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6.2立方根
立方根的定义
如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那么
叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
注意：
①一个数 的立方根，用 表示，其中 是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.
②任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为
相反数的数的立方根也互为相反数.
题型1：开立方
1.求下列各数的立方根：
（1）﹣27；
（2） ；
（3）0.216；
（4）﹣5．
【分析】根据立方根的定义逐个计算可得．
【解答】解：（1）∵（﹣3）3＝﹣27，
∴﹣27的立方根为﹣3，即 ＝﹣3；
（2∵（ ）3＝ ，
∴ 的立方根为 ，即 ＝ ；
（3）∵0.63＝0.216，∴0.216的立方根为0.6，即 ＝0.6；
（4）﹣5的立方根为 ．
【变式1-1】求下列各数的立方根：
（1）﹣0.125；
（2）
（3）﹣15
（4）2×32．
【分析】（1）把小数化为分数，再求立方根；
（2）直接求立方根即可；
（3）把带分数化为假分数，再求立方根；
（4）求出2×32的值，再求立方根．
【解答】解：（1）﹣0.125＝﹣ 的立方根是﹣ ；
（2） 的立方根是 ；
（3）﹣15 ＝﹣ 的立方根是﹣ ；
（4）2×32＝64的立方根是4
题型2：辨析平方根与立方根
2.（2022秋•温州期末）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．﹣8没有立方根
C．8的立方根是±2 D．4的算术平方根是2
【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：A、根据平方根的定义可知4的平方根是±2，该选项不符合题意；
B、根据立方根的定义可知﹣8的立方根是﹣2，该选项不符合题意；
C、根据立方根的定义可知8的立方根是2，该选项不符合题意；
D、根据算术平方根的定义可知4的算术平方根是2，该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平方根，立方根和算术平方根，解题的关键是熟练运用其定义，本题属于基础题型．
【变式2-1】（2022秋•拱墅区期末）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．8的立方根是±2
C． ＝﹣3 D．﹣6没有平方根【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A.4的平方根是±2，因此选项A不符合题意；
B.8的立方根是2，因此选项B不符合题意；
C. ＝3，因此选项C不符合题意；
D．﹣6没有平方根，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答
的前提．
【变式2-2】（2022秋•渠县期末）下列说法，其中错误的有（ ）
① 的平方根是9；
② 是2的算术平方根；
③﹣8的立方根为±2；
④ ＝|a|．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根和绝对值的定义逐个判断．
【解答】解：①∵ ＝9，
∴ 的平方根是±3，原说法错误；
② 是2的算术平方根，原说法正确；
③﹣8的立方根为﹣2，原说法错误；
④ ，原说法正确．
∴错误的说法有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了平方根，算术平方根，立方根和绝对值，掌握其定义是关键．
题型3：利用立方根的定义求值
3.（2022秋•东台市月考）已知3是2a﹣1的一个平方根，也是3a+b+10的立方根，求a+b的平方根．
【分析】根据平方根、立方根的定义求出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵3是2a﹣1的一个平方根，也是3a+b+10的立方根，
∴2a﹣1＝9，3a+b+10＝27，
解得a＝5，b＝2，
∴a+b＝7，
∴a+b的平方根为 ．
【点评】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
【变式3-1】（2021秋•鲤城区校级月考）已知3a﹣7的立方根是2，2a+2b+2的算术平方根是4．（1）求a，b的值；
（2）求6a+3b的平方根．
【分析】根据平方根和立方根的概念和性质进行计算求解．
【解答】解：（1）∵3a﹣7的立方根是2，2a+2b+2的算术平方根是4，
∴ ，
解得 ，
即a＝5，b＝2；
（2）由（1）知a＝5，b＝2，
∴6a+3b＝6×5+3×2＝36，
∴6a+3b的平方根为±6．
【点评】此题考查了平方根与立方根概念与性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
【变式3-2】（2022秋•天桥区期中）已知2a+1的一个平方根是3，1﹣b的立方根为﹣1．
（1）求a与b的值；
（2）求3a+2b的算术平方根．
