[22004415]专题1相交线与平行线题型归类（含答案）2024-2025学年数学人教版七年级下册_初中数学人教版_7下-初中数学人教版_7下-初中数学人教版（2025春季新版）持续更新_05习题试卷_第1套

专题 1 相交线与平行线
题型归类 举一反三
题型一 相交线
例1 [2024长沙模拟]如图,直线AB和CD交于点O,射线OE平分∠AOD,∠BOD=46∘ .
（1） 求∠COE的度数;
（2） 若射线OF⊥AB于点O,请补全图形,并求∠EOF的度数.
变式跟进
1．[2024岳阳模拟]如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOC.
【基础尝试】
（1） 如图①,若∠AOC=40∘ ,求∠DOE的度数;
【画图探究】
（2） 作射线OF⊥OC,设∠AOC=x∘ ,请你利用图②画出图形,探究∠AOC与∠EOF之间的关系,结
果用含x的代数式表示∠EOF.
【拓展运用】
（3） 在第（2）题中,∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由.
题型二 平行线的性质与判定
{2α+β=230∘,
例2 如图,已知α 和β 的度数满足方程组 且CD//EF,AC⊥AE.
β−α=80∘,
（1） 分别求α 和β 的度数;
（2） 请判断AB与CD的位置关系,并说明理由;
（3） 求∠C的度数.
变式跟进2．[2024岳阳模拟]如图,M,F两点在直线CD上,AB//CD,CB//DE,BM,DN分别平分∠ABC,
∠EDF.
求证:BM//DN.
证明:∵AB//CD（____）,
∴∠ABC=∠BCD,∠ABM=∠M（____________________________）.
又∵BC//ED（已知）,
∴ ________________（____________________________）,
∴∠ABC=∠EDF（__________）,
∵BM,DN分别平分∠ABC,∠EDF（已知）,
1 1
∴∠ABM= ∠ABC,∠NDF= ∠EDF（__________________）,
2 2
∴∠ABM=∠NDF（等式的性质）,
∴ ______________（等量代换）,
∴BM//DN（____________________________）.
3．[2024衡阳模拟]【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学们在活动中发现:如图①的几何
图形,很像小猪的猪蹄,于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”,“猪蹄模型”中蕴含着角的
数量关系.
（1） 如图①,AB//CD,M是AB,CD之间的一点,连接BM,DM,则有∠B+∠D=∠BMD.请你证明这
个结论.
（2） 【运用】如图②,AB//CD,M,N是AB,CD之间的两点,且2∠M=3∠N,请你利用（1）中“猪
蹄模型”的结论,找出∠B,∠C,∠M三者之间的数量关系,并说明理由.
（3） 【延伸】如图③,AB//CD,点E,F分别在AB,CD上,EN,FG分别平分∠BEM和∠CFM,且
EN//MG.如果∠EMF=α ,那么∠MGF的度数是多少？（用含α 的代数式表示,请直接写出结论,无
需证明）题型三 平移
例3 如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90∘ ,∠A=37∘ ,将三角形ABC沿AB方向向右平移得到三角形
DEF.
（1） 试求出∠E的度数;
（2） 若AE=9,DB=2,请求出CF的长度.
变式跟进
4．如图,某小区有一块长方形草地,长为18m,宽为10m,空白部分为两条宽度均为2m的小路,则草地的
实际面积是____m2.
5．[2024怀化模拟]已知,三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1） 求三角形ABC的面积.
（2） 三角形ABC中任意一点P(x ,y )经平移后对应点为P (x +4,y −3),将三角形ABC作同样的
0 0 1 0 0
平移得到三角形A B C ,请直接写出点A ,B ,C 的坐标.
1 1 1 1 1 1
题型四 平行线的探究型问题
例4 “一带一路”让中国和世界更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋
转探照灯.如图①所示,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转,灯B射线从BP开始顺时针旋
转至BQ便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是2∘/s,灯B转动的速度是1∘/s,假定主
道路是平行的,即PQ//MN,且∠BAM:∠BAN=2:1.（1） 填空:∠BAN=________.
（2） 如图②,
① 若灯B射线先转动30s,灯A射线才开始转动.设灯B射线与MN交于点P',灯A射线与PQ交于点M',
在灯B射线到达BQ之前,设灯A转动ts(0<t<90),则∠MAM'=____________,∠PBP'=
______________（用含t的式子表示）;
② 在①的条件下,若AM'//BP',则t=__.
