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第六讲：基本初等函数
【考点梳理】
1．幂函数的概念
一般地，形如 ( )的函数称为幂函数，其中底数 为自变量， 为常数.
2．几个常见幂函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
在 上 单 调 递
在 上单 在 上单 在 上单 在 和
单调性 减；在 上单调
调递增 调递增 调递增 上单调递减
递增
过定点 过定点 过定点
3．常用结论
(1)幂函数在 上都有定义.
(2)幂函数的图象均过定点 .
(3)当 时，幂函数的图象均过定点 ，且在 上单调递增.
(4)当 时，幂函数的图象均过定点 ，且在 上单调递减.
(5)幂函数在第四象限无图象.
4.根式的概念及性质
（1）概念：式子 叫做根式，其中 叫做根指数， 叫做被开方数．（2）性质：
① ( 且 )；
②当 为奇数时， ；当 为偶数时，
5.分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是 ( ， ，且 )；
②正数的负分数指数幂的意义是 ( ， ，且 )；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
6.指数幂的运算性质
① ；
② ；
③ .
7.指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数 ( ，且 )叫做指数函数，其中指数 是自变量，函数的定义域是 ．
（2）指数函数 的图象和性质
底数
图象
定义域为 ，值域为
图象过定点
当 时，恒有
性质 当 时，恒有 ；
；
当 时，恒有
当 时，恒有
在定义域 上为增函数 在定义域 上为减函数
指数函数 ( ，且 )的图象和性质与 的取值有关，应分
注意
与 来研究
8.对数的概念（1）对数：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，
其中 叫做对数的底数， 叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数 ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的
对数 .
（3）对数式与指数式的互化： .
9.对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数 具有以下性质：
①负数和零没有对数，即 ；
②1的对数等于0，即 ；
③底数的对数等于1，即 ；
④对数恒等式 .
（2）对数的运算性质
如果 ，那么：
① ；
② ；
③ .
（3）对数的换底公式
对数的换底公式： .
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成
什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以 为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
① ；
② ；
③ (其中 ， ， 均大于0且不等于1， ).
10.对数函数及其性质（1）对数函数的定义
形如 ( ，且 )的函数叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 ．
（2）对数函数的图象与性质
图象
定义域：
值域：
性质
过点 ，即当 时，
在 上是单调增函数 在 上是单调减函数
【典型题型讲解】
考点一：幂函数的定义及其图像
【典例例题】
例1．幂函数 在 上为增函数，则实数 的值为（ ）
A． B．0或2 C．0 D．2
【答案】D
【详解】
因为 是幂函数，所以 ，解得 或 ，
当 时， 在 上为减函数，不符合题意，
当 时， 在 上为增函数，符合题意，
所以 .
故选：D.
例2．已知幂函数 （p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则
（ ）A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【详解】
因函数 的图象关于y轴对称，于是得函数 为偶函数，即p为偶数，
又函数 的定义域为 ，且在 上单调递减，则有 0，
又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.
故选：D
【方法技巧与总结】
1、5种特殊幂函数的图像及其性质；
2、幂函数的单调性及奇偶性的性质判断方法.
【变式训练】
1．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上
述条件的幂函数可以为 ______．
【答案】． （答案不唯一）
【分析】利用幂函数的奇偶性、单调性得到指数满足的条件，再写出一个满足题意的幂函数即可.
【详解】设幂函数 ，
由题意，得 为奇函数，且在定义域内单调递增，
所以 （ ）或 （ 是奇数，且互质），所以满足上述条件的幂函数可以为 .
故答案为： （答案不唯一）.
2.已知幂函数 （ ）的图象关于 轴对称，且在 上是减函数，则 的值
为______.
【答案】
因为 是幂函数， ，解得 或1，
当 时， 是偶函数，关于 轴对称，在 单调递增，不符合题意，
当 时， 是偶函数，关于 轴对称，在 单调递减，符合题意，
.
