文档内容
第 6 章 实数
6.2立方根
一、温故知新（导）
1、如图，已知小正方体的棱长为2，那么它的体积是多少？
V=23=8
2、如果大正方体的体积V=64，你能不能求出它的棱长x呢？
这就是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点.
学习目标
1.了解立方根的概念，会用立方运算求一个数的立方根；
2.了解立方根的性质，并学会用计算器计算一个数的立方根或立方根的近似值．
学习重难点
重点：立方根的概念与性质.
难点：会用开立方运算求一个数的立方根.
二、自我挑战（思）
1、要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长是多少m？
解：设这种包装箱的棱长为 x m，
则 x3=27.
这就是要求一个数，使它的立方等于27.
因为33=27，所以 x=3.
因此这种包装箱的棱长应为3m.
2、立方根：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的 立方根 或 三次方根 .这
就是说，如果 x3=a，那么x叫做a的 立方根 .注意：一个数a的立方根可以表示为:√3 a，读作:三次根号 a，其中a是被开方数，3是根指数，3不
能省略.
3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做 开立方 .
4、根据立方根的意义填空.你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？
因为 23 =8，所以8的立方根是( 2 )；
因为( 0.4 )3 =0.064，所以0.064的立方根是( 0.4 )；
因为( 0 )3＝0，所以0的立方根是( 0 )；
因为( -2 )3＝8，所以8的立方根是( 2 )；
2 8 8 2
因为( )3＝ ，所以 的立方根是( ).
3 27 27 3
归纳：立方根的性质：
（1）正数的立方根是正数；
（2）0 的立方根是 0；
（3）负数的立方根是负数.
5、填空：
因为 √ 3 8= - 2 ， √ 38 = -2 ，
所以 √ 3 8 = √ 38；
因为 √ 3 27 = -3 ，√ 327 = -3 ，
所以 √ 3 27 = √ 327 .
归纳：一般地，√3−a=−√3 a.
三、互动质疑（议、展）
1、立方根是它本身的数有 1 、 - 1 、 0 .
2、开立方与立方的关系：
开立方与立方互为 逆 运算，可以利用开立方求一个数的 立方根 ，也可以利用立方来检验一个
数是不是某个数的 立方根 .
3、用计算器求一个数的立方根的方法：
一些计算器设有
√
3
❑
键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值).实际上，很多有理数的
立方根是无限不循环小数，我们可以用有理数近似地表示它们.
如：用计算器求√31845，可以按照下面的步骤进行：
解:依次按键按 ，显示12.26494081
∴
有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根.可依次按键 ，显示：
12.26494081
（1）用计算器计算…，√ 30.000216，√ 30.216，√ 3216，√ 3216000，…，你能发现什么规律？
解：√ 30.000216=0.06，√ 30.216=0.6，√ 3216=6，√ 3216000=60
规律：被开方数的小数点向右每移动 3 位,它的立方根的小数点就向右移动 1 位;被开方数的小
数点向左每移动 3 位,它的立方根的小数点就向左移动 1 位.
（2）用计算器计算√ 3100 (精确到0.001)，并利用你发现的规律求√ 30.1，√ 30.0001，√ 310000的近
似值.解：√ 3100≈4.642
由√ 3100≈4.642，得
√
30.1≈0.4642
√
30.0001≈0.04642
√
310000≈46.42
5、实例：
例 求下列各式的值：
(1) √ 364 ； (2) √ 3 1 ； (3) √3 27 .
8 64
解：(1) √ 364=4；
(2)
√3 1
=
1
；
8 2
(3)
√3 27
=
3
.
64 4
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、2．计算√3−64的结果是（ ）
A．-8 B．-4 C．±8 D．±4
1、解：√3−64=-4．
故选：B．
2、下列说法正确的是（ ）
8 2
A． 的立方根是± B．-125没有立方根
27 3
C．0的立方根是0 D．√3 −82＝4
8 2
2、解： 的立方根是 ，故A错误．
27 3
-125的立方根是-5，故B错误．
零的立方根是0，故C正确．√3 −82=-4，故D错误．
故选：C．
3、下列运算正确的是（ ）
A．√4＝±2 B．（-3）3=27 C．√4=2 D．√3 9=3
3、解：A、√4＝2，错误；
B、（-3）3=-27，错误；
C、√4＝2，正确；
D、√3 9＝√3 9，错误；
故选：C．
4、√64的立方根是 ．
4、解：√64=8，√38=2．
故答案为：2．5、方程3x3=81的根是 ．
5、解：两边都除以3，得x3=27，
开立方，得x=3，
故答案为：x=3．
6、求下列各式中的x.
