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好题精选·同步精练 5.1.2 等式的性质
知识点1 等式的性质
1．运用等式性质进行的变形，下列正确的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【答案】D
【分析】根据等式的性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两
边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．本题主要考查了等式的基本性质，等式
的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不
为0数（或字母），等式仍成立．
【详解】解：A．若 ，则结论正确，故A错误，不符合题意；
B．根据等式的基本性质：等式两边同减一个相等的式或数，等式仍然成立，故B错误，不符合题意；
C．若 ，则结论正确，故C错误，不符合题意；
D．如果 ，那么 ，即 ，故D正确，符合题意；
故选：D．
2．已知等式 ，下列变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质对各选项判断作答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ， ，
∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求；
故选：D．
3．下列等式变形正确的是（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【答案】A
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
根据等式的基本性质，逐项判断，即得．
【详解】解：A、 ，
等号两边都减y加3，
得 ，
故本选项正确，
符合题意；
B、 ，
当 时， ，
故本选项错误，
不符合题意；
C、 ，当 时，
，
故本选项错误，
不符合题意；
D、 ，
两边都乘以2，
得 ，
故本选项错误，
不符合题意．
．
4．下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解
题的关键．
【详解】解： 、∵ ，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为 的数，两边仍
然相等”可得 ，
∴ 正确，不符合题意；
、∵ ，当 时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为 的数，两边仍然相
等”，可得 ；当x=0时， ，可得x=0，∴x=0或 ，
∴ 错误，符合题意；
、∵ ，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得 ，
∴ 正确，不符合题意；
、∵ ，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得 ，
∴ 正确，不符合题意；
故选： ．
知识点2 利用等式的性质解方程
5．在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据是等式的哪一条性质以
及是怎样变形的．
（1）如果 ，那么 ，根据 ；
（2）如果 ，那么 ，根据 ；
（3）如果 ，那么 ，根据 ；
（4）如果 ，那么 ，根据 ．
【答案】 等式的性质2，两边都乘 等式的性质2，两边都乘 ； 6
等式的性质2，两边都乘 3x 等式的性质1，两边都减去3x
【分析】（1）根据等式的性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等即可得
出答案．（2）根据等式的性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等即可得出答案．
（3）根据等式的性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等即可得出答案．
（4）根据等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等，即可得出答案．
【详解】解：（1）如果 ，那么 ，根据等式的性质2，两边都乘 ；
（2）如果 ，那么 ，根据等式的性质2，两边都除以 ；
（3）如果 ，那么 ，等式的性质2，两边都乘 ；
（4）如果 ，那么 ，根据等式的性质1，两边都减去3x．
故答案为： ，等式的性质2，两边都乘 ； ，等式的性质2，两边都乘 ；6，等式的性质2，两
边都乘 ；3x，等式的性质1，两边都减去3x．
【点睛】本题考查等式的基本性质．熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
6．利用等式的性质解方程．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)【分析】（1）根据等式性质1、2求解，再检验即可；
（2）根据等式性质2求解，再检验即可；
（3）根据等式性质1、2求解，再检验即可；
（4）根据等式性质1、2求解，再检验即可．
【详解】（1）解：方程两边加上6得： ，即 ，
方程两边除以4得： ，
则 是方程的解；
（2）解：方程两边除以 得： ，
则 是方程的解；
（3）解：方程两边减去 得： ，即 ，
两边除以5得： ，
则 是方程的解；
（4）解：方程两边减去 得： ，即 ，
则 是方程的解．
【点睛】本题考查运用等式性质解方程，熟练掌握等式性质是解题的关键．
7．下列等式根据等式的变形正确的有（ ）
①若 ，则 ；② 若 ，则 ；③ 若 ，则 ；④ 若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【分析】本题考查等式的基本性质，根据等式的基本性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：若 ，则 ；故①正确；
若 ，且 ，则 ；故②错误；
若 ，则 ，故 ；故③正确；
若 ，因为 ，故 ；故④正确；
故选C．
8．如图，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放（ ）个〇．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了等式性质的应用，设1个 重a，1个〇重b，1个 重c，根据题意，得出
，再利用等式性质求解即可．
【详解】解：设1个 重a，1个〇重b，1个 重c．
根据题意，得 ，
