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第 5 章 相交线与平行线
5.3.2命题、定理、证明
一、温故知新（导）
歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批评
家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，边走边大声说道：“我从来不给傻子
让路！”面对如此尴尬的局面，歌德笑容可掬，谦恭的闪在一旁，有礼貌地回答道：“呵呵，我可
恰恰相反！”结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣，你知道歌德用的是什么语言技巧吗？你知道
其中的数学道理吗？这涉及到我们今天要学习的内容中的一个概念，下面我们来看看今天的学习目
标和重难点.
学习目标
1.理解命题、定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论；
2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.
学习重难点
重点：1.理解命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”的形式；
2.证明的步骤和格式.
难点：了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对命题举反例.
二、自我挑战（思）
1、观察下列语句，它们有什么共同点？
(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
(3)对顶角相等；
(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式.
都是一种判断
归纳：像上面这样，判断一件事情的语句，叫做 命题 .
2、观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
(1)如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；
(2)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
(3)如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
都是“如果……那么……”的形式
归纳：命题由 题设 和 结论 两部分组成， 题设 是已知事项， 结论 是有已知事项推出
的事项；命题都可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是 题设 ，“那
么”后接部分是 结论 .
3、观察下列命题，你能发现这些命题有什么不同的特点吗？
命题1：如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除.
命题2：如果两个角互补，那么它们是邻补角.
命题1是正确的命题，命题2是错误的命题
归纳：真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做 真命题 .假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做 假命题 .
4、判断下列命题的真假.
(1)如果两个数的和为0，这两个数互为相反数；
(2)如果这两个角互补，两个角是邻补角.
(3)内错角相等，两直线平行.
(4)相等的角是对顶角
(1)真命题 (2)假命题(3)真命题(4)假命题
判断真假命题的一般步骤:
第一步：判断是否为命题.
第二步：判断该命题说法是否正确，若正确则为真命题，若错误，则为假命题.
上面例题中的(1)和(3)，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做 定理 . 定理
可作为继续推理的依据.
5、在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作 证明 .
6、如何判定一个命题是假命题呢？
只要举出一个例子（反例）：它符合命题的题设，但不满足结论即可.
三、互动质疑（议、展）
1、如何证明 “在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一
条”？
2、实例：
例2 已知直线b∥c，a⊥b，求证a⊥c.
证明：
∵ a⊥b(已知)
∴∠1=90°(垂直的定义)
∵b∥c(已知)，
∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)
∴∠2=∠1=90°(等量代换)
∴ a⊥c(垂直的定义)
例3 求证：命题“相等的角是对顶角”是假命题
证明；如图，OC是∠AOB的平分线，
∠1=∠2，
但它们不是对顶角.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？五、一战成名（检）
1、下列语句属于命题的是（ ）
A．作直线AB的平行线 B．同旁内角相等
C．∠1与∠2互余吗 D．在线段AB上取点C
1、解：B选项是用语言可以判断真假的陈述句，是命题，
A、B、C均不是可以判断真假的陈述句，都不是命题．
故选：B．
2、下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．内错角相等
C．同旁内角互补 D．两直线平行，同位角相等
2、解：A、相等的角不一定是对顶角，本选项说法是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，内错角相等，本选项说法是假命题，不符合题意；
C、同旁内角不一定互补，本选项说法是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，本选项说法是真命题，本选项符合题意．
故选：D．
3、命题“对顶角相等”中，题设是（ ）
A．对顶角相等 B．对顶角