故答案为： .
3.如图是幂函数 （αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α＝3，α＝2，α＝1，
1 2 3
， ，已知它们具有性质：
①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．
请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．
【答案】α越大函数增长越快
【详解】
解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于
1；④α越大越远离x轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y＝x
对称；⑧当α＞1时，图象在直线y＝x的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y＝x的下方．
从上面任取一个即可得出答案．
故答案为：α越大函数增长越快．4.已知函数 ，若关于 的方程 有两个不同的实根， 则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
当 时，函数 是增函数，函数值集合是 ，当 时， 是减函数，函数值
集合是 ，
关于 的方程 有两个不同的实根，即函数 的图象与直线 有两个交点，
在坐标系内作出直线 和函数 的图象，如图，
观察图象知，当 时，直线 和函数 的图象有两个交点，即方程 有两个不同的
实根，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A
考点二：指数与指数幂的运算
【典例例题】
例1．化简：
（1）（2） (a>0，b>0).
（3） .
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【详解】
（1）原式
（2）原式＝ .
（3）原式 .
【方法技巧与总结】
利用指数的运算性质解题.对于形如 ， ， 的形式常用“化同底”转化，再利用指
数函数单调性解决；
【变式训练】
1． =（ ）
A．2 B．1 C．3 D．0
【答案】B
【详解】
解：2.甲､乙两人解关于x的方程 ，甲写错了常数b，得到的根为 或x= ，乙写错了
常数c，得到的根为 或 ，则原方程的根是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【详解】
令 ，则方程 可化为 ，甲写错了常数b，
所以 和 是方程 的两根，所以 ，
乙写错了常数c，所以1和2是方程 的两根，所以 ，
则可得方程 ，解得 ，
所以原方程的根是 或
故选：D
考点三：指数函数的图像及性质
【典例例题】
例1.函数 恰有一个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题设， 与 只有一个交点，
又 的图象如下：∴ .
故选：C.
例2.已知 为定义在R上的奇函数， ，且 在 上单调递增，在 上单调递减，
则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为 为定义在R上的奇函数，所以 的图象关于点 对称，
且 ，又 ，所以 ．
依题意可得，当 或 时， ．
所以 等价于 或 ，
解得 或 ．
故选：D
【方法技巧与总结】
1、指数函数的解析式具有单一性；
2、指数函数的单调性和图像与底数有关系.
【变式训练】1.函数 ，下列关于函数 的说法错误的是（ ）
A．函数 的图象关于原点对称 B．函数 的值域为
C．不等式 的解集是 D． 是增函数
【答案】A
【解析】
【详解】
对于A选项，函数 的定义域为 ，且 ，
所以，函数 的图象不关于原点对称，A错；
对于B选项，因为 ，所以， ，B对；
对于C选项，由 可得 ，则 ，解得 ，C对；
对于D选项，对任意的 ， ，
且函数 在 上单调递减，故函数 是增函数，D对.
故选：A.
2.函数 图象过定点 ，点 在直线 上，则 最小值为___________.
【答案】 或4.5
【详解】
当 时， ， 过定点 ，
又点 在直线 上， ，即 ，
， ， ，
（当且仅当，即 ， 时取等号），
的最小值为 .
故答案为： .
3.已知定义在R上的函数 满足：① ；② ；③在 上的解析式
为 ，则函数 与函数 的图象在区间 上的交点个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】
由 知 的图象关于 对称，
由 知 的图象关于 对称，
作出 与 在 , 上的图象：
由图可知函数 与函数 的图象在区间 上的交点个数为4．
故选：B．
4．（2022·北京·二模）若函数 的定义域和值域的交集为空集，则正数 的取值范
围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【详解】
解：因为 ，所以 的定义域为 ， ，
当 时 ，则 在 上单调递增，所以 ；
要使定义域和值域的交集为空集，显然 ，
当 时 ，
若 则 ，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若 时 在 上单调递减，此时 ，
则 ，
所以 ，解得 ，即
故选：B
5．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数 ，则
______．
【答案】4043
【详解】
由题意，函数 ，
可得
，设 ，
则
两式相加，可得
，
所以 .
