[22004417]专题2实数题型归类（含答案）2024-2025学年数学人教版七年级下册_初中数学人教版_7下-初中数学人教版_7下-初中数学人教版（2025春季新版）持续更新_05习题试卷_同步练习_第1套

专题 2 实数 题型归类 举一反三 题型一 平方根、算术平方根 例1 已知2a−1的立方根是3,3a+b−1的一个平方根是−6,求a+2b的平方根. 变式跟进 1．下列等式正确的是（ ） √ 9 3 √ 7 1 A． =± B． −1 =1 16 4 9 3 √ 1 1 C．√3−9=−3 D． (− ) 2= 3 3 2．√25的平方根为________. 3．若a是(−2) 2的平方根,b是√16的算术平方根,求a2−2b的平方根. 题型二 立方根 √ 10 例2 计算:3−2 =________. 27 变式跟进 4．求下列各式中x的值. （1） 4x2=81; （2） (x+1) 3−27=0. 题型三 实数的分类 √π ⋅ 例3 下面是王老师在数学课堂上给同学们出的一道数学题,要求对以下实数进行分类填空:- ,0, 0.3 3 22 , ,18,√7,√3−27, 1.2 ⋅ 1 ⋅ ,3.14159,1.21,0.8080080008⋯ ,√3 9,√16,−√0.4. 13 （1） 有理数: {____________________________________________________________________________________ ______________,…}; （2） 无理数:{________________________________________________________________________, …}; （3） 整数:{____________________________,…}. 变式跟进 1 5．[2024日照]实数− ,0,√5,1.732中,无理数是（ ） 3 1 A．− B．0 C．√5 D．1.732 3 题型四 数轴、相反数、绝对值的概念例4 如图,数轴上表示3,√24的对应点分别为A,B,则点A,B之间的整数是____. 变式跟进 6．若将−√2,√6,√11,|−√17|四个无理数表示在数轴上,其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 （ ） A．−√2 B．√6 C．√11 D．|−√17| 题型五 实数的大小比较 例5 在实数3,−3,−√3,√3中,最小的数是（ ） A．3 B．−3 C．√3 D．−√3 变式跟进 2 7．实数0,−√3,− ,|−2|中,最小的数是 （ ） 3 2 A．− B．−√3 C．0 D．|−2| 3 8．三个实数−√6,−2,−√7之间的大小关系是（ ） A．−√7>−√6>−2 B．−√7>−2>−√6 C．−2>−√6>−√7 D．−√6>−2>−√7 9．估计√30+1的值在（ ） A．6与7之间 B．5与6之间 C．3与4之间 D．9与10之间 题型六 实数的运算 3 2 4 例6 [2024长沙模拟]计算:−32+( ) ×(− )+|1−√2|−√3−8. 2 9 变式跟进 10．计算: （1） √252−72; （2） √3 (−1) 2+√3−8−|1−√3|; √ 1 √ 5 1 （3） (− ) 2−3 (1− )×( −1); 3 9 3 （4） (−2) 2−|√3−1|+√3 8+√25; √1 √ 125 （5） 3 −3− +√3−343−√327. 8 8 题型七 应用问题 例7 一个正方体木块的体积是125cm3,现将它锯成8个同样大小的正方体小木块,再把这些小正方体 排列成一个如图所示的长方体,求这个长方体的表面积.变式跟进 11．如图,小明想用一块面积为900cm2的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为800cm2的纸片, 使它的长、宽之比为5:4,小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请通过计算说明. 过关训练 现复活用 A组·基础达标 逐点击破 1．实数2,0,−2,√2中,为负数的是（ ） A．2 B．0 C．−2 D．√2 2．下列各数中,绝对值最小的数是（ ） 1 A．−5 B． C．−1 D．√2 2 3．下列各数中,比3大且比4小的无理数是（ ） 10 A．√10 B．√17 C．3.1 D． 3 4．实数2√10介于（ ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 5．有下列说法: ①实数和数轴上的点是一一对应的; ②无理数是开方开不尽的数; ③负数没有立方根; ④16的平方根是±4,用式子表示是√16=±4; ⑤某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身,则这个数是0. 其中错误的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．对于无理数√3,添加关联的数或者运算符号组成新的式子,其运算结果能成为有理数的是（ ） A．2√3−3√2 B．√3+√3 C．(√3) 3 D．