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七年级下册数学《第六章 实数》
6.1 平 方 根
算术平方根的定义和性质
知识点一
◆1、算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
√a
a的算术平方根记作： ，读作:“根号a”.
即 x2=a (x>0)
√a
x叫做a的算术平方根，记作：x= .
√0
规定：0的算术平方根是0. 记作: =0.
◆2、算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性.
①被开方数一定是非负数，即a≥0.
√a
②一个非负数的算术平方根也是非负数，即 ≥0.
◆3、求一个正数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算，因而，求一个数的算术平
方根实际上可以转化为求一个正数的平方运算，但是，只有正数和 0有算术平方根，负数没有算术平方
根.
◆4、被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
【注意】
√a 实际上省略了√2a中的根指数2，不要误认为根指数是1或没有，因此 √a
也读作：“二次根号
a”.
算术平方根的估算
知识点二
◆求一个正数（非完全平方数）的算术平方根的近似值，一般采用逼近法，是指从两边确定取值范围，一
点一点加强限制，使其所处范围越来越小，从而达到理想的精确程度.
用计算器求算术平方根
知识点三◆1、在求某些数的算术平方根时，有些数很大或很小，或不易求出算术平方根，为了提高计算速度，我
们可以利用计算器，按照一定的按键顺序直接快速地求出这个数的算术平方根.
√
◆2、大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).
平方根的定义和性质
知识点四
◆1、平方根的定义： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这
就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
◆2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方互为逆运算，运用这种关系可以求
一个数的平方根.
√a √a
◆3、平方根的表示方法：正数a的算术平方根可以表示为 ，正数a的负的平方根，可以表示为- .
√a
正数a的平方根可以用± 表示，读作“正、负根号a”．
◆4、算术平方根与平方根的联系和区别：
联系：（1）包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
（2）只有非负数才有平方根和算术平方根.
（3） 0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：（1）个数不同：一个正数有两个平方根， 但正数算术平方根只有一个.
（2）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为 ，正数a的平方根表示为 ；
◆5、平方根的性质：
①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.题型一 求一个数的算术平方根
【例题1】求下列各数的算术平方根：
1 3
（1）144； （2）0.49； （3）6 ； （4）（− ）2．
4 2解题技巧提炼
根据算术平方根的概念求一个数的算术平方根，（1）当遇到求带分数的算术平方
根的题目时，应先将带分数化成假分数再进行计算；（2）求一个数的算术平方根
是多少，首先要知道哪个非负数的平方等于这个数.
【变式1-1】（2022秋•宁强县期末）√9的值等于（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．5
【变式1-2】（2022秋•泰山区校级期末）√16的算术平方根是（ ）
A．4 B．2 C．±4 D．±2
【变式1-3】（2022秋•伊川县期末）√36的算术平方根是（ ）
A．±6 B．6 C．±√6 D．√6
【变式1-4】（2022•济宁三模）若√a=5，则a的值为（ ）
A．10 B．√5 C．25 D．±25
【变式1-5】（2022春•老河口市月考）设x＝﹣22，y ，那么xy等于（ ）
=√(−3) 2
A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6
【变式1-6】求下列各式的值：
√25
（1）√144； （2） ； （3）√10000； （4）√0.0049．
49
题型二 算术平方根的非负性【例题2】（2022秋•崇川区校级月考）已知a，b满足（a﹣1）2+√b+2=0，则a+b的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．0
解题技巧提炼
1、算术平方根√a具有双重非负性,即被开方数a≥0且√a≥0，√a 中隐含条件
a≥0要灵活运用.
2、几个非负数的和为0，其中的每一个非负数都必须等于0.
【变式2-1】（2022秋•桂平市期末）若 ，则mn的值是 ．
√m+2+(n−3) 2=0
【变式2-2】（2022秋•薛城区校级月考）已知实数x，y满足|x+3|+√y−2=0，则代数式（x+y）2022的值
为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2018 D．﹣2018
【变式2-3】已知a，b为实数，且√1+a+√1−b=0，则a2022﹣b2023＝ ．
【变式2-4】（2022春•蜀山区校级期中）若√a−1与|b+√2|互为相反数，则a+b的绝对值为（ ）
A．1−√2 B．√2−1 C．√2+1 D．√2
【变式2-5】（2022秋•迎泽区校级月考）若x，y满足 ，则xy的算术平方根为 ．
(x−5) 2+√y+2=0
1
【变式2-6】（2022秋•九龙坡区期末）已知a、b、c都是实数，若√a−2+|2b− |+(c+2a) 2=0，则
2
a−c
的值等于（ ）
a+4b
2
A．1 B．− C．2 D．﹣2
3题型三 估算算术平方根
【例题3】已知：x＜√21＜y（x，y是两个连续整数），则x，y的值为（ ）
A．x＝2，y＝3 B．x＝3，y＝4 C．x＝4，y＝5 D．x＝5，y＝6
解题技巧提炼
估算√a（a≥0）时，首先要确定√a的整数部分，根据算术平方根的定义，得出√a
在哪两个连续的整数之间，从而确定√a的整数部分和小数部分.
【变式3-1】（2021秋•兰西县期末）估计√40的值应在（ ）
A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间
【变式3-2】（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，
则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式3-3】（2021春•江津区校级月考）若x、y为两个连续的整数，且x＜√39＜y，则x+y＝
．
【变式3-4】（2022•南关区校级开学）已知x，y为两个连续的整数，且x＜√20＜y，则5x+y的值为
．题型四 利用估算比较大小
【例题4】通过估算，比较下列各组数的大小：
（1）6 √35； （2）√8 √10；
√5−1 √3+1 1
（3） 1； （4） 1 ．
2 2 2
解题技巧提炼
利用估算比较大小的常用方法有：（1）平方法：两数平方后再比较大小；
（2）作差法：通过相减判断得到的差的正负来比较大小；
（3）用中间量法比较大小，先找个中间量帮助比较出两个同分母的分数的分子的
大小，从而确定它们的大小.
【变式4-1】比较下列各组数的大小：
√5+1
（1）√120与11． （2） 与2．
2
【变式4-2】比较下列各组数的大小
（1）√8与√10； （2）√65与8；
√5−1 √5−1
（3） 与0.5； （4） 与1．
2 2题型五 利用计算器进行规律探究
【例题 5】（2022 春•渝中区校级月考）若√51.11≈7.149，√511.1≈22.608，则√511100的值约为
（ ）
A．71.49 B．226.08 C．714.9 D．2260.8
解题技巧提炼
1、利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动两位，其算术平方根
的小数点相应向左（右）移动一位.
2、解决此类规律题，需从两个方向进行比较，即把被开方数进行比较，把它们的
结果进行比较，从中发现规律.
【变式5-1】（2022春•甘井子区期末）已知√2≈1.414，√20≈4.472，那么√2000≈（ ）
A．44.72 B．14.14 C．141.4 D．447.2
【变式5-2】（2021春•淮南月考）已知√2021≈44.96，√202.1≈14.22，则√20.21≈（ ）
A．4.496 B．1.422 C．449.6 D．142.2
【变式5-3】（2022秋•衡阳县期中）已知√4.3≈2.0736，√43≈6.5574，下列运算正确的是（ ）
A．√0.43≈0.65574 B．√430≈65.574
C．√4300≈20.736 D．√43000≈2073.6
【变式5-4】（2022春•潍坊期中）（1）观察各式：√0.03≈0.1732，√3≈1.732，√300≈17.32…
发现规律：被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动
位；
（2）应用：已知√5≈2.236，则√0.05≈ ，√500≈ ；
（3）拓展：已知√6≈2.449，√60≈7.746，计算√240和√0.54的值．【变式5-5】根据下表回答下列问题：
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17
x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289
（1）289的算术平方根是 ，√268.96= ；
（2）±√256= ，275.56的平方根是 ；
（3）√1.5921= ，√28224= ；
（4）若√x=a（x＞0），则√100x= （用含a的式子表示）．
题型六 算术平方根的实际应用
【例题6】（2022春•连江县期末）某学校有一块长、宽分别为38m和16m的长方形空地，计划沿边建造
一个长宽之比为5：3且面积为540m2的长方形标准篮球场，请判断该学校能否用这块长方形空地建造
符合要求的篮球场？并说明理由．
解题技巧提炼
算术平方根在计算几何图形的面积问题中应用比较频繁，利用图形结合有关公式
或者数量关系列出算式，求出算术平方根，由所得结果进行说明.【变式6-1】（2021秋•鄄城县期末）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，他
们总结了一个经验公式：v＝16√df，其中v表示车速（单位：千米/时），d表示刹车后车轮滑过的距离
（单位：米），f表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d＝25米，f＝1.44，而该路段的限速为
80千米/时，肇事汽车当时的车速大约是多少？此车是否超速行驶？
【变式6-2】（2022春•景县月考）球从空中落到地面所用的时间t（秒）和球的起始高度h（米）之间有
√ℎ
关系式，t= ，若球的起始高度为120米，则球落地所用时间与下列最接近的是（ ）
5
A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒
【变式6-3】（2021秋•阜城县期末）将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行
拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积
为19，则图乙中AD的长为（ ）
A．2√19+2 B．√19+4 C．2√19+4 D．√19+2
【变式6-4】（2022春•思明区校级期中）如图，用两个边长为√18cm的小正方形纸片剪拼成一个大的正
方形，（1）则大正方形的边长是 cm；（2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为3：2且面积为30cm2的长方形纸片，
若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
【变式6-5】（2022春•兖州区期末）阅读下面对话，然后解答问题：
你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片呢？请你通过计算说明．
题型七 平方根及算术平方根的认识
【例题7】（2022秋•泰山区期末）下列说法正确的是（ ）1 1
A． 的平方根是
25 5
B．﹣25的算术平方根是5
C．（﹣5）2的平方根是﹣5
D．0的平方根和算术平方根都是0
解题技巧提炼
±√a（a≥0）表示非负数的a的平方根，√a（a≥0）表示非负数a的算术平方根.