故答案为： .
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，
，则 ______．
【答案】
【详解】
由 ，得 ，
于是 ，
又当 时， ，故可得 ，
则 .
故答案为： .
7．已知函数 ，则不等式 的解集为___________.
【答案】
【详解】
①当 时， ， 在 上单调递增，，又 ，
恒成立；
②当 时， ， ，
又 ， 恒成立；
③当 时， ， ， ；
恒成立；
④当 时， ， ， ，
，解得： ， ；
综上所述：不等式 的解集为 .
故答案为： .
8．设函数 ，若 是函数 的最大值，则实数 的取值范围为_______．
【答案】
【详解】
解：因为 ，
当 时 函数单调递减且 ，
当 时 ，可得在 时函数单调递减，在 单调递增，若 ， ，则 在 处取得最大值，不符题意；
若 ， ，则 在 处取得最大值，
且 ，解得 ，
a−1≤1
综上可得 的范围是 ．
故答案为：
考点四：对数概念与对数运算
【典例例题】
例1.（1）计算 ；
（2）已知 ，求实数x的值；
（3）若 ， ，用a，b，表示 ．
【答案】（1）7；（2）109；（3） ．
【详解】
（1）原式= ；
（2）因为 ，所以 ，所以 ，所以x=109；
（3）因为 ，所以 ，所以
．
【方法技巧与总结】
对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同
底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.
【变式训练】1.（1）求 的值.
（2）已知 ， ，试用 ， 表示
【答案】（1）18；（2） .
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意得到原式 ，再利用换底公式化简即可得到答案.
（2）首先根据题意得到 ， ，再利用换底公式化简即可得到答案.
【详解】
（1）原式
（2）由 得到 ，
由 ，得到 ，即 .
.
2．（2022·广东惠州·一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：
，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信
号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数
中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比 从1000提升至5000，则C大约增加了（ ）（附： ）
A．20% B．23% C．28% D．50%
【答案】B
【详解】将信噪比 从1000提升至5000时，C大约增加了
.
故选：B.
3．（2022·广东韶关·一模）某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的该种放射性物质的质
量约是原来的 ，估计经过多少年，该物质剩留的是原来的 ？（ ）
（参考数据： ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】．A
【详解】设该种放射性物质初始质量为 ，经过 年，剩留量变为 ，
则可建立模型为 ，
即 ，
所以大约经过16年，该物质剩留的是原来的 .
故选：A.
4．（2022·广东·金山中学高三期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生
物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳
日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教
室内二氧化碳的浓度为 %，且 随时间 （单位：分钟）的变化规律可以用函数 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）
（参考数据 ）
A．11分钟 B．14分钟
C．15分钟 D．20分钟
【答案】．A
【详解】依题意可知 时， ，即 ，
所以 ，
由 ，得 ，两边取以 为底的对数得
， ，
所以至少需要 分钟.
故选：A
考点五：对数函数的图像及性质
【典例例题】
例1．（2022·广东中山·高三期末）已知函数 （ ， ），则 的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】．B
【详解】由题意， ，∴ ，即 为偶函数，排除A、D；
当 时， ，
当 时， ，
∴ 、 对应函数值异号，排除C；
故选：B
例2．（2022·广东珠海·高三期末）设 ， ， ，则a，b，c大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】．B
【详解】 ，即 ， ，
而 ，所以 ，
故选：B．
【方法技巧与总结】
1、对数的函数的图像画法，定点问题；
2、对数函数的图像及性质应用.
