文档内容
七年级下册数学《第六章 实数》
6.2 立 方 根
立方根、开立方的定义
知识点一
◆1、立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根.
这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
3
√a
◆2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“ ”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开
方数，3是根指数.
◆3、开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立
方也互为逆运算.
◆4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根
的运算，即一种开方运算.
立方根的性质
知识点二
◆1、立方根的性质：
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
【注意】任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个.
◆2、立方根的两个重要性质：
①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即 ，利用它可以把一个负数的立方根转化为求
一个正数的立方根的相反数.
② .◆3、平方根与立方根的区别和联系：
内 容 平方根 立方根
性 正数 两个，互为相反数 一个，为正数
区
0 0 0
质
负数 没有平方根 一个，为负数
√a √3 a
别 表示方法
被开方数的范围 非负数 可以为任何数
联 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算
系
0 的方根 0 的立方根和平方根都是0
用计算器求一个数的立方根的方法
知识点三
一般计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值)．按键顺序为先按键，再输入被开方数，
最后按键．有些计算器需要用到第二功能键求一个数的立方根．按键顺序为先按键，再按键，再输入被开
方数，最后按键．题型一 立方根的概念和性质
【例题1】（2022春•合肥期末）下列说法错误的是（ ）
A．3的平方根是√3
B．﹣1的立方根是﹣1
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
【分析】根据立方根的定义和求法，平方根的定义和求法，以及算术平方根的定义和求法，逐项判定即
可．
【解答】解：A、3的平方根是±√3，原说法错误，故此选项符合题意；
B、﹣1的立方根是﹣1，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、0.1是0.01的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、算术平方根是本身的数只有0和1，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了立方根、平方根、算术平方根．解题的关键是熟练掌握立方根的定义，平方根的定
义，以及算术平方根的定义．解题技巧提炼
1、一般地，如果一个数的立方等于a， 那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.
这就是说，如果x3=a， 那么x叫做a的立方根
.
2、立方根的性质：
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
【变式1-1】填空：
（1）64的立方根是 ；
1
（2）− 的立方根是 ；
125
（3）26的立方根是 ；
【分析】（1）利用43＝64得到64的立方根；
1 1 1
（2）利用（− ）3=− 得到− 的立方根；
5 125 125
（3）利用（22）3＝26得到26的立方根；
【解答】解：（1）64的立方根是4；
1 1
（2）− 的立方根是− ；
125 5
（3）26的立方根是4；
1
故答案为：（1）4；（2）− ；（3）4；
5
【点评】本题考查了立方根：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，
0的立方根是0．
【变式1-2】求下列各数的立方根．
3
（1）125； （2）0.027； （3）3
8
【分析】根据立方根的定义可求解．
【解答】解：（1）∵53＝125，
∴√3125=5；（2）∵（0.3）3＝0.027，
∴√30.027=0.3；
3 27
（3）∵3 = ，
8 8
3 3
∴3 的立方根是 ．
8 2
【点评】本题考查了立方根，关键是熟记定义求解．
【变式1-3】（2021春•阳信县月考）√3 (−8) 3的立方根是（ ）
A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2
【分析】根据立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2