【分析】（1）首先根据2a+1的一个平方根是3，可得：2a+1＝9，据此求出a的值是多少；然后根据1
﹣b的立方根为﹣1，可得：b﹣1＝1，据此求出b的值是多少即可．
（2）把（1）中求出的a与b的值代入3a+2b，求出算术的值是多少，进而求出它算术平方根是多少即
可．
【解答】解：（1）∵2a+1的一个平方根是3，
∴2a+1＝9，
解得a＝4；
∵1﹣b的立方根为﹣1，
∴b﹣1＝1，
解得b＝2．
（2）∵a＝4，b＝2，
∴3a+2b
＝3×4+2×2
＝16，
∴3a+2b的算术平方根4．
【点评】此题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．
立方根的性质注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
题型4：利用立方根的性质求值
4.若 ＝k﹣4，求k的值．
【分析】根据立方根的性质，构建方程即可解决问题．
【解答】解：∵ ＝4﹣k，
由题意：4﹣k＝k﹣4，
∴k＝4，
故答案为4．
【变式4-1】已知 与 互为相反数，求x的值．
【分析】先根据相反数的定义列出关于x的方程，求出x的值即可．
【解答】解：∵ 与 互为相反数，
∴ + ＝0，即2x﹣1＝﹣（4﹣x），解得x＝﹣3．
【变式4-2】已知 ＝a，y2＝b（y＜0），且 ＝8（b＞4a）， ＝18，求xy的
值．
【分析】根据开方运算，可得二元一次方程组，根据解方程组，可得 a、b的值，再根据乘方运算、开
方运算，可得x、y的值，再根据有理数的乘法，可得答案．
【解答】解： ＝8（b＞4a）， ＝18，
，
解得 ，
＝a，y2＝b（y＜0），
﹣x＝23＝8，y＝﹣ ＝﹣4，
x＝﹣8，y＝﹣4，
xy＝﹣8×（﹣4）＝32
题型5：利用开立方解方程
5.解方程：（1）27x3＝64；
【解答】∵27x3＝64，∴x3＝ ，
x＝
∴
（2）64（x﹣2）3﹣1＝0．
，
解
，
解得 ．
【变式5-1】解方程：（1）（x+2）3＝﹣64．
【解答】（2）∵（x+2）3＝﹣64，
∴x+2＝﹣4．
∴x＝﹣6．
（2）2（x﹣1）3+16＝0．
解：2（x﹣1）3+16＝0，
2（x﹣1）3＝﹣16，
（x﹣1）3＝﹣8，
x﹣1＝﹣2
解得x＝﹣1．
【变式5-2】解方程：（1）2（x+1）3＝﹣54 （2）3（x﹣1）3+24＝0
【解答】（1）方程变形得：（x+1）3＝﹣27，
开立方得：x+1＝﹣3，
解得：x＝﹣4
（2）3（x﹣1）3+24＝0，
∴3（x﹣1）3＝﹣24，
∴（x﹣1）3＝﹣8，
∴x﹣1＝﹣2，
∴x＝﹣1．
题型6：分类讨论-求立方根中未知数的值
6.已知√31−a²=1- ²，求a的值。
【解答】解∶立方根等于它本身的数有-1，0，1.
a
当1-a=-1时，a=±√2;
当1-a=0时，a=±1;当1-a2=1时，a=0.
故a的值为0，±1，±√2;
【变式6-1】若一个数a的平方根等于它本身，数b的立方根等于它本身，求a+3b的立方根．
【分析】根据平方根的定义求出a，再根据立方根的定义求出b，然后求出a+3b的值，再利用立方根的定
义解答即可．
【解答】解：∵数a的平方根等于它本身，
∴a=0，
∵数b的立方根等于它本身，
∴b=0或1或-1，
∴a+3b=0或3或-3，
∴a+3b的立方根是0或√33或√3−3
【变式6-2】（2022秋•成县期中）已知a+3和2a﹣15是某正数的两个平方根，b的立方根是﹣2，c的算
术平方根是其本身，求a+b﹣2c的值．
【分析】先依据平方根的性质列出关于a的方程，从而可求得a的值，然后依据立方根的定义求得b的
值，根据算术平方根得出c，最后，再进行计算即可．
【解答】解：∵某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2．c算术平方根是其本身
∴a+3+2a﹣15＝0，b＝﹣8，c＝0或1，
解得a＝4．
当a＝4，b＝﹣8，c＝0，a+b﹣2c＝4﹣8﹣0＝﹣4；
当a＝4，b＝﹣8，c＝1，a+b﹣2c＝4﹣8﹣2＝﹣6．
【点评】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的性质，掌握相关知识是关键．
【变式6-3】已知a的倒数为它本身，b的绝对值为2，c的平方根为它本身，且ab＞0，求2a+3b的立方
根．
【分析】先根据题意求出a、b、c的值，再求出2a+3b的值，即可得出答案．
【解答】解：∵a的倒数为它本身，
∵a＝±1，
∵b的绝对值为2，
∴b＝±2，
∵ab＞0，
∴①a＝1，b＝2或②a＝﹣1，b＝﹣2，
∵c的平方根为它本身，
∴c＝0，
①当a＝1，b＝2，c＝0时，2a+3b＝8，即2a+3b的立方根是 ＝2；
②当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝0时，2a+3b＝﹣8，即2a+3b的立方根是﹣2．
【点评】本题考查了立方根，倒数，平方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
立方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，
， ， ， .题型7：立方根与规律性问题
7.（1）填表：
