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第十八章 平行四边形
第1课时18.2.1 矩形的性质
一、温故知新（导）
1、平行四边形具有哪些性质？
（1）平行四边形的两组对边分别平行；
（2）平行四边形的两组对边分别相等；
（3）平行四边形的两组对角相等；
（4）平行四边形的对角线互相平分 .
2、这节课我们将学习一种特殊的平行四边形—— 矩形 .什么样的平行四边形叫矩形、矩形
具有哪些性质？这些就是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、掌握矩形的性质定理，能运用它进行有关的证明和计算.
2、掌握直角三角形斜边上的中线的性质，能运用它解决直角三角形中的线段求值问题.
学习重难点
重点：矩形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
难点：矩形性质的证明及灵活运用.
二、自我挑战（思）
1、如图18.2-1，当平行四边形的一个角为 直角 时，这时的平行四边形是个 特殊 的平
行四边形.
2、什么叫矩形？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 .
3、如图18.2-2， ▱ABCD，∠B=900，根据矩形的定义， ▱ABCD是矩形，它除了具有平行四边
形的性质外，还具有哪些性质呢？
（1）四个角都是什么角吗？
四个角都是直角 .（2）两条对角线的长度又有什么关系？（提示：可以测量一下）
对角线相等 .
4、猜想： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等 .
5、证明猜想：
（1）求证：矩形的四个角都是直角.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠B=900.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=900.
证明：∵ ▱ABCD是矩形，∠B=900.
∴∠B=∠D=900，∠A=∠C，AD∥BC，
∴∠A+∠B=1800，
∴∠A=900，
∴∠A=∠C=900，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900.
（2）求证：矩形的对角线相等.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，
求证：AC=BD
证明：∵ 四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC=∠DCB=90°
又∵ AB=DC，BC=CB，
∴ △ABC≌△DCB (SAS)，
∴ AC=BD
6、结论：
矩形的性质：矩形的四个角都是 直角 ；矩形的对角线 相等 .
7、如图18.2-3，矩形ABCD的对角线AC、BD相较于点O，BO与AC有什么关系？
说明你的理由.1
解：BO= AC
2
理由：∵ 四边形ABCD是矩形，
1
∴AC=BD，BO= BD，
2
1
∴BO= AC.
2
8、结论：
直角三角形的性质： 直角三角形斜边上的中线等于 斜边 的一半.
三、互动质疑（议、展）
1、如图18.2-3，四边形ABCD是矩形，相等的线段有哪些？
OA=OB=OC=OD ； AB=CD ； AD=BC .
2、每一条对角线是对角的平分线吗？
不是 .
3、实例：
例1 如图18.2-4，矩形ABCD 对角线AC、BD相较于点O，∠AOB=600，AB=4.求矩形对角
线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
1 1
∴OA= AC，OB= BD，AC=BD，
2 2
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=BD=2OA=8.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、关于矩形的性质、下面说法错误的是（ ）
A．矩形的四个角都是直角
B．矩形的两组对边分别相等
C．矩形的两组对边分别平行
D．矩形的对角线互相垂直平分且相等
1、解：A、矩形的四个角都是直角，说法正确，不符合题意；
B、矩形的两组对边分别相等，说法正确，不符合题意；
C、矩形的两组对边分别平行，说法正确，不符合题意；D、矩形的对角线互相平分且相等但不一定垂直，说法错误，符合题意；
故选：D．
2、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB=25°，则∠AOB
的大小是（ ）
A．130° B．65° C．50° D．25°
2、解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
1 1
∴OA=OC= AC，OB=OD= BD，
2 2
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB=25°，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=25°+25°=50°，
故选：C．
3、如图，两条公路AC，BC恰好互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得
AM的长为0.9km,则M，C两点间的距离为（ ）
A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km
3、解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∵公路AB的中点M与点C被湖隔开，
若测得AM的长为0.9km,
1
∴CM＝AM＝ AB＝0.9km，即M、C两点间的距离为0.9km.
2
故选：C．
4、如图，矩形ABCD中，∠AOB=60°，AB=√3，则BC的长为 ．
4、解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OB=OC，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，∴AO=BO=AB=√3=OC，
∴AC=2√3，
∴BC= = =3，
√AC2+AB2 √12−3
故答案为：3．
5、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边夹角为 70°，那么这个直角三角形的较小的
内角是 0 .