故选：D．
【点评】本题考查立方根的定义，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型．
10
【变式1-4】（2022春•仓山区校级月考）−2 的立方根是（ ）
27
8 4 4 8
A．− B．− C．± D．±
3 3 3 3
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
4 64
【解答】解：∵− 的立方等于− ，
3 27
64 4
∴− 的立方根等于− ．
27 3
故选：B．
【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立
方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质
符号相同．
【变式1-5】（2022春•临高县期末）若a2＝16，√3 b=−2，则a+b＝（ ）
A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12
【分析】先依据平方根和立方根的性质求得a、b的值，然后代入计算即可．
【解答】解：∵a2＝16，√3 b=−2，
∴a＝±4，b＝﹣8．∴当a＝4，b＝﹣8时，a+b＝﹣4；
当a＝﹣4，b＝﹣8时，a+b＝﹣12．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是立方根、平方根的定义，掌握立方根、平方根的性质是解题的关键．
【变式1-6】求下列各式的值：
（1）√3 33； （2）√30.008；
√ 343
（3）（√3−9）3； （4）3− ．
125
【分析】根据立方根的定义计算．
【解答】解：（1）原式＝3；
（2）原式＝0.2；
（3）原式＝﹣9；
7
（4）原式=− ．
5
【点评】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就
是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：√3 a．
【变式1-7】（1）求√3 23，√3 (−2) 3，√3 (−3) 3，√3 43，√3 03的值．对于任意数a，√3 a3等于多少？
（2）求（√38）3，（√3−8）3，（√327）3，（√3−27）3，（√30）3的值．对于任意数a，（√3 a）3等于
多少？
【分析】（1）直接利用立方根的性质计算得出答案；
（2）直接利用立方运算法则得出答案．
【解答】解：（1）√3 23=2，√3 (−2) 3=−2，√3 (−3) 3=−3，√3 43=4，√3 03=0，
故对于任意数a，√3 a3=a；
（2）（√38）3＝8，（√3−8）3＝﹣8，（√327）3＝27，（√3−27）3＝﹣27，（√30）3＝0．
对于任意数a，（√3 a）3＝a．
【点评】此题主要考查了立方根，正确把握立方根的定义是解题关键．
【变式1-8】（2021秋•滕州市校级月考）我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为
相反数．
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
（2）若√31−4x与√32x+3互为相反数，求√2x−1的值．
【分析】（1）根据题意可以列出一个例子来说明结论是否成立；
（2）根据结论成立可以得到1﹣4x+2x+3＝0，可以求得x的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）举例不唯一．
因为2+（﹣2）＝0，而且23＝8，（﹣2）3＝﹣8，有8+（﹣8）＝0，所以结论成立．
所以“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”是成立的．
（2）由（1）验证的结果知，1﹣4x+2x+3＝0，所以x＝2，所以√2x−1=√4−1＝1．
【点评】本题考查实数的运算、立方根，解答本题的关键是明确题意，利用相反数和立方根的知识解答．
题型二 开立方的运算
【例题2】求下列各式的值：
（1）√3−216= ；
（2）√31−0.973= ；
√ 10
（3）−35− = ；
27
（4）√364−√81= ．
【分析】（1）原式利用立方根定义计算即可求出值；
（2）原式被开方数计算后，利用立方根定义计算即可求出值；
（3）原式被开方数计算后，利用立方根定义计算即可求出值；
（4）原式利用立方根、算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式=√3 (−6) 3=−6；
（2）原式=√30.027=0.3；
√125 5
（3）原式=−3 =− ；
27 3（4）原式＝4﹣9＝﹣5．
5
故答案为：（1）﹣6；（2）0.3；（3）− ；（4）﹣5．
3
【点评】此题考查了实数的运算，立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
解题技巧提炼
（1）开立方时，被开方数可以是正数、负数或零；
（2）当求一个带分数的立方根时，首先要把带分数化为假分数，然后再求它的
立方根.