（1）（x-1）2-8=1．
（2）27+（1-2x）3=0．
6、解：（1）（x-1）2-8=1，
（x-1）2=9，
x-1=3或x-1=-3，
x=4或x=-2；
（2）27+（1-2x）3=0，
（1-2x）3=-27，
1-2x=-3，
x=2．
六、用
（一）必做题
1、下面说法错误的是（ ）
A．2是8的立方根 B．±4是64的立方根
1 1
C．− 是- 的立方根 D．（-3）3的立方根是-3
3 27
1、解：A．由于23=8，所以2是8的立方根，因此选项A不符合题意；
B．由于43=64，所以4是64的立方根，（-4）3=-64，所以-4是-64的立方根，因此选项B
符合题意；
1 1 1 1
C．由于（- ）3=- ，所以- 是- 的立方根，因此选项C不符合题意；
3 27 3 27
D．（-3）3=-27，而-27立方根是-3，所以（-3）3的立方根是-3，因此选项D不符合题意；
故选：B．
2、下列说法正确的是（ ）
A．±5是25的算术平方根 B．±4是64的立方根
C．-2是-8的立方根 D．（-4）2的平方根是-4
2、解：A、±5是25的平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、4是64的立方根，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、-2是-8的立方根，原说法正确，故此选项符合题意；
D、（-4）2=16，16的平方根是±4，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
3、如果√32.37≈1.333，√323.7≈2.872，那么√32370约等于（ ）
A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.13333、解：∵√32.37≈1.333，
∴√32370≈13.33，
故选：C．
4、若一个数3a+2的立方根是5，则a-5的平方根为 ．
4、解：因为3a+2的立方根是5，
所以3a+2=125，
解得：a=41，
所以a-5=41-5=36，
36的平方根是±6；
故答案为：±6．
5、一个正数a的两个平方根是m+7和2m-1，则√3 a−m= ．
5、解：m+7+2m-1=0，
解得m=-2，
∴a=（-2+7）2=52=25，
∴a-m=25-（-2）=27，
即a-m的立方根为3．
故答案为：3．
6、请根据如图所示的对话内容回答下列问题．
（1）求该魔方的棱长；
（2）求该长方体纸盒的表面积．
6、解：（1）设魔方的棱长为xcm,可得：x3=216，
解得：x=6
答：该魔方的棱长6cm；
（2）设该长方体纸盒的长为ycm,则6y2=600，
故y2=100，解得：y=±10
因为y是正数，所以y=10
10×10×2+10×6×4=440（平方厘米）
答：该长方体纸盒的表面积为 440平方厘米．
（二）选做题
7、已知一个正方体的体积是1000cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正
方体，使截去后余下的体积是 488cm3，问截得的每个小正方体的棱长是多少？
7、解：设截得的每个小正方体的棱长 xcm,
依题意得
1000-8x3=488，
∴8x3=512，
∴x=4，
答：截得的每个小正方体的棱长是 4cm.8、利用计算器计算：√31331=
，
√31.331= ，
√3 0.001331= ，
√31331000= ，
√31331000000= ，
（1）根据上述结果，你能发现什么规律？
（2）根据你发现的规律，直接填空：
若 =a,则 = ， = ， = ， = ．
√32 √30.002 √32000 √32000000 √30.000002
8、解：（1）√31331=11，
√31.331=1.1，
√3 0.001331=0.11，
√31331000=110，
√31331000000=1100，
故填：11，1.1，0.11，110，1100．
观察可得：开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左每移动 3位，它的立方根的小数点
向右或向左移动1位．
（2）√32=a，
则√30.002=0.1a，√32000=10a，√32000000=100a，√30.000002=0.01a．
故填：0.1a,10a,100a,0.01a.
