文档内容
期末押题重难点检测卷（提高卷）
【考试范围：人教版八上全部内容】
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下四个运动图案中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图
形，进行逐项判断即可.
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故答案为：C.
2．（24-25九年级上·云南文山·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式，单项式乘以，除以单项式，幂的乘方，熟练掌握知识点是解题的关键．
分别利用完全平方公式计算，同底数幂的乘除法，幂的乘方进行计算即可判断．
【详解】解：A、 ，故不符合题意；B、 ，正确，符合题意；
C、 ，故不符合题意；
D、 ，故不符合题意，
故选：B．
3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）统一度量衡极大地方便了生产与生活．如图1和图2，通过两把
不同刻度的直尺说明其中的原因时，进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由图1和图2可得
方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列分式方程，根据两把尺子的刻度对应成比例，列出方程即可．
【详解】解：由图可得： ；
故选A．
4．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在 和 ， ，补充条件后
仍不一定能保证是 ，则补充的这个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即 、 、 、 和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，结合 逐项分析即可．
【详解】解：如图，
A、若添加 ，可利用 进行全等的判定，故本选项错误；
B、若添加 ，可利用 进行全等的判定，故本选项错误；
C、若添加 ，不能进行全等的判定，故本选项正确；
D、若添加 ，可利用 进行全等的判定，故本选项错误；
故选：C．
5．（2024八年级上·全国·专题练习）现有两根长度分别 和 的木棒，若要首尾相接钉成一个三角形
木架，则应选取的第三根木棒长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形的三边关系求出第三边的范围，判断即可．
【详解】解：设第三根木棒长为x ，
由三角形三边关系可知： ，即 ，
则应选取的第三根木棒长为 ，
故选：C．
6．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，以正六边形 的 边向内作一个长方形 ，连
接 交 于点I，则 ( )A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多边形内角和定理、正多边形的轴对称性质．利用正六边形的轴对称性质，可得
，然后根据正多边形内角的求法，可得出 ，再根据长方形对边平行的特点可得
，利用同旁内角互补即可求解．
【详解】解：由正六边形 的轴对称性质可知， 为对称轴，
∴ ，
由多边形的内角和定理可求得： ，
∴ ，
由长方形 的性质可知， ，
∴ ．
故选：B．
7．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，三角形 中， 的垂直平分线交 边于点 ， 的垂
直平分线交 边于点 ，若 ，则 的度数为（ ）
A．30° B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的定义，掌握垂直平分线的性质，
等腰三角形的定义是解题的关键．
根据垂直平分线的性质可得， ， ，则 ，由三角形内角和定理可
得 ，由此得到 ，即可求解．
【详解】解：∵ 的垂直平分线交 边于点 ， 的垂直平分线交 边于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B ．
8．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一
种重要方法． 如图1， 是矩形 的对角线，将 分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，
然后按图2重新摆放，观察两图，若 ， ，则矩形 的面积是（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【分析】本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与几何图形面积的应用，设小正方形的边长为 ，利用
、 、 表示矩形的面积，再利用 、 、 表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于 、 、
的关系式，解出 ，即可求出矩形面积．
【详解】解：设小正方形的边长为 ，
矩形 的长为 ，宽为 ，
由图1、图2可得： ，
整理得： ，
， ，
，
，
矩形 面积为：．
故选：C．
9．（24-25八年级上·山东威海·期中）若关于 的方程 的解为正数，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的解及其解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，理解分式有意义的条件是
正确解答的前提．
先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解为正数以及分式有意义的条件确定m
的取值范围．
【详解】解：关于x的分式方程 化为整式方程得， ，
解得 ，
由于分式方程的解为正数，
所以 ，即 ，
又∵ ， ，
解得： ，
∴
∴
∴m的取值范围为 且 ，
故选：D．
10．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是 ，点B是x轴上的一
个动点．以 为边向右侧作等边三角形 ，连接 ，在运动过程中， 的最小值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】以 为边向左侧作等边三角形 ，连接 ，先证出 ，根据全等三角形的
性质可得 ，再根据垂线段最短可得当 轴时， 的值最小，即此时 的值最小，最后利用
含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，以 为边向左侧作等边三角形 ，连接 ，
∴ ， ．
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
∴当 轴时， 最短，即此时 最小．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即在运动过程中， 的最小值为3．
故选B．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的
性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）11．（24-25九年级上·云南文山·期中）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式进
行分解．
【详解】解：
，
故答案为：
12．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如
图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出 ，则可得出正多边形的边数
．
【答案】5
