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§4.4 简单的三角恒等变换
课标要求 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公
式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要
求记忆)．
知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S ：sin 2α＝____________________________.
2α
(2)公式C ：cos 2α＝______________________＝__________________＝________________.
2α
(3)公式T ：tan 2α＝________________.
2α
2．半角公式(不要求记忆)
sin ＝±；cos ＝±；tan ＝±.符号由所在象限决定．
常用结论
1．二倍角公式的变形公式
(1)1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，
tan2α＝.(降幂公式)
2．半角正切公式的有理化
tan ＝＝.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )
(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k＋1)π(k∈Z)．( )
(3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )
(4)sin2－cos2＝.( )
2．cos 15°等于( )
A. B.
C．± D．±
3．若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于( )
A．－ B. C．－ D.
4．若cos＝－，则cos 2θ的值为________.题型一 三角函数式的化简
例1 (1)＋的化简结果为( )
A．－sin 20° B．－cos 20°
C．cos 20° D．sin 20°
(2)化简：cos 20°cos 40°cos 80°＝__________.
积化和差、和差化积公式
在三角函数的化简、求值中，有时可以用和差化积、积化和差公式，把非特殊角转化为特殊
角进行计算．
典例 化简下列各式．
(1)sin 54°－sin 18°＝__________；
(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°＝________________________.
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特
征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式
子和三角函数公式之间的联系点．
跟踪训练1 (1)(2023·成都联考)已知θ∈，cos2＝1＋cos 2θ，则tan θ等于( )
A．－ B．－ C．－ D．－
(2)已知0<θ<π，则＝________.
题型二 三角函数式的求值
命题点1 给角求值
例2 (2024·保定模拟)黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为
108°的等腰三角形．已知在顶角为36°的黄金三角形中，36°角对应边与72°角对应边的比值
为≈0.618，这个值被称为黄金比例．若t＝，则等于( )
A. B.
C. D.
命题点2 给值求值
例3 (2023·济宁模拟)已知cos＝，则sin等于( )
A．－ B. C．－ D.
命题点3 给值求角
例4 已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________.
跟踪训练2 (1)已知cos＝－，则sin＝________.
(2)(2023·青岛统考)已知α为锐角，1＋＝，则α＝__________.题型三 三角恒等变换的综合应用
例5 (2023·广州模拟)若α，β∈，且(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，则下列结论正确的
是( )
A．2α＋β＝ B．2α－β＝
C．α＋β＝ D．α－β＝
跟踪训练3 (2024·哈尔滨模拟)已知<θ<，若a＝，b＝－cos 2θ，c＝－cos θ，则a，b，c的
大小关系是( )
A．c>a>b B．b>c>a
C．c>b>a D．b>a>c