【变式训练】
1．（2022·广东茂名·一模）已知 均为大于0的实数，且 ，则 大小关系正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】．C
【详解】解：因为 均为大于0的实数，
所以 ，
进而将问题转化为函数 与直线 的交点的横坐标的关系，
故作出函数图像，如图，
由图可知故选：C
2．（2022·广东茂名·一模）已知函数 ，若 均不相等，且
，则 的取值范围是___________
【答案】
【详解】不妨设 ，由图可得， ，
所以 即 ，
由 得， ，所以 的取值范围是
故答案为：
3．（2022·广东湛江·一模）已知函数 ， ，用 表示m，n中的最小值，
设函数 ，若 恰有3个零点，则实数a的取值范围是___________.
【答案】．
【详解】函数 恒过点 ，且其图象开口向上， 的零点为1，当 的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：
函数 的零点至多有两个，不符合题意，
故要使 恰有3个零点，则函数 在区间 上存在两个零点，如图示，
故
解得 ，
故答案为：
4.己知实数 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】对 利用换底公式等价变形，得 ，结合 的
单调性判断 ，同理利用换底公式得 ，即 ，
再根据对数运算性质得 ，结合 单调性， ，继而得解.
【详解】
由 可得 ，
因为 在 上单调递增，且 ， ，所以 ，即 ，
其次， ，所以 ，
又因为 且 单调递增，所以由 可知 ，综上，
．
故选：A
5.（多选题）已知函数 （ 且 ）的图象如下所示．函数 的图
象上有两个不同的点 ， ，则（ ）
A． ， B． 在 上是奇函数
C． 在 上是单调递增函数 D．当 时，
【答案】BCD
【详解】对于A，由图像可知，函数 （ 且 ）在 上单调递增，所以 ，因为
经过 ，所以 ，所以 ， ，故A错误.
对于B， ，定义域 关于原点对称， ，所以 在 上是奇函数，
故B正确.
对于C，对于 ，由题意不妨令 ，则
，因为
， ，所以 ，即 ，所以 在 上是
单调递增函数，故C正确.
对于D，
，因为 ， ，所以
，所以 ，当且仅当 时等号成立，即当 时，
成立，故D正确.
故选：BCD
6.（2022·广东·三模）已知 ，e是自然对数的底，若 ，则 的取值可以是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】CD【详解】
设 ，则 在R上单调递增，
因为 ，则 ，
设 ，则 ，即 ，
所以 ，
设 ， ，
当 ，当 ，
则 在 单调递减，在 单调递增，
，即 ，
所以 ，即 ，
故 的取值可以是3和4.
故选：CD.
【巩固练习】
1．已知函数 ，则 （ ）
A．是偶函数，且在 是单调递增 B．是奇函数，且在 是单调递增
C．是偶函数，且在 是单调递减 D．是奇函数，且在 是单调递减
【答案】B
【解析】
【详解】
解： 定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，又 与 在定义域上单调递增，所以 在 上单调递增；
故选：B
2．1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and metabolicrate》的论文，在论文中提出了
一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的 次幂成正比，即 ，其中F为基础代谢
率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数
据： ）（ ）
A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍
【答案】C
【详解】
设该哺乳动物原体重为 、基础代谢率为 ，则 ，
经过一段时间生长，其体重为 ，基础代谢率为 ，则
则 ，则
故选：C
3．已知函数 ，且 ，则 （ ）A．26 B．16 C．－16 D．－26
【答案】A
【详解】
由题意得
当 时， ，方程无解，
当 时， ，解得 ，
所以 ，
故选：A
4．若函数 的零点为 ，则 （ ）．
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】
由题设 ，由 得： ，
若 ，可得 ，
若 ，可得 ，
综上， ，故 .