【分析】本题考查正多边形的外角和公式及三角形内角和公式，根据 ，求出 ，结
合正多边形的每个外角都相等求出外角，结合外角和求解即可得到答案；
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵图形是正多边形花坛，
∴ ，
∴ ，
故答案为：5．13．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）已知一个等腰三角形的周长是13，其中一条边长是5，则这个
等腰三角形的腰长是 ．
【答案】4或5
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系。长是5的边是腰或者是底，因此分两种情
况讨论，并结合三角形的三边关系得出结论．
【详解】解：当腰长为5时，则底边长为 ，
∵ ，
∴此时能构成三角形，符合题意；
当底边长为5时，则腰长为 ，
∵ ，
∴此时能构成三角形，符合题意；
综上所述，该等腰三角形的腰长为4或5，
故答案为：4或5．
14．（23-24八年级上·青海西宁·期中）如图，AD是 中 的平分线， 交AB于点E，
交 于点F．若 ， ， ，则 的长是 ．
【答案】7
【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
由角平分线的性质可得， ，由题意知 ，计算求解即可．
【详解】解：∵AD是 的平分线， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
故答案为：7．15．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若 ，则代数式 的值为
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，由条件可得 ，再化简 ，再整体代入
计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
；
故答案为：
16．（24-25八年级上·江苏南通·期中）设 ， ， ．若 ，则
的值是 ．
【答案】7
【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出 是解题的关键．根据完全平方
公式得出 ， ，进而根据已知条件得出 ，进而即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴
，
故答案为：7．
17．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若关于 的不等式组 有且只有4个整数解，且关于
的分式方程 的解为非负整数，则符合条件的所有整数 的和为 ．
【答案】
【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定a的取值范围，
从而求出符合条件的所有整数即可得结论．
本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方
程的解确定a的取值范围．
【详解】解：∵ ，
解不等式①得： ；
解不等式②得 ，
∴不等式组 的解集为 ，
∵不等式组 有且只有4个整数解，∴ ，
解得 ；
∵ ，
解得 ，
∵方程有非负数整数解，
∴ ，
∴ ，
∵ 时，是方程的增根，
此时 ，无意义，舍去，
∴ 且
∴符合题意的整数m的值为 ，
∴符合条件的所有整数m的和是 ，
故答案为： ．
18．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰 中， ，点E为 上一点，点H为
上一点，连接 和 交于点F， ．连接 ，若 平分 ，则 ，
在此条件下，延长 到点D，连接 ，使 ，此时若 ，
，则 ．
1
【答案】 1 /
5
【分析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， ，交 的延长线于点 ，根据角平分线的性质，得到 ，证明 ，推出 ，进而证明
，得到 ，即可得到答案；过点 作 交 于点 ，过点 作
交 延长线于点 ，先证明 ，得到 ， ，同理
可证 ，得到 ， ，再结合平行线的性质，推出
，从而证明 ，得到 ，然后根据已知条件求出
， ，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， ，交 的延长线
于点 ，
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
；
如图，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 延长线于点 ，
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
同理可证 ，
， ，
，
， ，
，
，，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
， ，
， ，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，等腰三角形的判定
和性质，三角形外角的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（24-25八年级上·北京·期中）因式分解：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了公式法以及提公因式法进行分解因式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接运用平方差公式进行分解因式，即可作答．（2）先提公因式，再运用完全平方公式进行分解因式，即可作答．
（3）直接运用十字相乘法进行分解因式，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
20．（23-24八年级上·新疆喀什·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（ ）利用幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法运算法法则计算；
（ ）利用幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式的运算法则计算，最后合并同类项．
本题考查了单项式乘多项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握单项式乘多项式，
同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
．21．（24-25九年级上·云南昆明·期中）先化简，再求值： 请从 中选择
一个数字a代入求值．
【答案】 ，3
【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意
义的值，计算即可．
【详解】解：
；
∵ ，
∴当 时，原式 ．
22．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在 和 中， ，
且点 ， ， 在同一直线上，点 ， 在 同侧，连接BD，CE交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平角的定义，三角形外角的性质；
（1）由 ，得出 ，再利用“ ”即可证明 ；（2）由 ， ，得出 ，由外角的性质得出 ，由全等三
角形的性质得出 ，由外角的性质得出 ，可得答案.
【详解】（1）证明： ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
；
（2） ， ，
∴ .
是 的外角，
∴ .
，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ .
23．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被
反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图 ， 是平面镜，若入射光线 与水平镜面夹角为 ，
反射光线 与水平镜面夹角为 ，则 ．
(1)如图 ，入射光线 经过 次反射后与反射光线 交于点 ．若 ，求 的度数；
(2)如图 ，图 ，若 ，入射光线 经过两次反射，得到反射光线 ，光线 与 所在的直线相交于点 ， ，分别写出 与 之间满足的等量关系是______（直接写出两个结果）．
【答案】(1)
(2) ， ．
【分析】（ ）由 ，根据三角形的内角和定理得 ，又 ， ，则有
，最后根据三角形的内角和定理即可求解；
（ ）图 同（ ）理可得 ，图 中 ， ， 由内角和定
理得 ，再由三角形外角性质 ，从而求解；
本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，三角形外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运
用所学知识解决问题．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ， ．24．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图1是长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四
块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)请你用两种不同的方式表示图2阴影部分的面积（直接用含 的代数式表示）．
方法一：________；方法二：________．由此可以得出的等式是________；
(2)根据（1）中的结论，若 ， ，求 的值；
(3)如图3，已知正方形 的边长为 ， ， 分别是 、 上的点，且 ， ，长方形
的面积是24，分别以 、 为边长作正方形 和正方形 ，求阴影部分的面积．
【答案】(1) ， ，
(2)17
(3)阴影部分面积为20
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，图形面积，平方差公式，理解完全平方公式的几何意义是
解题的关键．
（1）方法一：根据图象得出阴影部分正方形边长即可求得面积；方法二：根据大正方形面积减去四个小
长方形的面积即可，根据方法一和方法二即可得到等式；
（2）根据（1）的结论，利用完全平方公式变形求值即可求解；
（3）根据题意找出题中各线段之间的数量关系和等量关系，设 ，即 ，阴影部分面
积 ，根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：方法一： ；方法二： ．
由此可以得出的等式是 ，故答案为： ， ， ．
（2）解： ，
．
（3）解：∵正方形 的边长为 ，正方形 和正方形 ，
，
∵长方形 的面积是24，
，
设 ，即 ，则 ，
∴阴影部分面积 ，
，
（负值已舍去），
，
即阴影部分面积为20．
25．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则
称M与N互为“和整分式”，常数 称为“和整数值”．例如， ， ，
，则M与N互为“和整分式”，“和整数值” ．
(1)已知分式 ， ，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数
值”k；若不是，请说明理由；
(2)已知分式 ， ，C与D互为“和整分式”，且“和整数值” ．
①求P所代表的代数式；
②若分式D的值为正整数，求正整数x的值．
【答案】(1)A与B互为“和整分式”，“和整数值” .
(2)① ，②1
【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，理解题意是解此题的关键．（1）先计算 ，再根据结果即可得解；
（2）①求出 ，结合题意得出 ，计算即可得解；②先求出 ，再结合
题意计算即可得解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴
，
∴A与B互为“和整分式”，和“整数值” ；
（2）解： ， ，
∴
∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值” ，
∴ ，即 ，
∴ ；
②∵ ，
若分式D的值为正整数，
∴ 或 ，解得 或 （舍去），
∴正整数x的值为1．
26．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图， 中， ， ，点 为射线
上一动点，连结 ，作 且 ．
(1)如图 1 ，请过 F 点作 交 于D 点，求证： ；
(2)如图 2 ，连结 交 于 点，若 ，求证：点 为 中点．
(3)当 E 点在射线 上，连结 与直线 交于 G 点，若 ，则 ．（直接写出
结果）
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3) 或 ．
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等
三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；难点是类比思想在解题中的应用．
（1）过点 作 于点 ，先证 ，再依据“ ”判定 和 全等，从而得
， ，据此可得出结论；
（2）由（1）可知： ， ，再证 和 全等得 ，然后由 ，
则 ， ，进而可得 ，据此可得出结论；
（3）过点 作 交 的延长线于 ，由（1）可知 ，由（2）可知 ，再由
，则 ， ， ， ，进而得 ， ，据此可
得出答案．
【详解】（1）证明：如图过点 作 于点 ，， ， ， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
（2）证明：过点 作 于点 ，则 ，
由（1）可知：
∴ ， ，
，
，
在 和 中，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
点 为 的中点．
（3）解 点 在射线 上，
有以下两种情况：
（ⅰ）当点 在线段 上时，过点 作 于 ，如图所示：
，
，
由（2）可知： ，则 ，
由（2）可知： ，则 ，
，
．
（ⅱ）当点 在 的延长线上时，过点 作 交 的延长线于 ，如图所示：由（2）可知： ，
由（2）可知： ，
，
，
， ，
，
，
，
．
综上所述： 的值为： 或 ．