【变式2-1】（2022春•息县期末）下列算式中错误的是（ ）
√ 9 3 √ 27 3
A．−√0.64=−0.8 B．±√1.96=±1.4 C． =± D．3− =−
25 5 8 2
【分析】根据平方根和立方根的定义求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、−√0.64=−0.8，故本选项错误；
B、±√1.96=±1.4，故本选项错误；
√ 9 3
C、 = ，故本选项正确；
25 5
√ 27 3
D、3− =− ，故本选项错误；
8 2
故选：C．
【点评】本题考查了对平方根和立方根的应用，主要考查学生的计算能力．
【变式2-2】求下列各式的值：
√27 √343
（1）√3216；（2）−3 ；（3）−3 ．
8 512
【分析】（1）根据立方根定义求出即可；
（2）根据立方根定义求出即可；
（3）根据立方根定义求出即可．
【解答】解：（1）√3216=6；
√27 3
（2）−3 =− ；
8 2√343 7
（3）−3 =− ．
512 8
【点评】本题考查了对立方根定义的应用，主要考查学生的计算能力．
【变式2-3】求下列各式的值：
√ 19
（1）31− ；
27
√37
（2）3 −1；
64
（3）√3−1−（√38+4）÷√(−6) 2．
【分析】（1）直接利用立方根的性质化简得出答案；
（2）直接利用立方根的性质化简得出答案；
（3）直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案．
√ 19 √ 8 2
【解答】解：（1）31− =3 = ；
27 27 3
√37 √ 27 3
（2）3 −1=3− =− ；
64 64 4
（3）√3−1−（√38+4）÷√(−6) 2
＝﹣1﹣6÷6
＝﹣1﹣1
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了立方根的性质，正确化简各数是解题关键．
题型三 开立方运算中的小数点移动规律
【例题3】（2022春•曲阜市期中）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
√a … 0.01 x 1 y 100 …
（1）表格中x＝ ；y＝ ；
（2）从表格中探究a与√a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知√10≈3.16，则√1000≈ ；
②已知√3.24=1.8，若√a=180，则a＝ ；（3）拓展：已知√312≈2.289，若√3 z=0.2289，则z＝ ．
【分析】根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案．
【解答】解：（1）x＝0.1，y＝10，故答案为：0.1，10；
（2）①√1000≈31.6，a＝32400，故答案为：31.6，32400；
（4）z＝0.012，故答案为：0.012．
【点评】本题考查了算术平方根，注意被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍．
解题技巧提炼
利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动三位，其立方根的小数
点相应向左（右）移动一位.
【变式3-1】已知√31.51=1.147，√315.1=2.472，√30.151=0.5325，则√31510的值是（ ）
A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7
【分析】根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答．
【解答】解：√31510=√31.510×1000=1.147×10＝11.47．
故选：C．
【点评】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．
【变式3-2】（2022春•开州区期中）已知√30.342≈0.6993，√33.42≈1.507，则√30.000342≈ ．
【分析】根据当被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，立方根的小数点就向左（或向右）移动
一位得出即可．
【解答】解：∵√3 0.342≈0.6993，
∴√30.000342≈0.06993，
故答案为：0.06993．
【点评】本题考查了立方根的定义和符号移动规律，能熟记立方根的符号移动规律的内容是解此题的关
键．
【变式3-3】（2022春•雨花区期末）已知√31.12≈1.038，则√31120≈ ．
【分析】1120是由1.12将小数点向右移动3位所得，所以开立方结果的小数点向右移动1位．【解答】解：√31120=√31.12×1000=10×√31.12≈10.38．
故答案为：10.38．
【点评】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是被开方数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍．
【变式 3-4】（2021春•梁子湖区期中）已知√32.019≈1.2639，√320.19≈2.7629，则√3−0.002019≈
．
【分析】直接利用立方根的性质结合已知数据得出答案．
【解答】解：∵√32.019≈1.2639，
√ 1
∴√3−0.002019=3− ×2.019
1000
√ 1
=3 (− ) 3×√32.019
10
1
=− ×√32.019
10
≈﹣0.12639．
故答案为：﹣0.12639．
【点评】此题主要考查了立方根，正确掌握相关定义是解题关键．
【变式3-5】如果√368.8=4.098，√3 a=40.98，则a＝ ．
【分析】根据被开方数的小数点每移动三位，结果的小数点移动一位得出即可．
【解答】解：∵√368.8=4.098，√3 a=40.98，
∴a＝68800．
故答案为：68800．
【点评】本题考查了立方根的应用，关键是能得出规律（被开方数的小数点每移动三位，结果的小数点
移动一位）．
【变式3-6】（2022秋•南岗区校级期中）若x=√3135，y=√30.135，则x与y的关系是 ．
【分析】根据立方根的性质即可求解．
【解答】解：x=√3135
=√30.135×1000
=√30.135×√31000
＝10×√30.135，
