文档内容
5.2 平行线及其判定
平行线及其表示方法
知识点一
●平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
◆1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.
【注意】①前提是在同一平面内；
②同一平面内不重合的两条线段或射线，可能相交，可能平行．
平行线的画法
知识点二
◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法：
一“落”把三角尺一边落在已知直线上；
二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边；
三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；
四“画”沿三角尺过已知点的边画直线．
【注意】
1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线．
2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线．
3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行.
平行公理及其推论
知识点三
●1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
●2、推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c.
几何语言：∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c.
【注意】
平行公理的推论中，三条直线可以不在同一个平面内．
平行线的判定方法
知识点四
◆1、平行线的判定：
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：同位角相等，两直线平行．
几何语言表示：
∵∠2＝∠3(已知)，
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行．
几何语言表示：
∵∠2＝∠4(已知)，
∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)．
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
几何语言表示：
∵∠1＋∠2＝180°(已知)，
∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．
◆2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直.
几何语言表示：
直线a，b，c在同一平面内，
∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b．
【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立.题型一 平行线的定义与识别
【例题1】下列说法正确的是（ ）
A．同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们互相垂直
B．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相垂直
C．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相平行
D．同一平面内，如果两条直线不垂直，那么它们互相平行解题技巧提炼
解题的关键是准确把握平行线的概念，牢记平行线的三个条件：①在同一平面
内；②不相交；③都是直线，通过与定义进行对比来进行判断.
【变式1-1】如图所示，能相交的是 ，平行的是 ．（填序号）
【变式1-2】（2021春•沙河市期末）观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式1-3】在同一平面内，直线l 与l 满足下列关系，写出其对应的位置关系：
1 2
（1）若l 与l 没有公共点，则l 和l ；
1 2 1 2
（2）若l 与l 只有一个公共点，则l 和l ；
1 2 1 2
（3）若l 与l 有两个公共点，则l 和l ．
1 2 1 2
【变式1-4】（2022春•赵县月考）在同一平面内，直线a，b相交于P，若a∥c，则b与c的位置关系是
．
题型二 平面内多条直线的位置关系
【例题2】（2021春•梁山县期中）若a、b、c是同一平面内三条不重合的直线，则它们的交点可以有（）
A．1个或2个或3个 B．0个或1个或2个或3个
C．1个或2个 D．以上都不对
解题技巧提炼
用分类讨论的思想根据平面内两条直线的位置关系去讨论求解.
【变式2-1】在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（ ）
A．垂直或平行 B．垂直或相交
C．平行或相交 D．平行、垂直或相交
【变式2-2】在同一平面内有三条直线，如果使其中有且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只
有 个交点．
【变式2-3】平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有 条平行线．
【变式2-4】平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为 个．
题型三 作已知直线的平行线
【例题3】如图，直线a，点B，点C．
（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？
（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？解题技巧提炼
利用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线，是几何画图的基本技能之
一.注意“移”时经过的边是三角尺落在已知直线上的那一边，而不是任意一边.
【变式3-1】如图中完成下列各题．
（1）用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过C点画直线垂直于CD．
（2）用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系．
【变式3-2】如图，已知直线a和直线a外一点A．
（1）完成下列画图：过点A画AB⊥a，垂足为点B，画AC∥a；
（2）过点A你能画几条直线和a垂直？为什么？过点A你能画几条直线和a平行？为什么？（3）说出
直线AC与直线AB的位置关系．
【变式3-3】作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以
下操作：
（1）过点A作BC的平行线；（2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D；
（3）过点B作AB的垂线．
【变式3-4】（2021秋•内乡县期末）如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l 1∥OA；
（2）过P画l 2∥OB；
（3）用量角器量一量l 与l 相交的角与∠O的大小有怎样关系？
1 2
题型四 对平行公及其推论的理解和应用
【例题4】（2022春•汝南县月考）下列推理正确的是（ ）
A．因为a∥d，b∥c，所以c∥d B．因为a∥c，b∥d，所以c∥d
C．因为a∥b，a∥c，所以b∥c D．因为a∥b，d∥c，所以a∥c
解题技巧提炼
在判定两条直线平行时，一定要理解它们成立的条件，特别是关键字词及其重要
特征.【变式4-1】如图，过C点作线段AB的平行线，说法正确的是（ ）
A．不能作 B．只能作一条 C．能作两条 D．能作无数条
【变式4-2】（2021春•和平区校级月考）下列语句正确的有（ ）个
①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行
②过一点有且只有一条直线和已知直线平行
③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b
④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式4-3】（2022春•大荔县期末）如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由是
．
【变式 4-4】（2022春•海阳市期末）若 P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是
（ ）
A．直线PQ可能与直线AB垂直
B．直线PQ可能与直线AB平行
C．过点P的直线一定与直线AB相交
D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行
【变式 4-5】如图所示，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定题型五 探究两直线平行的条件
【例题5】（2021春•商河县校级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（ ）
A．∠1＝∠A B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠A＝∠3
B．
解题技巧提炼
综合图形特征和已知条件，看添加什么条件最好，就添加什么条件.有时答案是
不唯一的.