0×√3 7．写出比√2大且比√15小的整数:____________________. B组·能力提升 强化突破 8．[2024长沙模拟]已知正数x的两个平方根分别是2a−1和a+7,负数y的立方根与它本身相同. （1） 求a,x的值; （2） 求x−11y的算术平方根.9．用“※”定义一种新运算:对于任意实数m和n,规定m※n=m2n−mn−3n.例如: 1※2=12×2−1×2−3×2=−6. （1） 求(−2)※√3的值; （2） 若3※m≥−6,求m的取值范围,并在所给的数轴上表示出解集. 10．阅读下面的文字,解答问题. 现规定:分别用[x]和⟨x⟩表示实数x的整数部分和小数部分,如实数3.14的整数部分是[3.14]=3,小数 部分是⟨3.14⟩=0.14;实数√7的整数部分是[√7]=2,小数部分是无限不循环小数,无法写完整,但是把 它的整数部分减去,就等于它的小数部分,即√7−2就是√7的小数部分,所以⟨√7⟩=√7−2. （1） [√2]=____,⟨√2⟩=________; [√11]=____,⟨√11⟩=__________. （2） 如果⟨√5⟩=a,[√101]=b,求a+b−√5的立方根. 专题 2 实数题型归类 举一反三 题型一 平方根、算术平方根 例1 解:由题意,得2a−1=27, 3a+b−1=36, 解得a=14,b=−5. ∴a+2b=4, ∴a+2b的平方根是±2. 【点悟】 一个正数的平方根有两个,这两个数互为相反数. 变式跟进 1．D 2．±√5 3．解:a=±√(−2) 2=±2. ∵√16=4,b是√16的算术平方根, ∴b=√4=2. ∴±√a2−2b=±√(±2) 2−2×2=0, 即a2−2b的平方根是0. 题型二 立方根 【点悟】 一个数的立方等于a,那么这个数就是a的立方根,记为√3 a.一个正数的立方根是正数,一个负 数的立方根是负数,0的立方根是0. 4 例2 − 3 变式跟进 9 4．（1） 解:x=± . 2 （2） x=2. 题型三 实数的分类 【点悟】（1）实数分为有理数和无理数,有理数分为整数和分数,无理数是无限不循环小数,分为正 无理数和负无理数. （2）无理数的三种常见形式:①开不尽方的数的方根;②特殊结构的数;③含π 的数. 22 例3 （1） 0, 0.3 ⋅ , ,18,√3−27, 1.2 ⋅ 1 ⋅ ,3.14159,1.21,√16 13 √π （2） − ,√7,√3 9,−√0.4,0.8080080008⋯ 3 （3） 0,18,√3−27,√16 变式跟进 5．C题型四 数轴、相反数、绝对值的概念 例4 4 变式跟进 6．B 题型五 实数的大小比较 【点悟】 此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:正实数>0> 负实数,两个负实数中绝对值大的反而小. 例5 B 变式跟进 7．B 8．C 9．A 题型六 实数的运算 9 4 例6 解:原式=−9+ ×(− )−(1−√2)−(−2) 4 9 =−9−1+√2−1+2 =√2−9. 变式跟进 10．（1） 解:原式=√576=24. （2） 原式=1−2+1−√3=−√3. 1 √4 2 1 2 （3） 原式= −3 ×(− )= + =1. 3 9 3 3 3 （4） 原式=4−√3+1+2+5=12−√3. 1 5 （5） 原式= + −7−3=−7. 2 2 题型七 应用问题 例7 解:大正方体的边长为√3125=5(cm), 5 小正方体的棱长是 cm, 2 5 ∴ 长方体的长是10cm,宽是 cm,高是5cm, 2 5 5 ∴ 长方体的表面积是(10× +10×5+ ×5)×2=175(cm2 ). 2 2 变式跟进 11．解:不能.理由如下: 正方形纸片的边长为√900=30(cm). 设裁出的纸片的长为5acm,宽为4acm, 则5a⋅4a=800,即a2=40, 解得a=√40,∴5a=5√40>30, ∴ 不能裁出符合要求的纸片. 过关训练 现复活用 A组·基础达标 逐点击破 1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．D 7．2,3 B组·能力提升 强化突破 8．（1） 解:∵ 正数x的两个平方根分别是2a−1和a+7, ∴2a−1+a+7=0, 解得a=−2. 当a=−2时,2a−1=−5,a+7=5, ∴x=(±5) 2=25, 即a=−2,x=25. （2） ∵ 负数y的立方根与它本身相同, ∴y=−1, ∴x−11y=25+11=36, ∴x−11y的算术平方根为√36=6. 9．（1） 解:(−2)※√3 =(−2) 2×√3−(−2)×√3−3×√3 =4√3+2√3−3√3 =3√3. （2） ∵3※m=9m−3m−3m=3m. 又∵3※m≥−6, ∴3m≥−6, 解得m≥−2. 在数轴上表示解集如答图: 第9题答图 10．（1） 1； √2−1； 3； √11−3 [解析]∵1<√2<2,3<√11<4, ∴[√2]=1,⟨√2⟩=√2−1,[√11]=3,⟨√11⟩=√11−3. （2） 解:∵2<√5<3,10<√101<11, ∴a=⟨√5⟩=√5−2,b=[√101]=10, ∴a+b−√5=√5−2+10−√5=8, ∴a+b−√5的立方根是2.