∴y=√30.135，
∴x＝10y，故答案为：x＝10y．
【点评】本题主要考查了立方根，掌握立方根的性质是解题的关键．
【变式3-7】（2022春•汝南县月考）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1）√2≈1.414，√200≈14.14，√20000≈141.4…
√0.03≈0.1732，√3≈1.732，√300≈17.32…
由此可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动
位；
（2）已知√5≈2.236，√50≈7.071，则√0.5≈ ，√500≈ ；
（3）√31=1，√31000=10，√31000000=100…
小数点变化的规律是： ；
（4）已知√310=2.154，√3100=4.642，则√310000= ，−√30.1= ．
【分析】（1）根据被开方数的小数点、其算术平方根的小数点的移动规律得出答案；
（2）根据（1）的规律得出答案；
（3）类推出一个数的小数点与其立方根的小数点的移动规律得出结论；
（4）应用（3）的结论进行计算即可．
【解答】解：（1）由被开方数的小数点、其算术平方根的小数点的移动规律可知，
被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，
故答案为：2，右，1；
（2）由（1）的规律可得，√0.5≈0.7071，√500≈23.26，
故答案为：0.7071，23.26；
（3）由（1）的结论类推可得，一个数的小数点向右移动3位，其立方根的小数点向右移动1位，
故答案为：一个数的小数点向右移动3位，其立方根的小数点向右移动1位；
（4）由（3）的结论得，
√310000=√310×1000=√310×10＝21.54，
√ 100 √3100
−√30.1=−3 =− =−0.4642，
1000 10
故答案为：21.54，﹣0.4642．
【点评】本题考查算术平方根、立方根，掌握一个数的小数点向右（或左）移动的位数与其算术平方根、
立方根的小数点向右（或左）移动的位数的变化规律是正确解答的关键．题型四 利用开立方解方程
【例题4】求下列各式中的x的值．
1
（1）x3﹣216＝0； （2）（x+5）3＝64； （3）（ x+1）3＝8．
2
【分析】根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答各个方程．
【解答】解：（1）x3﹣216＝0
x3＝216
x=√3216
x＝6；
（2）（x+5）3＝64
x+5=√364
x+5＝4
x＝﹣1；
1
（3）（ x+1）3＝8
2
1
x+1=√38
2
1
x+1＝2
2
1
x=1
2
x＝2．
【点评】本题考查立方根，解题的关键是明确立方根的计算方法和解方程的方法．
解题技巧提炼
先将方程化为ax3=b的形式，再利用立方根的定义求未知数的值.3
【变式4-1】（2022秋•沈阳月考）解方程：x3﹣3 = ．
8
【分析】根据立方根的定义即可求出答案．
3
【解答】解：x3﹣3= ，
8
27
x3= ，
8
3
x= ．
2
【点评】本题考查立方根的的定义，解题的关键是熟练运用立方根的定义．
【变式4-2】（2021春•海城市月考）解方程：3（x﹣1）3＝24．
【分析】先整理成x3＝a的形式，再直接开立方解方程即可．
【解答】解：3（x﹣1）3＝24，
（x﹣1）3＝8，
x﹣1＝2，
x＝3．
【点评】此题主要考查了利用立方根的性质解方程．要灵活运用使计算简便．
1
【变式4-3】（2022春•西城区校级期中）解方程： (x−1) 3=4．
2
【分析】根据立方根的定义解决此题．
1
【解答】解：∵ （x﹣1）3＝4，
2
∴（x﹣1）3＝8．
∴x﹣1＝2．
∴x＝3．
【点评】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键．
1
【变式4-4】（2021春•汉滨区期中）求式子中x的值： （x﹣1）3＝﹣9．
3
【分析】根据立方根的定义进行解答便可．
【解答】解：（x﹣1）3＝﹣27，
x﹣1＝﹣3，
x＝﹣2．【点评】本题主要考查了立方根的定义，运用立方根的定义求值是解题的关键．
【变式4-5】解方程：64（x+1）3﹣125＝0．
【分析】直接利用立方根的定义计算得出答案．
125
【解答】解：方程整理得：（x+1）3= ，
64
5
开立方得：x+1= ，
4
1
解得：x= ．
4
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
【变式4-6】解方程：（5x﹣2）3+125＝0．
【分析】利用立方根的定义得到5x﹣2＝﹣5，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：∵（5x﹣2）3+125＝0，
∴（5x﹣2）3＝﹣125，
∴5x﹣2＝﹣5，
∴5x＝﹣3，
3
∴x=− ．
5
【点评】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是
说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：√3 a．
【变式4-7】（2022秋•锡山区期中）解方程：3+（x+1）3＝﹣5．
【分析】根据立方根的定义解决此题．
【解答】解：∵3+（x+1）3＝﹣5，
∴（x+1）3＝﹣8．
∴x+1＝﹣2．
∴x＝﹣3．
【点评】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键．
题型五 平方根与立方根的综合1
【例题5】（2022春•盐池县期末）已知x2＝9，y3=− ，且xy＜0，求2x+4y的算术平方根．
8
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义解答即可．
1
【解答】解：∵x2＝9，y3=− ，
8
1
∴x＝±3，y=− ，
2
∵xy＜0，
1
∴x＝3，y=− ，
2
1
∴2x+4y＝2×3+4×（− ）＝6﹣2＝4，
2
∴2x+4y的算术平方根是：2．
【点评】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根，能够正确得出x，y的值是解题的关键．
解题技巧提炼
先由平方根和立方根的定义求出已知未知字母的值，再求出这个由已知中未知字
母组成的新数的立方根或平方根.
