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第八讲：导数的概念及运算
【考点梳理】
1．导数的概念
函数 在 处的瞬时变化率 ，我们称它为函数
在 处的导数，记作 或 ，
即 ．
2．导数的几何意义
函数 在 处的导数 的几何意义是曲线 在点 处的切线斜率，即
，相应地切线方程 ．
3．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
（ 为常数）
（ ）
（ ） （ ）
（ ） （ ）
4．导数的运算法则
若函数 ， 均可导，则：
（1） ；
（2） ；
（3） ．5、切线问题
（1）已知函数 ，在点 的切线方程；
① ②
（2）已知函数 ，过点 的切线方程
①设切点 ②求斜率 ③利用两点求斜率 ④利用 求
出切点，再回带求出斜率，进而利用点斜式求切线 。
【典型题型讲解】
考点一：导数的几何意义---已知切点求切线方程
【典例例题】
例1．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数 ，该函数在 处的切线方程为__________.
【答案】
【详解】对函数 求导可得 ，把 代入可得 ，
则切线方程的斜率 .又因为 ，所以切点为 ，从而可得切线方程为 .
故答案为： .
【方法技巧与总结】
求导，求斜率，用点斜式写切线方程
【变式训练】
1．（2022·广东广州·一模）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵
∴ ，所以 ，
又当 时， ，
所以 在点 处的切线方程为： ，即 .故选：A.
2．（2022·广东广东·一模）已知 ，则曲线 在 处的切线方程是______．
【答案】
【详解】 ， ， ，
所以曲线 在 处的切线方程式 ，
得 .
故答案为：
3.已知 ，则曲线 在点 处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对 ，
求导可得， ，得到 ，所以，
，所以， ，
故选D
4．已知函数 是定义在R上的奇函数，且 ，则函数 的图象在点
处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
是奇函数，恒成立，所以 ，
， ，
所以 ， ，即 ，
．
故选：A．
【典型题型讲解】
考点二：已经切线斜率求切点问题
【典例例题】
例1．（2022·广东潮州·高三期末）曲线 与直线 相切，则 ______．
【答案】1
【详解】由题意，函数 ，可得 ，
设切点为 ，则 ，
因为曲线 与直线 相切，可得 ，即 ，①
又由 ，即切点为 ，可得 ，②
联立①②，可得 ．
故答案为：1
例2．（2022·广东珠海·高三期末）若函数 在 处的切线与直线 垂直，则
______．
【答案】-1
【详解】 ， ，由 ．
故答案为： ．
【方法技巧与总结】设切点坐标，求导，建立有关斜率和切点有关方程或方程组进行运算.
【变式训练】
1．（2022·广东清远·高三期末）已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则
_________．
【答案】-5
【详解】解：因为 ，所以 ，所以 所以 ，
所以 ．
故答案为：
2.已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【详解】
解： ， ，
∴ ，∴ ．将 代入 得 ，∴ ．
故选：C．
【典型题型讲解】
考点三：过一点求函数的切线方程
【典例例题】
例1.函数 过点 的切线方程为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】
由题设 ，若切点为 ，则 ，所以切线方程为 ，又切线过 ，
则 ，可得 或 ，
当 时，切线为 ；当 时，切线为 ，整理得 .
故选：C
【方法技巧与总结】
设切点坐标，求导，求斜率，写切线方程，带已经点到到切线方程
【变式训练】
1.若过点 的直线与函数 的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为函数 ，所以 ，
设切点为 ，则切线方程为： ，
将点 代入得 ，
即 ，解得 或 ，
所以切点横坐标之和为
故选：D.
2.曲线 过点 的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得点 不在曲线 上，
设切点为 ，因为 ，
所以所求切线的斜率 ，
所以 .
因为点 是切点，所以 ，
所以 ，即 .
设 ，明显 在 上单调递增，且 ，
所以 有唯一解 ，则所求切线的斜率 ，
故所求切线方程为 .
故选：B.
【典型题型讲解】
考点四：公切线问题
【典例例题】
例1．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数 ，过点 可作两条直线与函数 相
切，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为2 D．
【答案】B
【详解】设切点为 ，又 ，则切线的斜率又 ，即有 ，整理得 ，
由于过点 可作两条直线与函数 相切
所以关于 的方程 有两个不同的正根，设为 ，则
，得 ，
，故B正确，A错误，
对于C，取 ，则 ，所以 的最大值不可能为2，故C错误，
对于D，取 ，则 ，故D错误.
故选：B.
【方法技巧与总结】
分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程
【变式训练】
1.若函数 与函数 有公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
设公切线与函数 切于点 ，
，切线的斜率为 ，
则切线方程为 ，即设公切线与函数 切于点 ，
，切线的斜率为 ，
则切线方程为 ，即
所以有
因为 ，所以 ，可得 ， ，即 ，
由 可得： ，
所以 ，
令 ，则 ， ，
设 ，则 ，
所以 在 上为减函数，
则 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：B．
2.已知函数 ， ，若直线 与函数 ， 的图象都相切，则 的
最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】
设直线 与函数 ， 的图象相切的切点分别为 ， .由 ，有 ，解得 ， .