（3） 如图③,若两灯同时转动,在灯A射线到达AN之前,若两灯射出的光束交于点C,过点C作∠ACD
交PQ于点D,且∠ACD=120∘ ,则在转动过程中,∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变,
请求出其数量关系;若改变,请说明理由.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．下面四幅汽车标志中,能通过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．[2024永州模拟]如图,与∠1成同位角的角共有（ ）
第2题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．[2024长沙模拟]如图,点E在AB的延长线上,下列条件中能判断AD//BC的是（ ）
第3题图
A．∠2=∠3 B．∠1=∠4
C．∠C=∠CBE D．∠C+∠ABC=180∘
4．[2024郴州模拟]如图,已知AB//DE,∠ABC=150∘ ,∠CDE=70∘ ,则∠BCD的度数为（ ）第4题图
A．30∘ B．40∘ C．35∘ D．45∘
5．[2022达州]如图,AB//CD,直线EF分别交AB,CD于点M,N,将一个含有45∘ 角的直角三角尺按如
图所示的方式摆放.若∠EMB=80∘ ,则∠PNM的度数为（ ）
第5题图
A．15∘ B．25∘ C．35∘ D．45∘
6．如图,小明从A处出发沿北偏东40∘ 方向行走至B处,又从点B处沿东偏南20∘ 方向行走至C处,则
∠ABC的度数为（ ）
A．130∘ B．120∘ C．110∘ D．100∘
7．如图,AB//CD,AE平分∠BAD,CD与AE相交于点F,∠CFE=∠E.求证:AD//BC.
B组·能力提升 强化突破
8．如图,直线AB,CD相交于点O,OD平分∠BOF,OE⊥CD于点O.若∠EOF=α ,下列说法:
①∠AOC=α−90∘ ;②∠EOB=180∘−α ;③∠AOF=360∘−2α .其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．[2024娄底模拟]如图,已知∠A=∠AGE,∠D=∠DGC（1） 求证:AB//CD;
（2） 若∠1+∠2=180∘ ,求证:∠BEC+∠B=180∘ ;
（3） 在（2）的基础上,若∠BEC=2∠B+30∘ ,求∠C的度数.
10．图①为北斗七星的位置图,图②将北斗七星分别标为A,B,C,D,E,F,G,将A,B,C,D,E,F顺次首尾连
接,若AF恰好经过点G,且AF//DE,∠B=∠C+10∘ ,∠D=∠E=105∘ .
① ②
（1） 求∠F的度数;
（2） 计算∠B−∠CGF的度数是__________（直接写出结果）;
（3） 连接AD,∠ADE与∠CGF满足怎样的数量关系时,BC//AD？并说明理由.
11．[2024长沙模拟]已知AB//CD,点E在直线AB,CD之间,连接AE,CE.
（1） 如图①,则∠BAE,∠DCE,∠AEC之间满足的数量关系是________________________;
（2） 若AH平分∠BAE,将线段CE沿CD方向平移至FG(CE//FG).
① 如图②,若∠AEC=80∘ ,FH平分∠DFG,求∠AHF的度数;
② 如图③,若FH平分∠CFG,请写出∠AHF与∠AEC的数量关系,并说明理由.专题 1 相交线与平行线
题型归类 举一反三
题型一 相交线
例1 （1） 解:∵OE平分∠AOD,
1
∴∠AOE= ∠AOD.
2
∵∠BOD=46∘ ,
∴∠AOD=180∘−∠BOD=180∘−46∘=134∘ ,∠AOC=∠BOD=46∘ ,
1 1
∴∠AOE= ∠AOD= ×134∘=67∘ ,
2 2
∴∠COE=∠AOC+∠AOE=46∘+67∘=113∘ ,
∴∠COE的度数为113∘ .
（2） ①当OF在AB上方时,补全图形如答图①.
∵OF⊥AB,
∴∠AOF=90∘ ,
∴∠EOF=∠AOF−∠AOE=90∘−67∘=23∘ ;例1答图①
②当OF在AB下方时,如答图②.
∵OF⊥AB,
∴∠AOF=90∘ ,
∴∠EOF=∠AOF+∠AOE=90∘+67∘=157∘ .
∴ 当OF在AB上方时,∠EOF的度数是23∘ ;当OF在AB下方时,∠EOF的度数是157∘ .
例1答图②
变式跟进
1．（1） 解:∵∠AOC+∠BOC=180∘ ,∠AOC=40∘ ,
∴∠BOC=180∘−40∘=140∘ .
∵OE平分∠BOC,
1 1
∴∠COE= ∠BOC= ×140∘=70∘ .
2 2
∵∠DOE+∠COE=180∘ ,
∴∠DOE=180∘−70∘=110∘ .
（2） 当OF在∠BOC内部时,如答图①.