【变式5-1】（2022秋•菏泽月考）若|x﹣1|+（y﹣2）2+√z−3=0，则x+y+z的立方根是 ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y、z的值，代入所求代数式计算后根据立方根的定义解答
即可．
【解答】解：∵|x﹣1|+（y﹣2）2+√z−3=0，
∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，z﹣3＝0，
解得x＝1，y＝2，z＝3，
∴x+y+z＝1+2+3＝6，
∴x+y+z的立方根是√36．
故答案为：√36．
【点评】本题考查了立方根和非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【变式5-2】（2022秋•峄城区校级月考）若√a−3+（b﹣5）2＝0，则a+b的立方根为 ．
【分析】根据算术平方根、偶次幂的非负性，求出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵√a−3+（b﹣5）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，
即a＝3，b＝5，
∴a+b＝3+5＝8，
∴a+b的立方根为√38=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查非负数的性质以及立方根，理解算术平方根、偶次幂的非负性以及立方根的定义是正
确解答的前提．
【变式5-3】（2021秋•雁塔区期末）已知1+3a的平方根是±7，2a﹣b+2的立方根是3，求a﹣b的值．
【分析】根据题意可求出a＝16，根据题意得2a﹣b+2＝27，再将a＝16代入可求出b＝7，代入代数式
进行计算即可．
【解答】解：根据题意，可得1+3a＝49，
解得，a＝16，
∵2a﹣b+2的立方根是3，
∴2a﹣b+2＝27，
将a＝16代入，得2×16﹣b+2＝27，
解得b＝7，
∴a﹣b＝9．
【点评】本题考查了平方根，立方根，代数式求值，解题的关键是掌握平方根，立方根的概念．
【变式5-4】（2022秋•平昌县期末）已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2a+b
的算术平方根．
【分析】根据平方根、立方根以及算术平方根的定义解决此题．
【解答】解：由题意得，a+9＝25，2b﹣a＝﹣8．
∴b＝4，a＝16．
∴2a+b＝32+4＝36．
∴2a+b的算术平方根是√36=6．【点评】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握平方根、立方根以及算术平方根的定义
是解决本题的关键．
1
【变式5-5】（2022春•鹿邑县月考）已知2a﹣1的平方根是±5，3a+b﹣1的算术平方根是6，求﹣2a +
2
b的立方根．
【分析】根据算术平方根和平方根的定义列式求出a、b的值，然后代入代数式求出a+4b的值，再根据
立方根的定义解答即可．
【解答】解：根据题意，得2a﹣1＝25，3a+b﹣1＝36，
解得a＝13，b＝﹣2，
1 1
所以﹣2a+ b＝﹣2×13+ ×（﹣2）＝﹣27，
2 2
1
∴﹣2a+ b的立方根是﹣3．
2
【点评】本题考查了立方根、算术平方根和平方根的定义，能够熟记概念并列式求出 a、b的值是解题
的关键．
【变式5-6】（2022春•金乡县期中）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是√17的
整数部分，求a+2b+c的值．
【分析】根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定a、b、c的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵2a﹣1的算术平方根是3，
∴2a﹣1＝9，即a＝5；
∵3a+b﹣9的立方根是2，
∴3a+b﹣9＝8，
即b＝2，
∵c是√17的整数部分，而4＜√17＜5，
∴c＝4，
∴a+2b+c＝13，
答：a+2b+c的值为13．
【点评】本题考查估算算术平方根，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义，掌握估算
算术平方根的方法是正确解答的前提．题型六 立方根的应用
【例题6】（2021秋•张家川县期末）将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，
则每个小正方体木块的棱长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【分析】利用立方根定义求出棱长即可．
√64
【解答】解：根据题意知，每个小正方体木块的棱长为3 =√38=2（cm），
8
故选：A．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．
解题技巧提炼
给出一个与开立方有关的实际问题，根据立方根的定义求解列出的式子，此时要
先根据题意列出算式，再结合立方根的定义求出式子中未知字母的值.