又由 ，有 ，解得 ， ，可得 ，当且仅当 ，
时取“=”.
故选：B
3.若两曲线 与 存在公切线，则正实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设公切线与曲线 和 的交点分别为 ， ，其中 ，
对于 有 ，则 上的切线方程为 ，即 ，
对于 有 ，则 上的切线方程为 ，即 ，
所以 ，有 ，即 ，
令 ， ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，所以 ，故 ，即 .
故选：B.
【巩固练习】
一、单选题
1．若曲线 在点（1，f（1））处的切线方程为 ，则a＝（ ）
A．1 B． C．2 D．e
【答案】A
【详解】
解：因为曲线 ，
所以 ，
又因为曲线 在点（1，f（1））处的切线方程为 ，
所以 ，
故选：A
2．设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若对任意 恒成立，
则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：因为对任意 ， ， 恒成立，
所以 在 上单调递增，且 在 上单调递减，即 的图象增长得越来越慢，从图象上来看函
数是上凸递增的，所以 ，又 ，表示点 与点 的连线的斜率，
由图可知
即 ，
故选：A
3．设 为可导函数，且 ，则曲线 在点 处的切线斜率为
（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．
【答案】D
【详解】
由导数的几何意义，点 处的切线斜率为 ，
因为 时， ，
所以 ，
所以在点 处的切线斜率为 ，
故选：D.
4．已知 ，则曲线 在点 处的切线方程为( )
A． B．
C． D．【答案】A
【详解】
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴y=f(x)在 处的切线方程为： ，
即 ．
故选：A．
5．已知函数 ， ，若经过点 存在一条直线 与 图象和 图
象都相切，则 （ ）
A．0 B． C．3 D． 或3
【答案】D
【详解】
因为 ，
所以 ，
则 ，
所以
所以函数 在 处的切线方程为 ，
由 得 ，
由 ，解得 或 ，故选：D
6．若不等式 对任意 ， 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设 ，则T的几何意义是直线 上的点 与曲线 上的点
的距离，
将直线 平移到与面线 相切时，切点Q到直线 的距离最小．
而 ，令 ，则 ，可得 ，
此时，Q到直线 的距离 ，故 ，
所以 ．
故选：B
【点睛】
关键点点睛：将题设不等式关系转化为求直线与曲线上点的最小距离 且 ，结合导数的几何意义、
点线距离公式求m的范围.
7．若直线 与直线 是曲线 的两条切线，也是曲线 的两条切线，
则 的值为（ ）
A． B．0 C．-1 D．
【答案】C
【详解】
由 和 互为反函数可知，两条公切线 和 也互为反函数，
即 满足 ， ，即 ， ，
设直线 与 和 分别切于点 和 ，
可得切线方程为 和 ，
整理得： 和 ，则 ， ，
由 ，得 ，且 ，
则 ，所以 ，
所以
,
故选：C
二、多选题
8．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的切线斜率可以是1
B．曲线 的切线斜率可以是
C．过点 且与曲线 相切的直线有且只有1条
D．过点 且与曲线 相切的直线有且只有2条
【答案】AC
【详解】
因为函数 ，所以A.令 ，得 ，所以曲线 的切线斜率可以是1，故正确；
B.令 无解，所以曲线 的切线斜率不可以是 ，故错误；
C. 因为 在曲线上，所以点 是切点，则 ，
所以切线方程为 ，即 ，所以过点 且与曲线 相切的直线有且只有1条，故正确；
D.设切点 ，则切线方程为 ，因为点 在切线上，所以 ，解得 ，
所以过点 且与曲线 相切的直线有且只有1条，故错误；
故选：AC
三、填空题
9．已知函数 则曲线 在点 处的切线方程为_______.
【答案】
【详解】
解：因为 ，又 ，
切线方程为： ，即 ；
故答案为： .
10．若直线 与曲线 和 都相切，则 的斜率为______．
【答案】
【详解】
设 的切点为 ， ，故 ，
则切线方程为： ，即
圆心到圆的距离为 ，即 ，解得： 或 （舍去）
所以 ，则 的斜率为
故答案为：
13．已知函数 ，则 __________.
【答案】-2
【详解】
由函数 求导得： ，当 时， ，解得 ，
因此， ，所以 .
故答案为：-2
14．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））已知 ，且
， ，那么 ___________.
【答案】
【详解】
因为 ，
所以， ，
即 ，所以， ，
因为 ，则 ，
所以， ，解得 ，所以， ，
因此， .故答案为： .
