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第十八章 平行四边形
18.1.2平行四边形的判定 第1课时
一、温故知新（导）
通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过
来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？这是今天我们
要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、掌握平行四边形的判定定理1,2,3；
2、会熟练运用平行四边形的三种判定定理进行有关证明和计算.
学习重难点
重点：平行四边形判定定理的证明；
难点：综合运用平行四边形的性质与判定解决问题.
二、自我挑战（思）
1、平行四边形的定义知：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义既
可以作为平行四边形的性质又可以作为它的一个判定.
如图18.1-10：用几何语言表示为：
∵AB ∥ CD，AD ∥ BC，
∴四边形ＡBCD是平行四边形.
2、尝试写出平行四边形性质的逆命题,请你猜想逆命题是否是真命题.
① 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ；
② 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ；
③ 对角线互相平分的四边形是平行四边 形 .
猜想： 它们的逆命题是真命题 .3、请你运用以前所学习的知识点证明出你的猜想.(可以选择其中的两个命题进行规范证
明，再口头证明另外一个命题）
（1）求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（要求：结合图形写出已知，求
证，证明）
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接BD.
∵ AB=CD，AD=CB，BD=DB
∴ △ABD≌△CDB (SSS)
∴ ∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD
∴ AB∥CD，AD∥CB
∴ 四边形ABCD是平行四边形
定理的几何语言表示：
∵ AB=CD ， AD=CB
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形
（2）求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中， ∠ A=∠C ，∠ B=∠D .
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=360°
又 ∠A=∠C，∠B=∠D
∴ ∠A+∠D=180°，∠A+∠B=180°
∴ AB∥CD，AD∥CB
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
定理的几何语言表示：
∵ ∠A=∠C ，∠ B=∠D
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 .
（3）求证：两天对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中， OA=OC ， OB=OD .
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵ OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB
∴ △AOD≌△COB (SAS)∴ ∠OAD=∠OCB
∴ AD∥BC
同理 AB∥DC
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
定理的几何语言表示：
∵ OA=OC ， OB=OD ；
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 .
4、总结归纳平行四边形的判定定理.
（ 1 ） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ；
（ 2 ） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ；
（ 3 ） 对角线互相平分的四边形是平行四边 形 .
三、互动质疑（议、展）
1、由上面我们知道，平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理.
1、实例：
例3 如图18.1-11， ▱ABCD的对角线 AC，BD相较于点 O，E、F是AC上的两点，并且
AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形.
例3 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
又∵AE=CF，
∴OE=OF．
∴四边形BFDE是平行四边形．
2、例题中运用到了哪些知识点：
平行四边形的性质和平行四边形的判定 .
3、你还有其他证明方法吗？方法一： 分别证明△ ADE≌△CBF ，△ ABE≌△CDF ，得 DE=BF ， BE=DF ，也能证明四边
形 DEBF 是平行四边形；
方法二： 也可以证明∠ BEF=∠DFE ，∠ DEF=∠BFE ，得 BE∥DF ， DE∥BF ，利用平行四
边形定义证明四边形 BEDF 是平行四边形 .
方法三： 同样也可以通过三角形全等，推出两组对角相等，进而得出四边形 BEDF 是平
行四边 形 .
4、根据已知条件，你认为运用平行四边形的哪一个判定定理证明较简便？
用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这个判定定理证明简便 .