【变式6-1】老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是
96cm2，
你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大 665cm3，你能算出它的
表面
积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？
【分析】根据正方体的表面积，列出算式可求正方体的棱长，进一步得到小强的盒子体积，根据正方体
的体积公式得到棱长，再根据长方体的表面积公式即求解．
【解答】解：96÷6＝16（cm2），
√16=4（cm），
4×4×4＝64（cm3），
64+665＝729（cm3），
√3729=9（cm），9×9×6＝486（cm2）．
答：它的表面积是486cm2．
【点评】此题考查了算术平方根，立方根，用到的知识点是算术平方根的求法，关键是根据正方体的面
积和体积公式解答．
【变式6-2】（2022春•韩城市期末）一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的小正
方体木块，其中一个小正方体木块的棱长是多少？
【分析】设小正方体的棱长为xcm，根据题意得8x3＝125，解方程可求正方体小木块的棱长．
【解答】解：设小正方体的棱长为xcm，
根据题意得，8x3＝125，
125
x3= ，
8
5
x= ．
2
5
答：正方体小木块的棱长为 cm．
2
【点评】本题考查了立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
【变式6-3】（2022春•庐阳区校级期中）某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化，
铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为160cm，80cm和40cm，求原来每个立方体钢铁的
棱长．
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
√160×80×40 √512000 80
【解答】解：根据题意得：3 =3 = （cm），
27 27 3
80
则原来正方体钢铁的棱长为 cm．
3
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
【变式6-4】（2022春•满洲里市校级期末）小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3
厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长．
【分析】根据题意列出方程，然后根据立方根的性质进行求解．
【解答】解：设第二个纸盒的棱长为acm，
∵已知第一个正方体纸盒的棱长为3cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大189cm3，
∴a3﹣33＝189，
∴a3＝189+27＝216，a3＝216＝63
∴a＝6cm．
【点评】此题考查立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a要注意平方根的定义：
某个自乘结果等于的实数，其中属于非负实数的平方根称算术平方根．一个正数两个平方根；0只有一个
平方根，就是0本身；负数没有平方根．
【变式6-5】（2022春•汝南县月考）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为
16 000cm3．
（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？
1
（2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的 ，求该小球的
60
半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？
【分析】（1）直接利用已知假设出长方体的水池长、宽、高，进而利用长方体体积求出即可；
（2）利用球的体积公式，进而开立方求出即可．
【解答】解：（1）∵有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为16 000cm3，
∴设长方体的水池长、宽、高为2x，2x，4x，
∴2x•2x•4x＝16000，
∴16x3＝16000，
∴x3＝1000，
解得：x＝10，
∴长方体的水池长、宽、高为：20cm，20cm，40cm；
（2）设该小球的半径为rcm，则：4 1
πr3= ×16 000，
3 60
1 1
∴r3= ×16 000× ，
60 4
∴r≈4.05，
答：该小球的半径为4.05cm．
【点评】此题主要考查了立方根的计算以及立方体体积公式，熟练记忆球体以及立方体体积公式是解题
关键．
