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1．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．
(1)若a＝2，求线段AB的长；
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
2．(2023·宁德模拟)若A，B，C(0,1)，D四点中恰有三点在椭圆T：＋＝1(a>b>0)上．
(1)求椭圆T的方程；
(2)动直线y＝x＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原
点)交椭圆于P，Q两点，证明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
3．(2024·遂宁模拟)已知抛物线C：y2＝2x，过P(1,0)的直线与C相交于A，B两点，其中O
为坐标原点．
(1)证明：直线OA，OB的斜率之积为定值；
(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于M，且tan∠AMB＝，求直线AB的方程．
4．(2022·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x ，y)，Q(x ，y)在C上，且
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x>x>0，y>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取
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两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