【变式5-1】（2022春•宿豫区期中）下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2022春•昭阳区校级月考）如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当
∠2＝ 时，a∥b．【变式5-3】（2021秋•道里区期末）如图，下列条件①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝
∠ADC，∠3＝∠4；④∠BAD+∠ADC＝180°．其中能判定AB∥CD的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-4】（2022春•武宣县期末）如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝
180°可以判定b∥c的条件有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【变式5-5】（2022秋•绿园区期末）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条
a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．15° B．25° C．35° D．50°
【变式5-6】（2022春•恩施市期末）以下四种沿AB折叠的方法中，由相应条件不一定能判定纸带两条
边线a，b互相平行的是（ ）
A． 展开后测得∠1＝∠2 B． 展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4C． 测得∠1＝∠2 D． 测得∠1＝∠2
【变式5-7】取一副三角尺按如图所示的方式拼接，固定三角尺ADC，将三角尺ABC按顺时针方向旋转
一个大小为α的角得到三角形AB′C′，示意图如图所示．
（1）当为多少度时，能使图2中的AB′∥CD？请说明理由；
（2）当α分别为多少度时，B′C′∥AD、AC′∥CD？（不必说明理由）
题型六 利用两直线平行的条件解决实际问题
【例题6】（2021春•新吴区月考）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中
也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知
识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．解题技巧提炼
题中会给出一个生活中的实际问题，要读懂题意，结合图形构造平行线模型，选
择相应的判定定理求解.
【变式6-1】（2021春•太原期中）木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，内错角相等
【变式 6-2】如图，是一个防盗窗棂的示意图，如果测得∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°，能否断定
AB∥CD，已知条件够不够？如不够，需要再补充一个什么条件？【变式6-3】（2021秋•凤翔县期末）学习平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线
的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的．观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在
的直线即为过点P与已知直线a平行的直线．由操作过程可知张明画平行线的依据有（ ）
①同位角相等，两直线平行；
②两直线平行，同位角相等；
③内错角相等，两直线平行；
④同旁内角互补，两直线平行．
A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④
【变式6-4】如图所示，一束光线在两面垂直的玻璃墙内进行传播，路径为 A→B→C→D．若∠1=30°，
∠3=60°，探究直线AB与CD是否平行？为什么？
【变式6-5】你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢．潜水艇下潜后，艇内人员以用潜望镜来观察水
面上的情况，如图①．其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都
为45°，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4．你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的
光线是平行吗？题型七 通过阅读推理过程填空
【例题7】（2021秋•洛宁县期末）如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC与BD平行
吗？AE与BF平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由．
解：∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知）
∴∠1＝∠2（ ）；
∴AC∥BD（ ）；
又∵AC⊥AE，BD⊥BF，（已知），
∴ （垂直的定义）；
∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（ ）；
即∠ ＝∠ ；
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行）．
解题技巧提炼
题中会给出一个平行线判定问题的求解过程，要求填写理由，此时要认真分析题
意，然后联系上下文求.
【变式7-1】（2022春•龙华区期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明．
已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：c∥d．
证明：如图，∵∠1+∠2＝180°（ ），
∠2+∠3＝180°（平角的定义），
∴ ＝∠3（ ），
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠4（ ），
∴c∥d（ ）．
【变式7-2】（2022春•大安市期末）如图AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．求证：
AB∥CE．
请完成下列推理过程：
证明：∵CD平分∠ECF，
∴∠ECD＝ （ ）．
∵∠ACB＝∠FCD （ ），
∴∠ECD＝∠ACB （ ）
∵∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ （ ）．
∴AB∥CE（ ）．
【变式7-3】请你将下面的证明补充完整，并在括号内填写推理依据．
如图，点 M在直线AB上，MP⊥直线CD，垂足为 P，MP平分∠NMQ，∠AMN＝∠BMQ．求证：AB∥CD．
证明：∵MP平分∠NMQ，
∴∠NMP＝∠PMQ（ ）
∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ，
∴∠AMN+ ＝ +∠PMQ．
∵∠AMB＝180°，
∴∠AMP＝90°，
∵MP⊥直线CD，
∴∠MPD＝90°（ ）．
∴AB∥CD（ ）
【变式 7-4】（2021春•灌南县校级期末）完成下面的证明：已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分
∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．
证明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠1（ ）．
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝ （角的平分线的定义）．
∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ ）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【变式7-5】（2022春•皇姑区期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整．如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点
E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：BE∥CF．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠ABF＝∠1（对顶角相等）
∠BFG＝∠2（ ）
∴∠ABF＝ （等量代换），
∵BE平分∠ABF（已知），
1
∴∠EBF= （ ）．
2
∵FC平分∠BFG（已知），
1
∴∠CFB= （ ）．
2
∴∠EBF＝ ，
∴BE∥CF（ ）．
题型八 灵活运用判定方法说明两直线平行
【例题8】（2021•武汉模拟）如图，∠ABC＝∠ADC，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，且
∠2＝∠3，求证：BC∥AD．解题技巧提炼
由两角相等或互补关系，判定两条直线平行，其关键是找出两个角是哪两条直
1、
线被第三条直线所截而成的角.2、选用两角相等，还是选用互补关系说明两条直
线平行，应根据所给的图形，灵活运用其中一种方法说明即可.
【变式8-1】（2022春•仙游县校级期末）已知：如图∠1＝∠2＝∠E，∠3＝∠4．
求证：AB∥CD．
【变式8-2】（2022春•沈北新区期末）如图，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．求证：
BE∥DF．【变式8-3】（2022春•二七区校级月考）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分
∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．
【变式8-4】（2022春•双流区校级期中）如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF且EC平分∠DEF．
（1）求证：AE⊥CE；
（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD．
【变式8-5】（2021春•洛龙区期中）将一副三角板中的两个直角顶点 C叠放在一起（如图），其中∠A
＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）若∠BCD＝112°，求∠ACE的度数；
（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；
（3）若三角板ABC保持不动，绕顶点C转动三角板DCE，在转动过程中，试探究∠BCD等于多少度
时，CD∥AB？请你直接写出答案．
