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第十八章 平行四边形
第2课时18.2.2 菱形的判定
一、温故知新（导）
1、菱形的定义：有一组 邻边 相等的 平行四边形 是菱形.
2、菱形的性质：菱形的四边都 相等 ，菱形的两条对角线互相 垂直 ，并且每一条对角线
平分一组 对角 .
3、除了定义外，你还能判定一个四边形（或平行四边形）是菱形吗？这就是今天我们要学的内容，
下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、理解并掌握矩菱形的定义及其它两个判定方法.
2、能运用菱形的判定方法进行有关的论证和计算.
学习重难点
重点：菱形的判定方法；
难点：菱形判定定理的证明及灵活运用.
二、自我挑战（思）
1、我们知菱形的对角线互相垂直. 反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
（1）猜想： 对角线互相垂直 的平行四边形是菱形.
（2）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，且BD⊥AC.
求证：□ABCD是菱形.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO
∵ BD⊥AC
∴ AB=BC (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)
∴ □ABCD是菱形
（3）结论：
菱形的判定定理：对角线互相 垂直 的平行四边形是菱形.2、我们知道菱形的四条边相等. 反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？
（1）猜想： 四条边相等 四边形是菱形.
（2）求证：四条边相等四边形是菱形.
已知：如图，四边形ABCD，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵ AB=CD，BC=AD,
∴ 四边形ABCD是平行四边形,
又∵ AB=BC,
∴ 四边形ABCD是菱形.
（3）结论：
菱形的判定定理：四条边 相等 的四边形是 菱形 .
三、互动质疑（议、展）
1、菱形的判定方法有哪些？
（1）一组邻边 相等 的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相 垂直 的平行四边形是菱形；
（3）四条边 相等 的四边形是菱形.
2、实例：
例4 如图18.2-10，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.
求证：□ABCD是菱形.
证明：∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AB2=AO2+BO2．
∴△OAB是直角三角形．
∴AC⊥BD．
∴四边形ABCD为菱形．
四、清点战果（评）今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、在下列条件中，能够判定▱ABCD为菱形的是（ ）
A．AB=AC B．AC⊥BD C．AC⊥BC D．AC=BD
1、解：能够判定▱ABCD为菱形的是AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD为菱形，
故选：B．
2、下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）
A．对角线垂直 B．两对角线相等
C．两对线互相平分 D．两对角线互相垂直平分
2、解：A、∵对角线垂直的四边形不一定是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵两条对角线相等的四边形不是菱形，
∴选项B不符合题意；
C、∵两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
3、如图，AP是△ABC的角平分线，MN垂直平分AP，且交AP于点D，判断以下结论错误
的是（ ）
A．MP∥AC B．AM=AN
C．PA是∠MPN的平分线 D．四边形AMPN是矩形
3、解：∵MN垂直平分AP，
∴AM=PM，AN=PN，
∴∠MAP=∠MPA，∠NAP=∠NPA，
∵AP是△ABC的角平分线，
∴∠MAP=∠NAP，
∴∠MAP=∠MPA=∠NAP=∠NPA，
∴AM∥PN，MP∥AC，
∴四边形AMPN是平行四边形，
又∵AM=PM，
∴平行四边形AMPN是菱形，
∴AM=AN，PA是∠MPN的平分线，
故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
4、如图，已知AC⊥BD，且OB=OD，请你添加一个适当的条件 ，使
ABCD成为菱形．（只需添加一个即可）4、解：OA=OC，
∵OB=OD，OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA=OC．
5、如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形 ABED
是菱形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
5、解：这个条件可以是 AB=AD，理由如下：
由平移的性质得：AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AB=AD，
∴平行四边形ABED是菱形，
故答案为：AB=AD（答案不唯一）．
6、如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在 BD 上，且
BE=DF．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形 AECF是菱形；并给予证明．
6、（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADF=∠CBE，
{ AD＝CB
在△ADF和△CBE中， ∠ADF＝∠CBE，
DF＝BE
∴△ADF≌△CBE（SAS）；
（2）解：补充的条件是：AC⊥BD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形．
六、用
（一）必做题
1、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，BO=DO．添加下列条
件，能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB=AD B．AC=BD
C．∠ABC=90° D．AO=BO
1、解：∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
A．当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形，符合题意；
B．当AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，不符合题意；
C．当∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，不符合题意；
D．当AO=BO时，∵AO=CO，BO=DO，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，不符合题意．
故选：A．
2、如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF．请问下列条件