5、解：如图，
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD=AD=DB，
∴∠A=∠ACD，
∵斜边上的中线与斜边所成的锐角为 70°，即∠BDC=70°，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A=70°，
解得∠A=35°，
另一个锐角∠B=90°-35°=55°，
∴这个直角三角形的较小内角的度数为 35°．
故答案为：35．
6、如图，在矩形 ABCD 中，BD 是对角线，BE、DF 分别平分∠ABD、∠CDB，交边
AD、BC于点E、F．
（1）若BE=2，∠ABE=30°，求BD的长．
（2）求证：AE=CF．
6、（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵BE=2，∠ABE=30°，
1
∴AE＝ BE＝1，
2
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABE=60°，
∴∠ADB=90°-∠ABD=30°，
∴BD=2AB；
由勾股定理得AB= = = ，
√BE2+AF2 √22+12 √3
∴BD＝2√3；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，∵BE、DF分别平分∠ABD、∠CDB，
1 1
∴∠ABE＝ ∠ABD，∠CDF＝ ∠CDB，
2 2
∴∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF．
六、用
（一）必做题
1、下列性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．邻边互相垂直
1、解：∵矩形的对角线互相平分且相等，邻边互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，
∴矩形不一定具有的是对角线互相垂直，
故选：A．
2、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=12，则
四边形CODE的周长为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
2、解：∵四边形ABCD是矩形，
1
∴AO=CO=BO=DO= AC=6，
2
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO是平行四边形，
∴DO=CE=6，DE=CO=6，
∴四边形CODE的周长=DO+CE+DE+CO=24，
故选：C．
3、如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB=2，∠ABE=45°，则
DE的长为（ ）
√1
A．2√2-2 B． -1 C．√3-1 D．2√2
2
3、解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠A=90°，
∵AB=2，∠ABE=45°，∴AE=AB=2，
∴BE= =2 ，
√AB2+AE2 √2
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ECB，
∵EC平分∠BED，
∴∠BEC=∠DEC，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BC=BE=2√2，
∴AD=2√2，
∴DE=AD-AE=2√2-2，
故选：A．
4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=54°，D是AB的中点，则∠BCD= ．
4、解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=54°，
∴∠B=36°，
∵D为线段AB的中点，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B=36°．
故答案是：36．
5、已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=2．对角线 AC 的垂直平分线分别交
AB、CD于点E、F．求线段CF的长．
5、解：连接AF，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，DC=AB=4，∠D=90°，
∵EF垂直平分AC，
∴AF=CF，
∵AD2+DF2=AF2，且DF=4-CF，
∴22+（4-CF）2=CF2，
5
解得CF= ，
2
5
∴CF的长为 ．
2
（二）选做题
6、如图，在△ABC 中，CE、BD 分别是 AB、AC 边上的高线，M 是 BC 的中点，连结
DE、EM、MD．
（1）求证：ME=MD；
（2）若∠A=45°，求∠EDM的度数．
6、（1）证明：∵CE、BD分别是AB、AC边上的高线，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
∵M是BC的中点，
1 1
∴EM= BC，DM= BC，
2 2
∴ME=MD；
（2）解：∵∠A=45°，
∴∠ABC+∠ACB=135°，
∵EM=BM，DM=CM，
∴∠BEM=∠ABC，∠MDC=∠ACB，
∴∠EBM+∠BEM+∠ACB+∠MDC=135°×2=270°，
∴∠EMD+∠DMC=180°×2-270°=90°，
∵ME=MD，
∴∠EDM=45°．
7、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一动点，过点P
分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F；PE+PF的值是定值吗？如果不是，请说明理由；如
果是定值请求出这个定值．12
7、解：PE+PF的值是定值，定值为 ，
5
如图所示，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，
∵AB=3，AD=4，
1 1
∴由勾股定理可得BD＝√32+42＝5，S
△ABD
＝
2
AB•AD＝
2
BD•AG，
1 1
即 ×3×4＝ ×5×AG，
2 2
12
解得：AG＝ ，
5
在矩形ABCD中，OA=OD，
1 1 1
∵S ＝ OA•PE+ OD•PF＝ OD•AG，
△AOD
2 2 2
12
∴PE+PF＝AG＝ ．
5