∵∠AOC+∠BOC=180∘ ,∠AOC=x∘ ,
∴∠BOC=(180−x)∘ ,
∵OE平分∠BOC,
1 1 ∘
∴∠COE= ∠BOC=(90− x) .
2 2
∵OF⊥OC,
∴∠COF=90∘ ,
1 ∘ 1
∴∠EOF=90∘−∠COE=90∘−(90− x) = x∘ .
2 2
变式跟进1答图①
当OF在∠AOD内部时,如答图②.
∵∠AOC+∠BOC=180∘ ,∠AOC=x∘ ,∴∠BOC=(180−x)∘ .
∵OE平分∠BOC,
1 1 ∘
∴∠COE= ∠BOC=(90− x) .
2 2
∵OF⊥OC,
∴∠COF=90∘ ,
1 ∘ 1 ∘
∴∠EOF=90∘+∠COE=90∘+(90− x) =(180− x) ,
2 2
1 1
综上所述,∠EOF的度数为 x∘ 或180∘− x∘ .
2 2
变式跟进1答图②
（3） ∠EOF可能和∠DOE互补.理由如下:
当AB⊥CD,且OF与OB重合时,如答图③,则∠BOC=∠BOD=90∘ .
变式跟进1答图③
∵OE平分∠BOC,
1
∴∠BOE= BOC=45∘ ,
2
即∠EOF=45∘ ,
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=90∘+45∘=135∘ ,
∴∠EOF+∠DOE=180∘ ,
即∠EOF和∠DOE互补.
题型二 平行线的性质与判定
{2α+β=230∘,①
例2 （1） 解:
β−α=80∘,②
①−②,得3α=150∘ ,解得α=50∘ .
把α=50∘ 代入②,得β−50∘=80∘ ,
解得β=130∘ .
（2） AB//CD.理由如下:∵α=50∘ ,β=130∘ ,
∴α+β=180∘ ,
∴AB//EF.
又∵CD//EF,
∴AB//CD.
（3） ∵AC⊥AE,
∴∠CAE=90∘ .
∵AB//CD,
∴∠C+∠CAB=180∘ ,
∴∠C=180∘−90∘−50∘=40∘ .
变式跟进
2．已知； 两直线平行,内错角相等； ∠EDF=∠BCD； 两直线平行,同位角相等； 等量代换；
角平分线的定义； ∠M=∠NDF； 同位角相等,两直线平行
3．（1） 证明:如答图①,过点M作MN//AB.
∵AB//CD,
∴AB//MN//CD,
∴∠B=∠BMN,∠D=∠DMN,
∴∠B+∠D=∠BMN+∠DMN=∠BMD.
变式跟进3答图①
1
（2） 解:∠B,∠C,∠M三者之间的数量关系是 ∠BMN=∠B−∠C.理由如下:
3
如答图②,过点N作NE//AB.
由（1）可知,∠B+∠MNE=∠M.①
∵CD//AB,NE//AB,
∴EN//CD,
∴∠ENC=∠C.②
①+②,得∠B+∠MNE+∠ENC=∠M+∠C,
即∠B+∠MNC=∠M+∠C,
∵2∠BMN=3∠MNC,
2
∴∠MNC= ∠BMN,
3
1
∴ ∠BMN=∠B−∠C.
3变式跟进3答图②
1
∴∠B,∠C,∠M三者之间的数量关系是 ∠BMN=∠B−∠C.
3
（3） 证明:∵EN,FG分别平分∠BEM和∠CFM,
∴ 设∠MEN=∠BEN=x,∠CFG=∠MFG= y,
由（1）结论可知,∠AEM+∠MFC=∠EMF,
∴180∘−2x+2y=α ,
1
∴x−y=90∘− α .
2
∵MG//EN,
∴∠GMF+∠EMF+∠MEN=180∘ ,
∴∠GMF=180∘−α−x,
由三角形内角和,得
1 1
∠MGF=180∘−∠GMF−∠GFM=180∘−(180∘−α−x)−y=α+x−y=α+(90∘− α)=90∘+ α ,
2 2
1
即∠MGF的度数为90∘+ α .
2
题型三 平移
例3 （1） 解:∵ 在直角三角形ABC中,
∠ACB=90∘ ,∠A=37∘ ,
∴∠CBA=90∘−37∘=53∘ .
由平移,得∠E=∠CBA=53∘ .
（2） 由平移,得AD=BE=CF.
∵AE=9,DB=2,
1
∴AD=BE= ×(9−2)=3.5,
2
∴CF=3.5.
变式跟进
4．128
1 1 1
5．（1） 解:S =5×7− ×3×5− ×1×4− ×4×7=11.5.