C．两个角是对顶角相等 D．这两个角相等
3、解：对顶角相等的题设是两个角是对顶角，
故选：B．
4、命题“在同一平面内，如果a⊥b,b⊥c,那么a⊥c”是 命题．（填“真”或“假”）
4、解：在同一平面内，如果a⊥b,b⊥c,那么a∥c
故命题“在同一平面内，如果 a⊥b,b⊥c,那么a⊥c”是假命题，
故答案为：假．
5、把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式
．
5、解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．
则将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，
那么这两个角相等．
故答案是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．
6、将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，并判断它们是真命题还是假命题，若是假命
题，请举出反例．
（1）互为相反数的两个数的和为零；
（2）同旁内角互补；
（3）等角的余角相等．
6、解：（1）如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题；
（2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题，
反例：如图，∠1和∠2是同旁内角，
但两直线不平行，故∠1和∠2不互补；（3）如果两个角相等，那么它们的余角也相等；是真命题．
六、用
（一）必做题
1、下列句子中哪一个是命题（ ）
A．你的作业完成了吗？ B．美丽的天空
C．猴子是动物 D．过直线l外一点作l的平行线
1、解：猴子是动物是命题．
故选：C．
2、下列命题是假命题的是（ ）
A．如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3 B．对顶角相等
C．如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除 D．内错角相等
2、解：A、如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3，正确，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除，正确，是真命题，不符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．
故选：D．
3、对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1=∠2=45° B．∠1=50°，∠2=50°
C．∠1=50°，∠2=40° D．∠1=40°，∠2=40°
3、解：A、满足条件，不满足结论，故 A选项正确，符合题意；
B、不满足条件，也不满足结论，故 B选项错误，不符合题意；
C、满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故C项错误，不符合题意；
D、不满足条件，也不满足结论，故 D选项错误，不符合题意．
故选：A．
4、命题：两个锐角的和是锐角．则这个命题是 命题．（填“真”或“假”）
4、解：60°+50°=110°＞90°，
所以命题：两个锐角的和是锐角．则这个命题是假命题，
故答案为：假．
5、一个命题由“条件”和“结论”两部分组成，则命题“同角的余角相等”的条件是
．
5、解：“同角的余角相等”改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等”．
所以：“同角的余角相等”的条件是：两个角是同一个角的余角；结论是：它们相等，
故答案为：两个角是同一个角的余角．
6、已知∠ABC的两边与∠DEF的两边分别平行，即AB∥DE，BC∥EF，试探究：
（1）如图1，∠B与∠E的关系是 ；
（2）如图2，写出∠B与∠E的关系，并说明理由；
（3）根据上述探究，请归纳概括出一个真命题．
6、解：如图：
（1）∵AB∥DE，
∴∠B=∠DGC，
∵BC∥EF，
∴∠E=∠DGC，
∴∠B=∠E，
故答案为：∠B=∠E；
（2）∠B+∠E=180°，
理由如下：∵AB∥DE，
∴∠B+∠DGB=180°，
∵BC∥EF，
∴∠E=∠DGB，
∴∠B+∠E=180°；
（3）归纳：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
（二）选做题
7、已知：如图，△ABC中，点D、E是边BC上的两点，点G是边AB上一点，连接EG并延
长．交CA的延长线于点F．从以下：①AD平分∠BAC，②EF∥AD，③∠AGF=∠F，三个条
件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的数学命题，并加以证明．
条件： ，结论： ．（填序号）
证明：．7、解：条件是①AD平分∠BAC，②EF∥AD；结论是③∠AGF=∠F，
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∵EF∥AD，
∴∠AGF=∠BAD，∠F=∠DAC，
∴∠AGF=∠F，
故答案为：①AD平分∠BAC，②EF∥AD；③∠AGF=∠F．
8、（1）如图，DE∥BC，∠1=∠3，CD⊥AB，试说明FG⊥AB；
（2）若把（1）中的题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题是否为真命题？试
说明理由．
8、解：（1）∵DE∥BC，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CD∥FG，
∵CD⊥AB，
∴FG⊥AB；
（2）把题设中的“DE∥BC”与结论“FG⊥AB”对调，所得命题为真命题，理由如下：
∵FG⊥AB，CD⊥AB，
∴FG∥CD，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴DE∥BC．