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
0.0 1 0. 1 1 1 0 10 0
（2）观察上表，当数a的小数点每向右（或向左）移动三位时，它的立方根怎样变化？你能总结出其中
的规律吗？
（3）已知 ≈5.625，利用（2）的结论，写出 的近似值．
【分析】（1）根据进行开立方计算作答；
（2）根据被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位，两者移动的方向一致．由此特征作答便可；
（3）根据规律解答便可．
【解答】解：（1）通过开立方得，
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
0.01 0.1 1 10 100
故答案为：0.01；0.1；1；10；100；
（2）观察可知，当数a的小数点每向右（或向左）移动三位时，它的立方根相应地向左（或向右）移动
一位；
（3）根据题意得，∵ ≈5.625，178的小数点向左移动三位得0.178，
∴178的立方根5.625向左移动一位得0.178的立方根，即 ≈0.5625．
【点评】本题主要考查立方根，数字规律探索，难度不大，开立方计算是解答的关键．
【变式7-1】一组数1， ， ，2 ，…符合这个规律的第8个数是 ．
【分析】根据已知的几个数可以得到：被开方数是对应的数的序号的平方，据此即可求解．
【解答】解：一组数1， ， ，2 ，…，
由2 ＝ ，可得符合这个规律的第8个数为 ＝4．
故答案是：4．
【点评】本题考查了立方根，正确得到被开方数之间的规律是关键．
【变式7-2】计算 ， ， ， ， ，
你能从中找出计算的规律吗？如果将根号内的2换成10，这种计算的规律是否仍然保持？
【分析】先依据算术平方根和立方根的性质计算，然后找出规律即可．
【解答】解： ＝2， ＝2；＝ ＝22； ＝ ＝22； ＝ ＝23； ＝ ＝23．
所以 ＝a（a≥0）， ＝a．
依据上述规律可知将根号内的2换成10，这种计算的规律仍然成立．
【点评】本题主要考查的是立方根和算术平方根的性质，通过计算找出规律是解题的关键．
一、单选题
1．（2021八上·北票期中）下列说法正确的是( )
A．－4没有立方根 B．1的立方根为±1
1 1
C．5的立方根为√35 D． 的立方根是
36 6
【答案】C
【解析】【解答】解：∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，
∴A．-4有立方根，不符合题意；
B． 1的立方根是1，不符合题意；
C． 5的立方根√35，符合题意；
1 √ 1
D． 的立方根是3 ，不符合题意；
36 36
故答案为：C．
【分析】根据立方根的定义逐项判断即可.
2．（2022七上·富阳期中）下列计算正确的是( )
√ 1 √ 1
A．√（−5）2=−5 B．3 =3− C．√16=±4 D．−√0.25=−0.5
27 27
【答案】D
【解析】【解答】解：A、√(−5) 2=5，故A不符合题意；
√ 1 1 √ 1 1
B、3 = ，3− =− ，故B不符合题意；
27 3 27 3
C、√16=4，故C不符合题意；
D、−√0.25=−0.5，故D符合题意.
故答案为：D.【分析】根据平方根的定义，算术平方根的定义，立方根的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
3．（2021七下·宜州期末）对于实数2021描述正确的是（ ）
A．2021不是有理数 B．2021的倒数是1202
C．2021的相反数是-2021 D．-2021没有立方根
【答案】C
【解析】【解答】解：A、2021是有理数，故此选项错误，不符合题意；
1
B、2021的倒数是： ，故此选项错误，不符合题意；
2021
C、2021的相反数是−2021，故此选项正确，符合题意；
D、-2021的立方根为 √3−2021 ，故此选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用有理数、倒数、相反数、立方根的定义分别判断即可.
4．（2022七下·郯城期中）下列等式正确的是（ ）
A．√−9=−3 B． √ 49 =± 7 C．√3 (−8) 2=4 D．−√(−5) 2=5
144 12
【答案】C
【解析】【解答】解：A、√−9无法计算，这个等式错误，不符合题意；
√ 49 7
B、 = ，这个等式错误，不符合题意；
144 12
C、√3 (−8) 2=4，这个等式正确，符合题意；
D、−√(−5) 2=−5，这个等式错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用算术平方根、立方根和二次根式的性质逐项判断即可。
x
5．（2021八上·隆昌期中）已知 √3 y−1 与 √31−2x 互为相反数，则 的值是（ ）
y
1
A． B．0 C．−2 D．2
2
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意，
∵√3 y−1 与 √31−2x 互为相反数，
∴√3 y−1+√31−2x=0 ，∴y−1+1−2x=0 ，
∴y=2x ，
x 1
∴ = ；
y 2
故答案为：A.
【分析】由立方根互为相反数可得立方数也互为相反数，据此建立方程，求解得出x、y的值，进而
代入即可算出答案.