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、∠A：∠B：∠C：∠D的比值中，能判断四边形 ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：3：3：1
C．2：2：3：3 D．2：3：2：3
1、解：∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴只有D符合条件．
故选：D．
2、如图，能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．AB=AD，CB=CD B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB∥CD，∠B+∠C=180° D．AB=CD，AD=BC
2、解：能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是AB=CD，AD=BC，理由如下：
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
故选：D．
3、如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点OA=OC，请你添加一个条
件，使四边形ABCD是平行四边形，你添加的条件是（ ）A．AC=BD B．OA=OB C．OA=AD D．OB=OD
3、解：添加一个条件，使四边形 ABCD 是平行四边形，添加的条件是 OB=OD，理
由如下：
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：D
4、若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB=OD，AC=24cm,则当
OA= cm时，四边形ABCD是平行四边形．
4、解：当OA=12cm时，OC=24-12=12（cm），
∴OC=OA，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：12．
5、如图，已知四边形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C、A，AD=BC．
（1）求证：Rt△ACD≌Rt△CAB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
{AD＝BC
5、证明：（1）在Rt△ACD和Rt△CAB中， ，
AC＝CA
∴Rt△ACD≌Rt△CAB（HL）；
（2）∵△ACD≌△CAB，
∴AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．6、如图，四边形 ABCD的对角线 AC，BD交于点O，OA=OC，∠BAC=∠DCA，求
证：四边形ABCD是平行四边形．
{∠AOB＝∠COD
6、证明：在△AOB与△COD中， OA＝OC ，
∠BAO＝∠DCO
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
六、用
（一）必做题
1、一个四边形的四个内角的度数依次为 88°，92°，88°，92°，我们判定其为平行四
边形的依据是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1、解：∵一个四边形的四个内角的度数依次为 88°，92°，88°，92°，
∴度数为 88°的两个内角是一组相等的对角，度数为 92°的两个内角是另一组相等的
对角，
∴这个四边形是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）．
故选：B．
2、如图，已知▱ABCD，点 E，F 在对角线 AC 上，且 AE=CF，连接 DE，DF，
BE，BF．求证：四边形DEBF为平行四边形．以下是排乱的证明过程：
①∴四边形DEBF为平行四边形；
②∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD=OB，OA=OC；③连接BD，交AC于点O；
④∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，证明步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④ B．③④②①
C．③②④① D．④③②①
2、解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，
∵BO=DO，
∴四边形DEBF为平行四边形．
故选：C．
3、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=CD，
AD=BC，则图中的全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3、解：共4对，△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，
{AB＝CD
理由是：在△ABD和△CDB中 AD＝BC，
BD＝BD
∴△ABD≌△CDB，同理△ACD≌△CAB，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD，
同理△AOD≌△COB，
故选：D．
4、如图，在▱ABCD中，点K为AD中点，连接BK交CD的延长线于点E，连接
AE、BD．求证：四边形ABDE为平行四边形．
4、证明：∵点K为AD中点，
∴AK=KD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABK=∠DEK，∠BAK=∠EDK，
{∠ABK＝∠DEK
在△ABK与△DEK中， ∠BAK＝∠EDK，
AK＝KD
∴△ABK≌△DEK（AAS），
∴BK=EK，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（二）选做题
5、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）请连接BF，CE，试判断BF，CE有什么关系，并说明理由；
5、解：（1）证明：∵CF∥BE，
∴∠EBD=∠FCD，
∵ D是BC边的中点，
∴BD=CD，
又∵∠BDE=∠CDF，
∴△BDE≌△CDF（ASA）．
（2）BF∥CE，BF=CE，理由如下：
如图所示，
由（1）△BDE≌△CDF，
∴ED=FD,
又∵BD=CD,
∴四边形BECF是平行四边形，
∴BF∥CE，BF=CE.
6、如图，四边形 ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F、E为四边形ABCD外一
点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB=3，AD=4，求AC的长．6、（1）证明：∵∠ADE=∠BAD，
∴AB∥ED，
∵AE⊥AC，
∴∠EAC=90°，
∵BD垂直平分AC，
∴∠BFA=90°，
∴∠EAC=∠BFA，
∴AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
（2）解：∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ADB，
∵∠ADE=∠BAD，
∴∠ADB=∠BAD，
∴BA=BD，
∵AB=3，
∴BD=3
过B作BH⊥AD，
1
∴AH＝HD＝ AD＝2，
2
∴BH＝ ＝ ，
√32−22 √5
∵BD垂直平分AC，则AF=FC，1 1
∵S△ABD＝ DA⋅BH＝ DB⋅AF，
2 2
DA⋅BH 4√5
∴AF＝ ＝ ，
DB 3
8√5
∴AC＝ ．
3
