文档内容
第八周
[周一]
1．(2022·汕头模拟)在①C＝2B；②△ABC的面积为；③sin(B＋C)＝这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，请说明
理由．
问题：是否存在△ABC，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，b＝2，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 若选①，则A＝π－3B，且A1，
此时三角形不存在．
[周二]
2.(2022·深圳模拟)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面
ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l∥平面PAC；
(2)若PC＝AB＝2，点C是 的中点，求二面角E－l－C的正弦值．
(1)证明 因为E，F分别是PA，PC的中点，
所以EF∥AC,
又因为AC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
所以EF∥平面ABC，
又EF⊂平面BEF，平面BEF与平面ABC的交线为l，所以EF∥l,
而l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，
所以l∥平面PAC.
(2)解 如图，因为AB是圆O的直径，点C是 的中点，AB＝2，
所以CA⊥CB，CA＝CB＝，
因为直线PC⊥平面ABC，
所以PC⊥CA，PC⊥CB，以C为原点，直线CA，CB，CP分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则F(0,0,1)，B(0，，0)，E，
所以BF＝(0，－，1)，
BE＝，
设平面EFB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，则x＝0，z＝，
得n＝(0,1，)，
因为直线PC⊥平面ABC，
所以CF＝(0,0,1)为平面ABC的一个法向量，
所以cos〈CF，n〉＝＝＝，
所以二面角E－l－C的正弦值为.
[周三]
3．(2022·聊城模拟)某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了 100位市民进行调查，
结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人
数是“非上班族”人数的；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占.
(1)请根据以上数据填写下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为市民对交通的满
意度与是否为“上班族”有关系？
满意 不满意 总计
上班族
非上班族
总计
(2)为了提高市民对交通状况的满意度，该机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：
抽样的次数不超过n(n∈N*)，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取
的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到n时，抽样结束．
①若n＝5，写出X 的分布列和均值；
5
②请写出X 的均值的表达式(不需证明)，根据你的理解说明X 的均值的实际意义．
n n
附：
P(K2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
0
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
0
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)由题意可得列联表如下：
满意 不满意 总计上班族 15 40 55
非上班族 35 10 45
总计 50 50 100
因为K2＝＝
≈25.253>10.828，
所以有99.9%的把握认为市民对交通的满意度与是否为“上班族”有关．
(2)①当n＝5时，X 的取值为1,2,3,4,5，
5
由(1)可知市民的满意度和不满意度均为，
所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
5 5
P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，
5 5 5
所以X 的分布列为
5
X 1 2 3 4 5
5
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
5
②E(X)＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)·＋n·＝2－，n∈N*，
n
当n趋向于正无穷大时，E(X)趋向于2，此时E(X)恰好为不满意度的倒数；
n n
也可以理解为平均每抽取2个人，就会有一个不满意的市民．
[周四]
4．(2022·梅州模拟)已知动点P到点F(0,1)和直线l：y＝－1的距离相等．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设点P的轨迹为曲线C，点Q在直线l上，过Q的两条直线QA，QB与曲线C相切，切
点分别为A，B，以AB为直径作圆M，判断直线l和圆M的位置关系，并证明你的结论．
解 (1)由抛物线定义可知点P的轨迹是以F(0,1)为焦点，直线l：y＝－1为准线的抛物线，
所以动点P的轨迹方程为x2＝4y.
(2)直线l与圆M相切，理由如下：
依题可设Q(x，－1)，A，B，
0
M，由x2＝4y，即y＝x2，
求导得y′＝，
所以切线QA，QB的斜率分别是k＝，k＝，所以QA的方程是y－＝(x－x)，
1 2 1
将点Q(x，－1)的坐标代入QA的方程，
0
得－1－＝(x－x)，即x－2xx－4＝0，
0 1 0 1
同理可得x－2xx－4＝0，
0 2于是x，x 是方程x2－2xx－4＝0的两根，
1 2 0
所以x＋x＝2x，xx＝－4，
1 2 0 1 2
由x＋x＝2x，得＝x，即MQ⊥l，
1 2 0 0
由xx＝－4，kk＝·＝－1，
1 2 1 2
所以QA⊥QB，即点Q在圆M上，
所以直线l和圆M相切．
[周五]
5．(2022·许昌模拟)已知函数f(x)＝mxln x＋x2，m≠0.
(1)若m＝－2，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)＝f(x)＝0，且x≠x，证明：ln x＋ln x>2.
1 2 1 2 1 2
(1)解 依题意f(x)＝－2xln x＋x2，
f′(x)＝－2ln x－2＋2x＝2(x－ln x－1)．
令g(x)＝x－ln x－1，
则g′(x)＝1－＝(x>0)，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
故函数g(x)在(0,1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增，
则g(x)≥g(1)＝0，即f′(x)≥0，
故函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．
(2)证明 要证ln x＋ln x>2，即证ln(xx)>2.
1 2 1 2
依题意，x，x 是方程mxln x＋x2＝0的两个不相等的实数根，不妨令x>x，
1 2 1 2
因为x>0，故
两式相加可得m(ln x＋ln x)＋(x＋x)＝0，
1 2 1 2
两式相减可得m(ln x－ln x)＋(x－x)＝0，
1 2 1 2
消去m，整理得＝，
故ln(xx)＝ln·＝ln·，
1 2
令＝t>1，故只需证明ln t·>2，
即证明ln t>，
设h(t)＝ln t－，
故h′(t)＝－＝>0，
故h(t)在(1，＋∞)上单调递增，从而h(t)>h(1)＝0，
因此ln t>.故原不等式得证．
[周六]6．[坐标系与参数方程]
(2022·合肥模拟)在平面直角坐标系中，已知曲线E经过点P，其参数方程为 (α为参数)，以
原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线E的极坐标方程；
(2)若直线l交曲线E于A，B两点，且OA⊥OB，求＋ 的值．
解 (1)将点P代入曲线E的参数方程，得解得a2＝4，
所以曲线E的普通方程为＋＝1，
极坐标方程为ρ2＝1.
(2)不妨设点A，B的极坐标分别为A(ρ，θ)，
1
B，ρ>0，ρ>0，
1 2
则
即
则＋＝＋＝，即＋＝.
6．[不等式选讲]
(2022·宿州模拟)已知f(x)＝|x＋4|－|x－m|.
(1)若m＝2，求f(x)0，b>0，c>0，abc＝1，对于∀x∈R，(a＋b)2＋(a＋c)2＋(b＋c)2≥f(x)恒成立，求实
数m的取值范围．
解 (1)若m＝2，则f(x)＝|x＋4|－|x－2|<2，
当x≥2时，f(x)＝(x＋4)－(x－2)<2，无解；
当－4