中不能使 ABCD为菱形的是（ ）
A．∠1=∠2 B．DE=DF C．∠3=∠4 D．AD=CD
2、解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
{∠1＝∠2
在△ADE和△CDF中， ∠A＝∠C，
AE＝CF
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AD=CD，
∴▱ABCD为菱形，故选项A不符合题意；
B、由AE=CF，DE=DF，∠A=∠C，不能判定△ADE≌△CDF，
∴不能得出AD=CD，
∴不能使▱ABCD为菱形，故选项B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
{∠3＝∠4
在△ADE和△CDF中， AE＝CF ，
∠A＝∠C
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AD=CD，
∴▱ABCD为菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AD=CD，
∴▱ABCD为菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
3、如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接
AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（ ）
A．OE=OF B．AE=CF C．EF⊥AC D．EF=AC
3、解：A、∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
∵OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO=∠CFO，
∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
{∠AEO＝∠CFO
在△AOE和△COF中， ∠AOE＝∠COF，
OA＝OC
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形，故选项C符合题意；
D、∵EF=AC，
∴平行四边形AFCE是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
4、已知A（0，3），B（6，0），点C是x轴正半轴上一点，D是同一平面内一点，若以
A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点 D的坐标为 ．
4、解：当AB为菱形的对角线时，如图 1，设菱形的边长为m,
∵A（0，3），B（6，0），
∴OA=3，OB=6，
∵四边形ABCD为菱形，
∴CA=AD=BC，AD∥BC，
∴CA=CB=6-m,
15
在Rt△AOC中，32+（6-m）2=m2，解得m= ，
4
15
∴D（ ，3）；
4
当AB为菱形的边时，如图2，
AB=√9+36=3√5，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=AB=AD=3√5，AD∥BC，
∴D（3√5，3），
15
综上所述，D点坐标为（3√5，3）或（ ，3），
4
15
故答案为：（3√5，3）或（ ，3）．
4
5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE
的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．
5、证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，{∠AFE＝∠DBE
在△AFE和△DBE中， ∠FEA＝∠BED，
AE＝DE
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF=DB．
∵DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
1
∴AD=DC= BC，
2
∴四边形ADCF是菱形．
（二）选做题
6、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是
OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是 ．（填序号）
①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③EA平分∠GEF；④FB平分∠EFG；⑤四边形BEFG是菱形．
6、解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：
∵E、F分别是OC、OD的中点，
1
∴EF∥CD，且EF= CD，
2
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB=CD，
∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），
∵点G为AB的中点，
1
∴BG=
21
AB= CD=FE，
2
{ BG＝FE
在△EFG和△GBE中， ∠FEG＝∠BGE，
¿＝EG
∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，
∴∠EGF=∠GEB，
∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），
∵BD=2BC，点O为平行四边形对角线交点，
1
∴BO= BD=BC，
2
∵E为OC中点，
∴BE⊥OC，
∴GP⊥AC，
∴∠APG=∠EPG=90°
∵GP∥BE，G为AB中点，
∴P为AE中点，
1
即AP=PE，且GP= BE，
2
{ AP＝EP
在△APG和△EGP中， ∠APG＝∠EPG，
GP＝GP
∴△APG≌△EPG（SAS），
1
∴AG=EG= AB，
2
∴EG=EF，即①成立，
∵EF∥BG，GF∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形，
∴GF=BE，
1 1
∵GP= BE= GF，
2 2
∴GP=FP，
∵GF⊥AC，
∴∠GPE=∠FPE=90°
{ GP＝FP
在△GPE和△FPE中， ∠GPE＝∠FPE，
EP＝EP
∴△GPE≌△FPE（SAS），
∴∠GEP=∠FEP，
∴EA平分∠GEF，即③成立．
故答案为：①②③．
7、如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、
G依次连接，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度；
（3）连接AO，直接写出当AO和 相等时，四边形DEFG是菱形．7、解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，
1
∴DG∥BC，DG= BC，
2
∵E、F分别是OB、OC的中点，
1
∴EF∥BC，EF= BC，
2
∴DG=EF，DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，OM=3，
∴EF=2OM=6．
由（1）有四边形DEFG是平行四边形，
∴DG=EF=6；
（3）AO和BC相等时，四边形DEFG是菱形．证明如下：
由（1）得，四边形DEFG是平行四边形，
1 1
∴EF= BC，DE= AO，
2 2
如果AO=BC，那么EF=DE，
∴四边形DEFG是菱形．