故选：B
5．已知函数 满足：对任意 ， ．当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】
因为 ，
则 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：C
6．关于函数 和实数 的下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【详解】
解：因为 ，
所以函数 是一个偶函数，
又 时， 与 是增函数，且函数值为正数，
故函数 在 上是一个增函数
由偶函数的性质得函数在 上是一个减函数，
此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，
函数值就小，反之也成立，
考察四个选项，A选项，由 ，无法判断 ， 离原点的远近，故A错误；B选项， ，则 的绝对值大，故其函数值也大，故B不对；
C选项是正确的，由 ，一定得出 ；
D选项由 ，可得出 ，但不能得出 ，不成立，
故选：C．
7．区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密
码一共有 种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行 次运算.现在有一台计算机，每秒
能进行 次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据
， ）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间为 秒，则有 ，
两边取常用对数，得
，
所以 .
故选：B.
8．已知 ， ，其中 且 ， 且 ，若 ，则 的值为
（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【详解】
因为 ，所以 ，得 ，所以 .
即 . 因为 ，所以 ，解得
故选：A．
9．已知正实数x，y，z满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
令 ，则 ，故 ，故
故选：C
二、多选题
10．在同一直角坐标系中，函数 与 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】
当 时， 在 单调递增且其图象恒过点 ，在 单调递增且其图象恒过点 ，
则选项B符合要求；
当 时， 在 单调递减且其图象恒过点 ，
在 单调递减且其图象恒过点 ，
则选项D符合要求；
综上所述，选项B、D符合要求.
故选：BD.
11．（2022·广东汕头·二模）设a，b，c都是正数，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】
【详解】
解：设 ，则 ， ， ，
所以
，
即 ，所以 ，所以 ，故D正确；
由 ，所以 ，故A正确，B错误；
因为 ， ，
又 ，所以 ，即 ，故C正确；
故选：ACD12．下列函数中，存在实数a，使函数 为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】
对于A中，当 时，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又由 ，
即 ，所以函数 为奇函数，所以A正确；
对于B中，因为函数 为偶函数，所以函数 不可能是函数，
即不存在实数 ，使得函数 为奇函数，所以B不符合题意；
对于C中，由函数 定义域为 ，关于原点对称，
又由 ，即 ，解得 ，所以C符合题意；
对于D中，当 时，函数 ，
其定义域为 ，关于原点对称，
又由 ，即 ，
所以函数 为奇函数，所以D正确；
故选：ACD.
13．已知函数 ，若存在三个实数，使得 ，则
（ ）A． 的取值范围为 B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为
【答案】ACD
，进而得到 , , 关于 的增减性以及 的取值范围，数形结合分析选项即可得
解.
【详解】
作出函数 的大致图象,如图所示，
设 ，
数形结合得: 均是关于 的增函数， 是关于 的减函数，且 .
当 时，令 ，得 或 ，所以 ， ，且 ，
所以 ，故A正确；
不妨设 ，则 ，此时 ，所以B错误；
因为 ，所以 ，且 与 均为关于 的增函数，
所以 ，故C正确；
因为 为关于 的增函数， ， ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
14． ___________.
【答案】10
【详解】
.
故答案为：10.
15．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：① ；② 在 上单
调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.
【答案】
【详解】
由题意：是指数函数里的减函数，故可以是： ，故答案为： .
16．已知函数 ，若 ，则实数a的取值范围为___________.
【答案】
【详解】
若 ，则 ，故 ，解得 ，故 ；
若 ，则 ，故 ，解得 ，故 ；
综上： 或 .
故答案为： .
7．已知函数 为奇函数，且对定义域内的任意x都有 ．当 时，
．给出以下4个结论：
①函数 的图象关于点 成中心对称；
②函数 是以2为周期的周期函数；
③当 时， ；
④函数 在 上单调递减．
其中所有正确结论的序号为______．
【答案】①②③
【详解】
由题知 为奇函数，其图象关于原点中心对称，又对定义域内的任意x都有 ，所以其图象还关于点 对称，
据此可判断函数 为周期函数，2是函数 的周期．
又当 时， ，画出函数图象可知①②正确，④错误．
当 时， ，所以 ，又因为函数 是以2为周期的奇函数，所
以 ，所以 ，所以③也正确．
故答案为：①②③．