【变式7-1】（2022秋•莱州市期末）144的平方根是±12的数学表达式是（ ）
A．√144=12 B．√144=±12 C．±√144=±12 D．±√144=12
【变式7-2】（2022秋•陈仓区期中）下列语句中，错误的是（ ）
1 1
A． 的平方根是± B．√9的平方根是±3
4 2
1 1
C．− 是 的一个平方根 D．9的平方根是±3
2 4
1
【变式7-3】（2022秋•鄞州区校级月考）平方根是± 的数是（ ）
3
1 1 1 1
A． B． C． D．±
3 6 9 9
【变式7-4】（2022春•澄迈县期末）（﹣6）2的平方根是（ ）
A．6 B．±6 C．±√6 D．36
【变式7-5】（2022秋•城阳区期中）若x+4是4的一个平方根，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣2或﹣6 C．﹣3 D．±2【变式7-6】（2022秋•薛城区校级月考）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的
平方根是（ ）
A．± B．a﹣1 C．a2﹣1 D．±
√a−1 √a2−1
题型八 求一个数的平方根
【例题8】求下列各数的平方根：
25
（1） （2）0.36 （3）（﹣9）2 （4）√49
49
解题技巧提炼
本题运用了定义法，求一个数的平方根，先把被开方数化成x2=a的形式，再根据
定义即可求出它的平方根.
【变式8-1】（2022•成武县开学）求下列各数的平方根：
7
（1）121； （2）2 ； （3）（﹣13）2； （4）﹣（﹣4）3．
9【变式8-2】求下列各式的值：
√25
（1）−√196； （2）± ； （3）√2−1.75； （4）±√(−8) 2．
4
题型九 利用平方根或算术平方根的定义求值
【例题9】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值
为（ ）
A．8 B．0 C．8或0 D．4或﹣4
解题技巧提炼
运用平方根及算术平方根的定义列方程求解，运用方程的思想求相关待定字母的
值是数学中常用的方法.
【变式9-1】（2021秋•仁寿县期末）已知a的平方根是2m﹣2和4﹣m，a是（ ）
A．36 B．4 C．36或4 D．2
【变式 9-2】（2022•游仙区校级二模）若﹣3xmy 和 5x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根是
（ ）
A．8 B．﹣8 C．±4 D．±8
【变式 9-3】（2021秋•高新区校级月考）已知 2a﹣1的平方根是±3，b，c满足|b﹣1|+√c+4=0，求a+3b+c的算术平方根．
【变式 9-4】（2021 春•饶平县校级期中）若 x，y 均为实数，且√x−1+√1−x+2y﹣1＝0，求
√15x+2y的平方根．
【变式9-5】（2022春•横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．
（1）求a，b的值；
（2）求4a﹣6b的平方根．
【变式9-6】（2022春•芜湖期末）已知a+b﹣2的平方根是±√17，3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b
的平方根．题型十 利用平方根解方程
【例题10】（2022春•岳麓区校级月考）求下列各式中x的值．
（1）169x2＝100； （2）（x+1）2＝81．
解题技巧提炼
先将方程化为ax2=b的形式，再利用平方根的定义求未知数的值.
【变式10-1】（2022春•武侯区月考）求下列各式中的x的值：
（1）9x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2+8＝72；
1
（3）3（x+2）2﹣27＝0； （4） （x﹣5）2＝8．
2【变式10-2】（2021秋•新城区校级期中）求下列式子中的x：
3 1
（1）25（x− ）2＝49； （2） （x+1）2＝32．
5 2
【变式10-3】已知a，b满足|a﹣4|+√b−7=0，解关于x的方程（a﹣3）x2﹣1＝5b．
