期3月联考数学试题）已知数
列 是以d为公差的等差数列， 为 的前n项和．
(1)若 ，求数列 的通项公式；
(2)若 中的部分项组成的数列 是以 为首项，4为公比的等比数列，且 ，
求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，可得 ，后由等差数列性质可得公差，即可得通项公式；
（2）由题可得 ， .后由 是以d为公差的等差数列， 可得数列
是以 为首项．4为公比的等比数列，可求得数列 的通项公式，后由分组求
和法可得 的前n项和 ．
【详解】（1））因为 ，所以 ，所以 .
所以 .
则数列 的通项公式为 .
（2）因为数列 是以首项为 ，公比为4等比数列.
所以 .
因为数列 是等差数列，所以 .
化简得 .
因为 ，所以 ，即 .
所以 .
因为 ，所以数列 是以 为首项．4为公比的等比数列
所以 .
所以 .
则数列 的前n项和 为： .
22．（2023·浙江温州·统考三模）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列
从上到下成等比数列，且公比均为实数 .
(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)设 ，是否存在实数 ，使 恒成立，若存在，求出 的所有值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；
(2)存在， .
【详解】（1）设 ，第一行从左到右成等差数列的公差为 ，
则 ，
由 ，得 ，即有 ，
于是 ，又 ，解得 ，因此 ， ，
所以 ，即 .
（2）由（1）知，
当 为奇数时，不等式等价于 恒成立，而 恒成立，则
；
当 为偶数时, 不等式等价于 恒成立，而 恒成立，则
，
因此 , 所以存在 ，使得 恒成立.