三 角 形ABC 2 2 2
（2） ∵ 三角形ABC中任意一点P(x ,y )经平移后对应点为P (x +4,y −3),∴ 点P向右平移4个
0 0 1 0 0
单位长度,又向下平移3个单位长度,∴ 将三角形ABC作同样的平移得到三角形A B C ,点A ,B ,C 的
1 1 1 1 1 1
坐标分别为(2,0),(−2,−1),(−5,4).题型四 平行线的探究型问题
例4 （1） 60∘
[解析]∵∠BAM+∠BAN=180∘ ,∠BAM:∠BAN=2:1,
1
∴∠BAN=180∘× =60∘ .
3
（2） ① (2t)∘； (30+t)∘
[解析]设灯A转动ts(0<t<90),
则∠MAM'=(2t)∘ ,∠PBP'=(30+t)∘ .
② 30
[解析]若AM'//BP',
则∠M' AB=∠P'BA.
又∵QP//MN,
∴∠PBA=∠MAB,
∴∠PBA−∠P'BA=∠MAB−∠M' AB,
∴∠M' AM=∠PBP',
∴2t=30+t,
∴t=30.
（3） 解:不发生变化,数量关系为∠BAC=2∠BCD.
设灯A射线转动的时间为ts.
∵∠CAN=180∘−(2t)∘ ,
∴∠BAC=60∘−[180∘−(2t)∘]=(2t)∘−120∘.
又∵∠ABC=120∘−t∘ ,
∴∠BCA=180∘−∠ABC−∠BAC=180∘−t∘ ,而∠ACD=120∘ ,
∴∠BCD=120∘−∠BCA=120∘−(180∘−t∘)=t∘−60∘ ,
∴∠BAC:∠BCD=2:1,
即∠BAC=2∠BCD.
过关训练 现复活用
A组·基础达标 逐点击破
1．A 2．C 3．B 4．B 5．C 6．C
7．证明:∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.
∵AB//CD,
∴∠BAE=∠CFE.
∴∠DAE=∠CFE.
∵∠CFE=∠E,∴∠DAE=∠E,
∴AD//BC.
B组·能力提升 强化突破
8．D
9．（1） 证明:∵∠A=∠AGE,∠D=∠DGC,
又∵∠AGE=∠DGC,
∴∠A=∠D,
∴AB//CD.
（2） 证明:∵∠1=∠BHA,∠1+∠2=180∘ ,
∴∠2+∠BHA=180∘ ,
∴BF//CE,
∴∠BEC+∠B=180∘ .
（3） 解:∵∠BEC+∠B=180∘,
∠BEC=2∠B+30∘ ,
∴∠B=50∘ ,∠BEC=130∘ .
∵AB//CD,
∴∠C+∠BEC=180∘ ,
∴∠C=180∘−130∘=50∘ .
10．（1） 解:∵AF//DE,
∴∠F+∠E=180∘ ,
∴∠F=180∘−105∘=75∘ .
（2） 115∘
[解析]如答图①,延长DC交AF于点K.
第10题答图①
∵AF//DE,∴∠D=∠GKC.
∴∠B−∠CGF=∠GCD+10∘−∠CGF=∠GKC+10∘=∠D+10∘=115∘ .
（3） 解:当∠ADE+∠CGF=180∘ 时,BC//AD.理由如下:
如答图②,连接AD.
∵AF//DE,∴∠GAD+∠ADE=180∘ .
∵∠ADE+∠CGF=180∘ ,
∴∠GAD=∠CGF,∴BC//AD.第10题答图②
11．（1） ∠BAE+∠DCE=∠AEC
（2） ① 解:∵FG//CE,
∴∠DCE=∠DFG.
∵AH平分∠BAE,HF平分∠GFD,
1
∴∠BAH= ∠BAE,
2
1 1
∠DFH= ∠DFG= ∠DCE,
2 2
1
∴ 由（1）可得,∠AHF=∠BAH+∠DFH= (∠BAE+∠DCE).
2
∵∠BAE+∠DCE=∠AEC=80∘ ,
1
∴∠AHF= ×80∘=40∘ .
2
1
② ∠AHF=90∘+ ∠AEC,理由如下:
2
由（1）可得,∠AHF=∠BAH+∠HFD,
1 1
∠BAH= ∠BAE,∠GFH= (180∘−∠DFG),∠ECD=∠DFG,
2 2
1 1 1 1
∴∠AHF= ∠BAE+90∘− ∠DFG+∠DFG=90∘+ (∠BAE+∠DCE)=90∘+ ∠AEC.
2 2 2 2