6．（2021八上·隆昌期中）已知x为实数，且 √3 x−3−√32x+1 ＝0，则x2+x﹣3的平方根为（ ）
A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．2和﹣2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵x为实数，且 √3 x−3−√32x+1 ＝0，
∴x﹣3＝2x+1，
解得：x＝﹣4，
∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9，
∴±√9 ＝±3，
故答案为：C.
【分析】由立方根相等得立方数也相等，据此建立方程，求出x值，再代入计算即可.
二、填空题
7．（2021八上·高邑期中）实数64的算术平方根是 ，平方根是 ，立方根
．
【答案】8；±8；4
【解析】【解答】解：实数64的算术平方根为 √64=8 ，
平方根是 ±√64=±8 ，
立方根是 √364=4 ．
故答案为8；±8，4．
【分析】根据算数平方根、平方根及立方根的计算方法求解即可。
8．下列说法正确的有
①任何数都有立方根，且只有一个立方根；②一个数的平方等于1，那么这个数就是1；③4是8
的算术平方根；④如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0；⑤±2是8的立方根．
【答案】①【解析】【解答】解： ①何数都有立方根，且只有一个立方根，正确；② 一个数的平方等于1，那
么这个数等于±1，错误； ③4是16的算术平方根，错误；④如果一个数的立方根等于它本身，那么
这个数是0或±1，错误；⑤2是8的立方根，错误；
综上，错误的是① ，
故答案为： ①.
【分析】根据立方根的定义判断①④⑤；根据算术平方根的定义判断③；根据一个数的平方的运算判
断②.
9．若x=( ❑ 3√−5 )3，则 √−x−1 = ．
【答案】2
【解析】【解答】解：x=( ❑ 3√−5 )3=-5． √−x−1=√−5−1=√4 =2．
【分析】根据平方根和立方根的定义即可求解。
10．（2021八上·青神期末）√3 (−3) 3= ， (−√3) 2= .
【答案】-3；3
【解析】【解答】解： √3 (−3) 3=√3−27=−3 ；
(−√3)
2=3
，
故答案为：-3；3.
【分析】根据有理数的乘方法则可得(-3)3=-27，然后利用立方根的概念可得第一空的答案；根据乘方
的意义可得第二空的答案.
三、计算题
11．（2021七上·惠山期中）求下列各式中x的值：
（1）（x﹣2）2＝4；
（2）（x+1）3﹣64＝0.
【答案】（1）解：∵（x﹣2）2＝4，
∴x﹣2＝±2，
∴x＝4或x＝0；
（2）解：∵（x+1）3﹣64＝0，
∴（x+1）3＝64，
∴x+1＝4，∴x＝3.
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法可得x-2=±2，求解即可；
（2）原方程可变形为(x+1)3＝64，然后开立方即可.
12．（2021七下·密山期末）求下列各式中的x：
121
（1）x2﹣ =0．
49
（2）（x﹣1）3=64．
121
【答案】（1）解：∵x2− =0，
49
121
∴x2=
，
49
11
∴x=± ；
7
（2）解：∵(x−1) 3=64，
∴x−1=4，
∴x=5.
【解析】【分析】（1）根据平方根的定义解方程；
（2）根据立方根的定义解方程。
四、解答题
13．用计算器比较大小：A= √25.4 ，B= ❑ 3√38.8 ．
【答案】解：因为 √25.4 ≈5.04， ❑ 3√38.8 ≈3.39，而5.04>3.39，所以 √25.4 > ❑ 3√38.8 ，即
A> B．
【解析】【分析】先利用计算器分别计算出√25.4 和 ❑ 3√38.8的近似值，再比较大小，即可解答.
14．（2021八上·兴平期中）在一个长，宽，高分别为9cm，8cm，3cm的长方体容器中装满水，然后
将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的
棱长．
【答案】解：由题意得：长方体的容积为 9×8×3=216(cm3 )
∵将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满，
∴长方体和正方体的容积相等，
∴正方体的棱长为 √3216=6(cm) ．【解析】【分析】长方体的容积等于长×宽×高，正方体的容积等于棱长的立方，进而根据长方体和正
方体的容积相等就可求出正方体的棱长.
五、综合题
15．（2022八下·泾阳月考）已知y的立方根是2，2x-y是16的算术平方根，求：
（1）x、y的值；
（2）x2+y2的平方根．
【答案】（1）解：由于y的立方根是2，2x-y是16的算术平方根，
所以有y=23=8，2x-y= √16 =4，
解得x=6．
（2）解：当x=6，y=8，x2+y2=100，
∴x2+y2的平方根为士 √100 =±10.
【解析】【分析】（1）利用算术平方根的性质，正数的算术平方根是正数，可得到2x-y=4；利用y的
立方根是2，可求出y的值，然后解方程求出x的值.
（2）将x，y代入代入代数式可求出x2+y2的值，再利用正数的平方根有两个，它们互为相反数，可
求出出x2+y2的平方根.