将 的两边同除以3，得 ，
将 代入 ，得 ，
∴ ，
∴“？”处应放2个〇．
．9．用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，
则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（ ）
A．如果 ，那么 B．如果 ，那么
C．如果 ，那么 D．如果 ，那么
【答案】A
【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案．
【详解】解：由图形可得如果 ，那么 ，
．
10．下列说法正确的有（ ）
①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ；⑤若 ，
则 ；⑥若 ，则 ；⑦若 ，则 ．．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性质1：等式的两边
都加或减同一个数或式子，等式仍成立，等式的性质2：等式两边都乘同一个数或式子，等式仍成立，等
式的两边都除以同一个不等于0的数或式子，等式仍成立．根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】解： ，
等式两边都乘 ，得 ，故①正确；
当 时，由 不能推出 ，故②错误；
，等式两边都乘 ，得 ，故③正确；
当 时，由 不能推出 ，故④错误；
不论 为何值， ，
由 能推出 ，故⑤正确；
当 时，由 不能推出 ，故⑥错误；
当 ， 时 ，但 ，故⑦错误；
即正确的个数是3，
11．由 可以得到用x表示y的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等式的性质，恒等变形即可得到答案．
本题考查等式的性质，读懂题意，按要求恒等变形是解决问题的关键．
【详解】解：由 ，得 ，
．
12．若实数 满足 ，则代数式 的值为（ ）．
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】D
【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的
关键．由 可得 ，然后对 进行变形并将 代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选D．
13．下列等式变形：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④
若 ，则 ；⑤若 ，则 ．其中一定正确的是 （填序号）．
【答案】①④⑤
【分析】本题考查的是等式的基本性质，等式两边同时加(减)同一个数(式子)，结果仍相等；等式两边同时
乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意
“同”字，要对等式进行变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质时，等式两边必
须同时进行变形．根据等式的基本性质逐一判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，符合等式性质1，故①符合题意；
∵ ， ，
∴ ，故②不符合题意；
∵ ，
∴ ，故③不符合题意；
∵ ，
∴ ，符合等式性质2，故④符合题意；
∵ ，∴ ，符合等式性质2，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤．
14．有三种不同质量的物体“■”“▲”“●”，其中，同一种物体的质量都相等，将天平的左右托盘中
都放上不同个数的物体，下列四个天平中只有一个天平状态不对，则该天平是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设“■”“▲”“●”的质量分别为：x、y、z，根据图示用等式分别表示出各选项，对比即可得
到答案．
【详解】解：设“■”“▲”“●”的质量分别为：x、y、z，
则：由A可得 ，
由B可得 ，即 ，
由C可得 ，即 ，
由D可得 ，即 ，
只有A与其他选项不一致，
．【点睛】本题考查了列代数式和等式的性质；根据图示正确列等式是解题的关键．
15．有 个球，其中的 球质量相同，另有 个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少 次可以找出
这个较轻的球．
【答案】
【分析】先把 个球平均分成三组，用一次天平可找出有较轻的球的那组，再把球轻的哪个组的 个球，
分成 ， ， 三组，把 个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球；若天平不平衡，可找
出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球，
【详解】解：先把 个球分成 个一组，共三组，任取两组放在天平上，可找出球轻在哪个组；
再把球轻的哪个组的 个球，分成 ， ， 三组，把 个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较
轻的球；
若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球，
故至少 次可以找出这个较轻的球．
故答案为：
【点睛】本题考查了等式的性质，合情推理是解题的关键
16．小明在学习了等式的基本性质后，对等式 进行变形，得出“ ”的错误结论，但他
找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示：
将等式 变形
两边同时加 ，得
（第①步）
两边同时除以 ，得 （第
②步）
(1)第______步等式变形产生错误；
(2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出 的值．
【答案】(1) ；(2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母 时，没有考虑字母 是否为 ； 的值为 ．
【分析】（ ）根据等式的性质可知错误发生在第 步；
（ ）根据等式的基本性质即可解答；
本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．
【详解】（1）解：第 步等式变形产生错误，
故答案为： ；
（2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母 时，没有考虑字母 是否为 ．
正确过程：
两边同时加 ，得 ，
两边同时减 ，得 ，
两边同时除以 ，得 ．
